Corrigé N°306 :

Exercice : Convexité – Fonction, courbe, dérivée, inflexion – Terminale ES

1) f ‘(x) = 0 par lecture graphique et variation de f :

Rédaction :

La courbe représentée est celle de f ‘ (et non celle de f, attention !).
Pour savoir quand f ‘(x) = 0, il faut regarder quand la courbe de f ‘ coupe l’axe des abscisses.
On voit que la courbe coupe l’axe des abscisses quand x = -2.
Quand x < -2, la courbe de f ' est en dessous de l'axe des abscisse donc f '(x) < 0. Quand x > -2, la courbe de f ‘ est en dessous de l’axe des abscisse donc f ‘(x) > 0.

Pour obtenir les variations de f, faisons donc le tableau de signe de f ‘(x) avec ces informations.

signe fonction dérivée  variation

2) Variations de f ‘ et signe de f ‘ ‘(x) :

Rédaction :

Pour avoir les variations de f ‘ avec le graphique, on regarde quand sa courbe monte (soit f ‘ croissante) et quand sa courbe descend (soit f ‘ décroissante).
On peut voir que f ‘ est croissante jusqu’à x = -1 et que f ‘ est décroissante ensuite. Soit le tableau de variation suivant :

variation dérivé signe dérivée seconde

Le signe de f ‘ ‘(x) dépend directement de la variation de f ‘ comme indiqué dans le tableau ci-dessus.

3) f convexe et concave :

Rédaction :

Pour déterminer la convexité de f, on doit déterminer le signe de f ‘ ‘(x) (que l’on a déjà ici) et faire une ligne en dessous avec les mots concaves / convexe / point d’inflexion.

signe dérivée seconde convexité fonction

4) f ‘ ‘(0) :

Rédaction :

La seule donnée que l’on a dans l’énoncé, c’est la courbe de f ‘. Or, les f ‘ ‘(x) sont les nombres dérivées de la fonction f ‘ : ce sont donc les coefficients directeurs des tangentes à la courbe de f ‘.

Pour calculer f ‘ ‘(0), il faut donc tracer la tangente à la courbe de f’ au point d’abscisse 0 (c’est T).
Prenons deux points de T pour calculer le coefficient directeur qui est f ‘ ‘(0).

Par exemple A(0 ; 1) et B(2 ; 0).

On utilise la formule du coefficient directeur :

f ‘ ‘(0) = m = (0 – 1)/(2 – 0)
= –1/2

5) Courbes qui représente f et f ‘ ‘.

Rédaction :

Pour la courbe de f, d’après les tableaux, on sait que la fonction est décroissante jusqu’à -2 puis croissante. De plus, il y a un point d’inflexion en -1. C’est clairement la courbe C1 qui convient car on voit que la pente diminue (les tangentes sont au-dessus) à partir de l’abscisse -1.

Pour la courbe de f’, d’après les tableaux, on sait que
f ‘ ‘(0) = –1/2 et que f ‘ ‘(x) est positif avant -1 puis négatif après -1. C’est clairement C3 qui convient, elle coupe même l’axe des ordonnées en -0.5.

6) Point d’inflexion de Cf et équation de la tangente :

Rédaction :

On a vu dans le tableau de la convexité de f que le point d’inflexion est atteint en x = -1. Le seul moyen de connaître f(-1) ici est la courbe C1.
Donc f(-1) = 0 car la courbe coupe l’axe des abscisses en x = -1.

L’équation d’une tangente au point d’abscisse a est :

equation tangente courbe fonction point abscisse a

Ici a = -1.

Donc y = f'(-1) × (x – (-1)) + f(-1)
y = 1.35 × (x + 1) + 0
y = 1.35x + 1.35.

1.35 est une valeur approchée avec la précision permise par le graphique de la courbe de f ‘. C’est l’image de -1 par f ‘.

