Exercice N°575 :

Pour chaque inégalité, écrire à l’aide d’intervalles les ensembles de réels x vérifiant les inégalités suivantes.

1) L’inégalité est :
x < -2
donc l’intervalle I = ?

2) L’inégalité est :
1 < x ≤ 3
donc l’intervalle I = ?

3) L’inégalité est :
x ≥ -2
donc l’intervalle I = ?

4) L’inégalité est :
-6 < x ≤ -2 ou x ≥ 2
donc l’intervalle I = ?

5) L’inégalité est :
-3 ≤ x ≤ 5 ou x > 4
donc l’intervalle I = ?

6) L’inégalité est :
-3 < x ≤ 5 et x < 1
donc l’intervalle I = ?

Bon courage,
Sylvain

Exercice précédent : Intervalles – Inégalités, ordre, crochets, nombres réels – Seconde

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Exercice N°574 :

Pour chaque inégalité, écrire à l’aide d’intervalles les ensembles de réels x vérifiant les inégalités suivantes.

1) L’inégalité est :
1 < x ≤ 3
donc l’intervalle I = ?

2) L’inégalité est :
x < 8
donc l’intervalle I = ?

3) L’inégalité est :
x ≥ -6
donc l’intervalle I = ?

4) L’inégalité est :
-1 ≤ x ≤ 7 ou x > 4
donc l’intervalle I = ?

5) L’inégalité est :
-6 < x ≤ -2 ou x ≥ 2
donc l’intervalle I = ?

6) L’inégalité est :
-3 < x ≤ 7 et x < 0
donc l’intervalle I = ?

Bon courage,
Sylvain

Exercice précédent : Inverse – Variation, comparaison, encadrement, équation – Seconde

astuces exercices maths

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Corrigé N°306 :

Exercice : Convexité – Fonction, courbe, dérivée, inflexion – Terminale ES

1) f ‘(x) = 0 par lecture graphique et variation de f :

Rédaction :

La courbe représentée est celle de f ‘ (et non celle de f, attention !).
Pour savoir quand f ‘(x) = 0, il faut regarder quand la courbe de f ‘ coupe l’axe des abscisses.
On voit que la courbe coupe l’axe des abscisses quand x = -2.
Quand x < -2, la courbe de f ' est en dessous de l'axe des abscisse donc f '(x) < 0. Quand x > -2, la courbe de f ‘ est en dessous de l’axe des abscisse donc f ‘(x) > 0.

Pour obtenir les variations de f, faisons donc le tableau de signe de f ‘(x) avec ces informations.

signe fonction dérivée  variation

2) Variations de f ‘ et signe de f ‘ ‘(x) :

Rédaction :

Pour avoir les variations de f ‘ avec le graphique, on regarde quand sa courbe monte (soit f ‘ croissante) et quand sa courbe descend (soit f ‘ décroissante).
On peut voir que f ‘ est croissante jusqu’à x = -1 et que f ‘ est décroissante ensuite. Soit le tableau de variation suivant :

variation dérivé signe dérivée seconde

Le signe de f ‘ ‘(x) dépend directement de la variation de f ‘ comme indiqué dans le tableau ci-dessus.

3) f convexe et concave :

Rédaction :

Pour déterminer la convexité de f, on doit déterminer le signe de f ‘ ‘(x) (que l’on a déjà ici) et faire une ligne en dessous avec les mots concaves / convexe / point d’inflexion.

signe dérivée seconde convexité fonction

4) f ‘ ‘(0) :

Rédaction :

La seule donnée que l’on a dans l’énoncé, c’est la courbe de f ‘. Or, les f ‘ ‘(x) sont les nombres dérivées de la fonction f ‘ : ce sont donc les coefficients directeurs des tangentes à la courbe de f ‘.

Pour calculer f ‘ ‘(0), il faut donc tracer la tangente à la courbe de f’ au point d’abscisse 0 (c’est T).
Prenons deux points de T pour calculer le coefficient directeur qui est f ‘ ‘(0).

Par exemple A(0 ; 1) et B(2 ; 0).

On utilise la formule du coefficient directeur :

f ‘ ‘(0) = m = (0 – 1)/(2 – 0)
= –1/2

5) Courbes qui représente f et f ‘ ‘.

Rédaction :

Pour la courbe de f, d’après les tableaux, on sait que la fonction est décroissante jusqu’à -2 puis croissante. De plus, il y a un point d’inflexion en -1. C’est clairement la courbe C1 qui convient car on voit que la pente diminue (les tangentes sont au-dessus) à partir de l’abscisse -1.