Bonne compréhension,
Sylvain

astuces exercices maths corrigé

Corrigé précédent : Corrigé N°083 – Vecteurs, géométrie 2D, parallélogramme – Seconde

Ecris le premier commentaire

Corrigé N°083 :

Exercice : Vecteurs et Géométrie 2D – Parallélogramme, points alignés – Seconde

A(-1 ; 4), B(-2 ; -4), D(2 ; -2) et E(5 ; 2).
1) C tel que ABCD parallélogramme :

Rédaction :

On veut ABCD parallélogramme.
Or :

vecteurs égaux parallélogramme

Donc on veut ->AB = ->DC

Comme on a les coordonnées des points A et B, on peut déjà calculer les coordonnées du vecteur ->AB avec la formule :

formule coordonnées vecteur

On peut mettre les parenthèses en ligne horizontale :
->AB(xB – xA ; yB – yA)
soit ->AB(-2 – (-1) ; -4 – 4)
soit ->AB(-2 + 1 ; -8)
soit ->AB(-1 ; -8)

De même pour ->DC :
->DC(xC – xD ; yC – yD)
soit ->DC(xC – 2 ; yC – (-2))
soit ->DC(xC – 2 ; yC + 2)

Comme les vecteurs sont égaux, leurs coordonnées sont égales. On a donc :

Pour les abscisses x :
-1 = xC – 2
⇔ xC – 2 = -1
⇔ xC = -1 + 2
⇔ xC = 1

Pour les ordonnées y :
-8 = yC + 2
⇔ yC + 2 = -8
⇔ yC = -8 – 2
⇔ yC = -10

Le point C a donc pour coordonnées (1 ; -10).
En recalculant les coordonnées du vecteur ->CD, on vérifie qu’elles valent bien
(-1 ; -8) et qu’elles sont égalent à celles de ->AB.

2) Centre I de ABCD :

Rédaction :
Comme I est le centre du parallélogramme ABCD, c’est le milieu des deux diagonales. En calculant les coordonnées du milieu de l’une ou l’autre des diagonales, on détermine le point I.

La formule du milieu d’un segment [AB] est :
géométrie formule milieu segment

Attention! Sur ton parallélogramme, les diagonales sont [AC] et [BD].
Calculons les coordonnées de I milieu de [BD] :

xI = (xB + xD)/2
= (-2 + 2)/2
= 0/2
= 0

yI = (yB + yD)/2
= (-4 – 2)/2
= -6/2
= -3

Les coordonnées du milieu I sont donc (0 ; -3). C’est le centre du parallélogramme.

3) J tel que ->JA = 3->JE :

Rédaction :

Pour déterminer les coordonnées du point J, il faut utiliser les coordonnées de vecteurs.

D’une part :
->JA(xA – xJ ; yA – yJ)
soit ->JA(-1 – xJ ; 4 – yJ)

D’autre part :
3->JE( 3×(xE – xJ) ; 3×(yE – yJ))
soit 3->JE(3×(5 – xJ) ; 3×(2 – yJ))
soit 3->JE(15 – 3xJ ; 6 – 3yJ)

Comme les deux membres de l’égalité sont égaux, les coordonnées en x et y sont égales.

Pour les x :
-1 – xJ = 15 – 3xJ
⇔ -1 + 2xJ = 15
⇔ -1 + 2xJ + 1 = 15 + 1
⇔ 2xJ = 16
⇔ xJ = 16/2 = 8

Pour les y :
4 – yJ = 6 – 3yJ
⇔ 4 + 2yJ = 6
⇔ 4 + 2yJ – 4 = 6 – 4
⇔ 2yJ = 2
⇔ yJ = 2/2 = 1

Les coordonnées de J sont donc (8 ; 1).

4) B, D et J alignés :

Rédaction :

B, D et J sont alignés si et seulement si les deux vecteurs ->BD et ->BJ sont colinéaires. (ou deux autres avec ces trois points)

Calculons ->BD :
->BD(xD – xB ; yD – yB)
soit ->BD(2 – (-2) ; -2 – (-4))
soit ->BD(2 + 2 ; -2 + 4)
soit ->BD(4 ; 2)
On a donc : x = 4 et y = 2.

Calculons ->BJ :
->BJ(xJ – xB ; yJ – yB)
soit ->BJ(8 – (-2) ; 1 – (-4))
soit ->BJ(8 + 2 ; 1 + 4)
soit ->BJ(10 ; 5)
On a donc : x’ = 10 et y’ = 5.

« Deux vecteurs de coordonnées (x ; y) et (x’ ; y’) sont colinéaires
si et seulement si
x’ × y – x × y’ = 0. »

Calculons x’ × y – x × y’
= 10 × 2 – 4 × 5
= 20 – 20
= 0.
Le résultat vaut 0, donc les vecteurs ->BD et ->BJ sont égaux
donc les points B, D et J sont alignés.

5) AB, AD et BD :

Rédaction :

On cherche à calculer des distances. Il y a une formule pour ça, la voici :

formule distance géométrie

AB = √[(xB – xA)2 + (xB – xA)2]
= √[(-2 – (-1))2 + (-4 – 4)2]
= √[(-2 + 1)2 + (-8)2]
= √[(-1)2 + (-8)2]
= √[1 + 64]
= √65

AD = √[(xD – xA)2 + (xD – xA)2]
= √[(2 – (-1))2 + (-2 – 4)2]
= √[(2 + 1)2 + (-6)2]
= √[(3)2 + (-6)2]
= √[9 + 36]
= √45

BD = √[(xD – xB)2 + (xD – xB)2]
= √[(2 – (-2))2 + (-2 – (-4))2]
= √[(2 + 2)2 + (-2 + 4)2]
= √[(4)2 + (2)2]
= √[16 + 4]
= √20

6) Nature du triangle ABD :

Rédaction :

On sait que AB = √65,
AD = √45
et BD = √20.

AB est le plus grand côté.
D’une part :
AB2 = (√65)2 = 65.
D’autre part :
AD2 + BD2
= (√45)2 + (√20)2
= 45 + 20
= 65.

On a bien AB2 = AD2 + BD2.

D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABD est rectangle en D avec [AB] comme hypoténuse.

7) Aire du parallélogramme ABCD :

Rédaction :

géométrie, vecteurs, milieux, triangles, parallèlogramme, triangle

Un parallélogramme est composé de deux triangles en surface. Ici le triangle ABD et le triangle BCD qui sont de même surface. On peut dire que l’aire de ABCD est le double de l’aire de ABD.
Or ABD est un triangle rectangle en D, la base et la hauteur sont donc les côtés qui bordent l’angle droit en D. On va dire que la base est AD et la hauteur BD. En effet, la base et la hauteur sont toujours perpendiculaires.

AireABD = (base × hauteur)/2
= (AD × BD)/2
= (√45 × √20)/2
= (√(9×5) × √(4×5))/2
= (√9 × √5 × √4 × √5)/2
= (3 × √5 × 2 × √5)/2
= (6 × √5 × √5)/2
= (6 × 5)/2
= (30)/2
= 15.

C’est l’aire des triangles, donc l’aire du parallélogramme ABCD est le double soit 30.

Bonne compréhension,
Sylvain

astuces exercices maths corrigé

Exercice précédent : Corrigé N°346 – Inéquations, factorisation, tableau de signe – Seconde

Ecris le premier commentaire

Corrigé N°346 :

Exercice : Inéquations – Factorisation, tableau de signe, solution – Seconde

1) (5x – 1)(2 – 3x) ≥ 0 :

Rédaction :

Pour résoudre une inéquation avec ≥ 0, l’idéal est de construire le tableau de signe de l’expression de gauche et de déterminer les intervalles de x où il y a les « + » et « 0 ».

Pour cela, on doit d’abord obtenir les signes de 5x – 1
et de 2 – 3x séparément. J’effectue des petites inéquations que j’appelle mini-inéquations.

On a le signe « + »
quand 5x – 1 ≥ 0
quand 5x ≥ 1
quand 5x/51/5
(on garde le sens de l’inégalité car on divise par un nombre positif de chaque côté)
quand x ≥ 1/5
Cela veut dire que c’est à droite de 1/5 dans le tableau.

On mettra donc le signe « + » à droite de 1/5.