Pour la courbe de f’, d’après les tableaux, on sait que
f ‘ ‘(0) = –1/2 et que f ‘ ‘(x) est positif avant -1 puis négatif après -1. C’est clairement C3 qui convient, elle coupe même l’axe des ordonnées en -0.5.

6) Point d’inflexion de Cf et équation de la tangente :

Rédaction :

On a vu dans le tableau de la convexité de f que le point d’inflexion est atteint en x = -1. Le seul moyen de connaître f(-1) ici est la courbe C1.
Donc f(-1) = 0 car la courbe coupe l’axe des abscisses en x = -1.

L’équation d’une tangente au point d’abscisse a est :

equation tangente courbe fonction point abscisse a

Ici a = -1.

Donc y = f'(-1) × (x – (-1)) + f(-1)
y = 1.35 × (x + 1) + 0
y = 1.35x + 1.35.

1.35 est une valeur approchée avec la précision permise par le graphique de la courbe de f ‘. C’est l’image de -1 par f ‘.

Bonne compréhension,
Sylvain

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Corrigé précédent : Corrigé N°083 – Vecteurs, géométrie 2D, parallélogramme – Seconde

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Corrigé N°083 :

Exercice : Vecteurs et Géométrie 2D – Parallélogramme, points alignés – Seconde

A(-1 ; 4), B(-2 ; -4), D(2 ; -2) et E(5 ; 2).
1) C tel que ABCD parallélogramme :

Rédaction :

On veut ABCD parallélogramme.
Or :

vecteurs égaux parallélogramme

Donc on veut ->AB = ->DC

Comme on a les coordonnées des points A et B, on peut déjà calculer les coordonnées du vecteur ->AB avec la formule :

formule coordonnées vecteur

On peut mettre les parenthèses en ligne horizontale :
->AB(xB – xA ; yB – yA)
soit ->AB(-2 – (-1) ; -4 – 4)
soit ->AB(-2 + 1 ; -8)
soit ->AB(-1 ; -8)

De même pour ->DC :
->DC(xC – xD ; yC – yD)
soit ->DC(xC – 2 ; yC – (-2))
soit ->DC(xC – 2 ; yC + 2)

Comme les vecteurs sont égaux, leurs coordonnées sont égales. On a donc :

Pour les abscisses x :
-1 = xC – 2
⇔ xC – 2 = -1
⇔ xC = -1 + 2
⇔ xC = 1

Pour les ordonnées y :
-8 = yC + 2
⇔ yC + 2 = -8
⇔ yC = -8 – 2
⇔ yC = -10

Le point C a donc pour coordonnées (1 ; -10).
En recalculant les coordonnées du vecteur ->CD, on vérifie qu’elles valent bien
(-1 ; -8) et qu’elles sont égalent à celles de ->AB.

2) Centre I de ABCD :

Rédaction :
Comme I est le centre du parallélogramme ABCD, c’est le milieu des deux diagonales. En calculant les coordonnées du milieu de l’une ou l’autre des diagonales, on détermine le point I.

La formule du milieu d’un segment [AB] est :
géométrie formule milieu segment

Attention! Sur ton parallélogramme, les diagonales sont [AC] et [BD].
Calculons les coordonnées de I milieu de [BD] :

xI = (xB + xD)/2
= (-2 + 2)/2
= 0/2
= 0

yI = (yB + yD)/2
= (-4 – 2)/2
= -6/2
= -3

Les coordonnées du milieu I sont donc (0 ; -3). C’est le centre du parallélogramme.

3) J tel que ->JA = 3->JE :

Rédaction :

Pour déterminer les coordonnées du point J, il faut utiliser les coordonnées de vecteurs.

D’une part :
->JA(xA – xJ ; yA – yJ)
soit ->JA(-1 – xJ ; 4 – yJ)

D’autre part :
3->JE( 3×(xE – xJ) ; 3×(yE – yJ))
soit 3->JE(3×(5 – xJ) ; 3×(2 – yJ))
soit 3->JE(15 – 3xJ ; 6 – 3yJ)

Comme les deux membres de l’égalité sont égaux, les coordonnées en x et y sont égales.

Pour les x :
-1 – xJ = 15 – 3xJ
⇔ -1 + 2xJ = 15
⇔ -1 + 2xJ + 1 = 15 + 1
⇔ 2xJ = 16
⇔ xJ = 16/2 = 8

Pour les y :
4 – yJ = 6 – 3yJ
⇔ 4 + 2yJ = 6
⇔ 4 + 2yJ – 4 = 6 – 4
⇔ 2yJ = 2
⇔ yJ = 2/2 = 1

Les coordonnées de J sont donc (8 ; 1).