On a le signe « + »
quand 2 – 3x ≥ 0
quand -3x ≥ -2
quand -3x/-3-2/-3
(on change le sens de l’inégalité car on divise par un nombre négatif de chaque côté)
quand x ≤ 2/3
Cela veut dire que c’est à gauche de 2/3 dans le tableau.

On mettra donc le signe « + » à gauche de 2/3.

Voici le tableau de signe :

tableau signe produit seconde

Comme on veut (5x – 1)(2 – 3x) ≥ 0, on prend les « + » et les « 0 » dans le tableau, soit des crochets fermés. L’intervalle des solutions est donc :
S = [1/5 ; 2/3].

2) [3/(4x + 1)] – 1 > 0 :

Rédaction :

Attention, il y a une fraction avec des x, c’est-à-dire, une fonction rationnelle. Il faut donc déterminer l’ensemble de définition de l’équation.

Or une fonction rationnelle est définie si et seulement si son dénominateur est différent de zéro.
On va donc faire le tableau de signe du dénominateur et exclure les valeurs de x qui font que ce dénominateur est égal à zéro.

On a le signe « + »
quand 4x + 1 ≥ 0
quand 4x ≥ -1
quand 4x/4 ≥ –1/4
(on garde le sens de l’inégalité car on divise par un nombre positif de chaque côté)
quand x ≥ –1/4
Cela veut dire que c’est à droite de –1/4 dans le tableau.

On mettra donc le signe « + » à droite de –1/4.

tableau signe dénominateur

Le dénominateur est donc nul quand x = –1/4.
Le domaine de définition de l’inéquation est donc R privé de –1/4.

Donc :

Pour résoudre une inéquation avec 0 à droite, il faut faire un tableau de signe de l’expression de gauche.

[3/(4x + 1)] – 1 > 0

Pour résoudre cette inéquation avec une fraction et une soustraction, l’astuce est de tout mettre sur le même dénominateur.

⇔ [3/(4x + 1)] – [(4x + 1)/(4x + 1)] > 0
(3 – (4x + 1))/(4x + 1) > 0
(3 – 4x – 1)/(4x + 1) > 0
(2 – 4x)/(4x + 1) > 0

Le membre de gauche est en forme de dénominateur donc on peut appliquer la règle des signes en faisant un tableau de signe.

Je cherche le signe du numérateur avec une mini-inéquation :

On a le signe « + »
quand 2 – 4x ≥ 0
quand -4x ≥ -2
quand -4x/-4-2/-4
(on change le sens de l’inégalité car on divise par un nombre négatif de chaque côté)
quand x ≤ 2/4
quand x ≤ 1/2
Cela veut dire que c’est à gauche de 1/2 dans le tableau.

On mettra donc le signe « + » à gauche de de 1/2.

tableau signe numérateur

Pour le signe du dénominateur, on le connait déjà car on l’a fait avant avec le domaine de définition.

Voici donc le tableau de signe du quotient :

tableau signe quotient

Pour conclure sur l’inéquation, comme on veut un membre de gauche strictement supérieur à 0, on sélectionne exclusivement les + du tableau. Soit des x appartenant à

S = ] –1/4 ; 1/2 [.

On ne sélectionne pas la valeur de x au-dessus de la double-barre (elle ne rentre pas dans le domaine de définition de l’inéquation), ni la valeur de x au-dessus du 0 (inégalité stricte).

3) (x + 3)2 > (2x – 1)2 :

Rédaction :

Pour résoudre une inéquation, la première astuce de de tout mettre à gauche en soustrayant le membre de droite.

⇔ (x + 3)2 – (2x – 1)2 > 0

Carré moins Carré, on retrouve la forme développée de la troisième identité remarquable. On peut la factoriser.

factoriser troisième identité remarquable

Le A2 est (x + 3)2,
donc le A est (x + 3).

Le B2 est (2x – 1)2,
donc le B est (2x – 1).

En factorisant, on obtient :

⇔ [(x + 3) + (2x – 1)] × [(x + 3) – (2x – 1)] > 0

⇔ [x + 3 + 2x – 1] × [x + 3 – 2x + 1] > 0
(attention quand on enlève le couple de parenthèses après l’opérateur « moins »)

⇔ [3x + 2] × [-x + 4] > 0

⇔ (3x + 2) × (-x + 4) > 0

Pour résoudre une inéquation avec > 0, l’idéal est de construire le tableau de signe de l’expression de gauche et de déterminer les intervalles de x où il y a les « + » (mais pas les « 0 »).

Pour cela, on doit d’abord obtenir les signes de 3x + 2
et de -x + 4 séparément. J’effectue des petites inéquations que j’appelle mini-inéquations.

On a le signe « + »
quand 3x + 2 ≥ 0
quand 3x ≥ -2
quand 2x/2 ≥ –2/3
(on garde le sens de l’inégalité car on divise par un nombre positif de chaque côté)
quand x ≥ –2/3
Cela veut dire que c’est à droite de –2/3 dans le tableau.

On mettra donc le signe « + » à droite de –2/3.

On a le signe « + »
quand -x + 4 ≥ 0
quand -x ≥ -4
quand -1x/-1-4/-1
(on change le sens de l’inégalité car on divise par un nombre négatif de chaque côté)
quand x ≤ 4
Cela veut dire que c’est à gauche de 4 dans le tableau.

On mettra donc le signe « + » à gauche de 4.

Voici le tableau de signe :

tableau signe produit

Pour conclure sur l’inéquation, comme on veut un membre de gauche strictement supérieur à 0, on sélectionne exclusivement les + du tableau. Soit des x appartenant à

S = ] –2/3 ; 4 [.

On ne sélectionne pas les valeur de x au-dessus du 0 (inégalité stricte).

4) 9 – x2 + (3 – x)(2x + 6) ≤ 0 :

Rédaction :


Pour résoudre une inéquation avec 0 à droite, il faut faire un tableau de signe de l’expression de gauche.

Mais pour faire un tableau de signe, il nous faut un produit. Et là, on a une soustraction et une addition, il faut factorise.

Avec 9 – x2, on a quelque chose de la forme Carré moins Carré, on retrouve la forme développée de la troisième identité remarquable. On peut la factoriser.

factoriser troisième identité remarquable

Le A2 est 9,
donc le A est 3.

Le B2 est x2,
donc le B est x.

En factorisant le début, on obtient :

⇔ (3 + x) × (3 – x) + (3 – x)(2x + 6) ≤ 0

La première façon de factoriser est de regarder si on a un facteur commun. Ci-dessous, on voit :

⇔ (3 + x) × (3 – x) + (3 – x)(2x + 6) ≤ 0
(3 – x) × (3 + x) + (3 – x) × (2x + 6) ≤ 0
On utilise donc la formule de la factorisation avec facteur commun :

factoriser formule distributivité

Comme c’est un « plus » qu’on a au milieu, on prend la formule avec le « plus », soit :
K × A + K × B

Le K est (3 – x).
Le A est (3 + x).
Le B est (2x + 6).

En forme factorisée, cela donne :
K × (A + B) soit

(3 – x) × [(3 + x) + (2x + 6)] ≤ 0
(3 – x) × [3 + x + 2x + 6] ≤ 0
(3 – x) × [3x + 9] ≤ 0
(3 – x) × (3x + 9) ≤ 0

Pour résoudre une inéquation avec ≤ 0, l’idéal est de construire le tableau de signe de l’expression de gauche et de déterminer les intervalles de x où il y a les « – » et les « 0 ».

Pour cela, on doit d’abord obtenir les signes de 3 – x
et de 3x + 9 séparément. J’effectue des petites inéquations que j’appelle mini-inéquations.

On a le signe « + »
quand 3 – x ≥ 0
quand -x ≥ -3
quand -1x/-1 ≤ –3/-1
(on change le sens de l’inégalité car on divise par un nombre négatif de chaque côté)
quand x ≤ 3
Cela veut dire que c’est à gauche de 3 dans le tableau.

On mettra donc le signe « + » à gauche de 3.

On a le signe « + »
quand 3x + 9 ≥ 0
quand 3x ≥ -9
quand 3x/3-9/3
(on garde le sens de l’inégalité car on divise par un nombre positif de chaque côté)
quand x ≥ -3
Cela veut dire que c’est à droite de -3 dans le tableau.