4) B, D et J alignés :

Rédaction :

B, D et J sont alignés si et seulement si les deux vecteurs ->BD et ->BJ sont colinéaires. (ou deux autres avec ces trois points)

Calculons ->BD :
->BD(xD – xB ; yD – yB)
soit ->BD(2 – (-2) ; -2 – (-4))
soit ->BD(2 + 2 ; -2 + 4)
soit ->BD(4 ; 2)
On a donc : x = 4 et y = 2.

Calculons ->BJ :
->BJ(xJ – xB ; yJ – yB)
soit ->BJ(8 – (-2) ; 1 – (-4))
soit ->BJ(8 + 2 ; 1 + 4)
soit ->BJ(10 ; 5)
On a donc : x’ = 10 et y’ = 5.

« Deux vecteurs de coordonnées (x ; y) et (x’ ; y’) sont colinéaires
si et seulement si
x’ × y – x × y’ = 0. »

Calculons x’ × y – x × y’
= 10 × 2 – 4 × 5
= 20 – 20
= 0.
Le résultat vaut 0, donc les vecteurs ->BD et ->BJ sont égaux
donc les points B, D et J sont alignés.

5) AB, AD et BD :

Rédaction :

On cherche à calculer des distances. Il y a une formule pour ça, la voici :

formule distance géométrie

AB = √[(xB – xA)2 + (xB – xA)2]
= √[(-2 – (-1))2 + (-4 – 4)2]
= √[(-2 + 1)2 + (-8)2]
= √[(-1)2 + (-8)2]
= √[1 + 64]
= √65

AD = √[(xD – xA)2 + (xD – xA)2]
= √[(2 – (-1))2 + (-2 – 4)2]
= √[(2 + 1)2 + (-6)2]
= √[(3)2 + (-6)2]
= √[9 + 36]
= √45

BD = √[(xD – xB)2 + (xD – xB)2]
= √[(2 – (-2))2 + (-2 – (-4))2]
= √[(2 + 2)2 + (-2 + 4)2]
= √[(4)2 + (2)2]
= √[16 + 4]
= √20

6) Nature du triangle ABD :

Rédaction :

On sait que AB = √65,
AD = √45
et BD = √20.

AB est le plus grand côté.
D’une part :
AB2 = (√65)2 = 65.
D’autre part :
AD2 + BD2
= (√45)2 + (√20)2
= 45 + 20
= 65.

On a bien AB2 = AD2 + BD2.

D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABD est rectangle en D avec [AB] comme hypoténuse.

7) Aire du parallélogramme ABCD :

Rédaction :

géométrie, vecteurs, milieux, triangles, parallèlogramme, triangle

Un parallélogramme est composé de deux triangles en surface. Ici le triangle ABD et le triangle BCD qui sont de même surface. On peut dire que l’aire de ABCD est le double de l’aire de ABD.
Or ABD est un triangle rectangle en D, la base et la hauteur sont donc les côtés qui bordent l’angle droit en D. On va dire que la base est AD et la hauteur BD. En effet, la base et la hauteur sont toujours perpendiculaires.

AireABD = (base × hauteur)/2
= (AD × BD)/2
= (√45 × √20)/2
= (√(9×5) × √(4×5))/2
= (√9 × √5 × √4 × √5)/2
= (3 × √5 × 2 × √5)/2
= (6 × √5 × √5)/2
= (6 × 5)/2
= (30)/2
= 15.

C’est l’aire des triangles, donc l’aire du parallélogramme ABCD est le double soit 30.

Bonne compréhension,
Sylvain

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Exercice précédent : Corrigé N°346 – Inéquations, factorisation, tableau de signe – Seconde

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Exercice N°573 :

1) Dresser le tableau de variations de la fonction inverse.

2) A l’aide de la question précédente, compléter :

Si 2 ≤ x ≤ 5 alors
…. ≤ 1/x ≤ ….

Si -1 ≤ x ≤ 3
alors …. ≤ 1/x ≤ ….

Si -4 ≤ x ≤ 1
alors …. ≤ 1/x ≤ ….

Si 4 ≤ x ≤ 8
alors …. ≤ 1/x ≤ ….

3) Résoudre 1/x ≥ 2.

4) Si x ∈ [4 ; +∞[, à quel intervalle appartient 1/x ?

5) Soit x ≥ 0, comparer soigneusement
1/(x + 5)
et
1/(x + 7).

On veut dans ces deux questions 6 et 7, résoudre l’équation
1/x = x – 1.
6) En utilisant la représentation graphique de la fonction inverse, faire une conjecture sur les solutions de cette équation.

7) Prouver cette conjecture (piste : on pourra utiliser les variations d’une fonction polynôme du second degré).

Bon courage,
Sylvain

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Exercice précédent : Inverse – Domaine, variation, encadrement, comparaison – Seconde

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