On mettra donc le signe « + » à droite de -3.

Voici le tableau de signe :

tableau signe produit facteurs

Pour conclure sur l’inéquation, comme on veut un membre de gauche ≤ 0, on sélectionne les « – » et les « 0 » du tableau. Soit des x appartenant à

S = ] -∞ ; -3 ] U [ 3 ; +∞ [.

On sélectionne les valeur de x au-dessus du 0 (inégalité large) donc on met des crochets fermés sur -3 et 3. Toujours des crochets ouverts aux infinis.

1/(5x – 1)1/(x + 2)
5) Ensemble de définition de l’inéquation :

Rédaction :

Attention, il y a deux fraction avec des x, c’est-à-dire, deux expressions rationnelles. Il faut donc déterminer l’ensemble de définition de l’équation.

Or une expression rationnelle (fraction) est définie si et seulement si son dénominateur est différent de zéro.

On va donc faire les tableau de signe des dénominateur et exclure les valeurs de x qui font que ces dénominateurs sont égaux à zéro.

On a le signe « + »
quand 5x – 1 ≥ 0
quand 5x ≥ 1
quand 5x/51/5
(on garde le sens de l’inégalité car on divise par un nombre positif de chaque côté)
quand x ≥ 1/5
Cela veut dire que c’est à droite de 1/5 dans le tableau.

On mettra donc le signe « + » à droite de 1/5.

tableau signe dénominateur affine

Ce dénominateur est donc nul quand x = 1/5.
Le domaine de définition de l’inéquation sera d’ores et déjà privé de 1/5.

On a le signe « + »
quand x + 2 ≥ 0
quand x ≥ -2
Cela veut dire que c’est à droite de -2 dans le tableau.

On mettra donc le signe « + » à droite de -2.

tableau signe dénominateur affine

Ce dénominateur est donc nul quand x = -2.
Le domaine de définition de l’inéquation sera d’ores et déjà privé de -2.

En rassemblant les deux valeurs exclues 1/5 et -2, on peut affirmer que le domaine de définition est l’ensemble des réels privé de ces deux valeur.
D = R privé de {-2 ; 1/5}
D = ] -∞ ; -2 [ U ] -2 ; 1/5 [ U ] 1/5 ; +∞ [

(-4x + 3)/[ (5x – 1)(x + 2) ] ≤ 0
6) Équivalence de l’inéquation 5) à celle ci-dessus :

Rédaction :

Pour résoudre une inéquation, la première astuce de de tout mettre à gauche en soustrayant le membre de droite.

1/(5x – 1)1/(x + 2)
1/(5x – 1)1/(x + 2) ≤ 0

Pour résoudre cette inéquation avec une fraction et une soustraction, l’astuce est de tout mettre sur le même dénominateur.
On multiplie donc ici, les dénominateurs entre eux pour obtenir le dénominateur commun.

Pour faire bien, on multiplie le premier numérateur par le second dénominateur et le second numérateur par le premier dénominateur. Comme ci-dessous :

1/(5x – 1) × (x + 2)/(x + 2)1/(x + 2) × (5x – 1)/(5x – 1) ≤ 0

(1(x + 2))/[ (5x – 1)(x + 2) ] (1(5x – 1))/[ (5x – 1)(x + 2) ] ≤ 0

Les dénominateurs sont les mêmes, on peut rassembler les numérateurs sur la même barre de fraction.

[ 1(x + 2) 1(5x – 1) ]/[ (5x – 1)(x + 2) ] ≤ 0
[ (x + 2) (5x – 1) ]/[ (5x – 1)(x + 2) ] ≤ 0
[ x + 2 – 5x + 1 ]/[ (5x – 1)(x + 2) ] ≤ 0
[ -4x + 3 ]/[ (5x – 1)(x + 2) ] ≤ 0
(-4x + 3)/[ (5x – 1)(x + 2) ] ≤ 0

7) Résolution de l’équation 5) :

Rédaction :

Cela revient à résoudre la dernière inégalité.
(-4x + 3)/[ (5x – 1)(x + 2) ] ≤ 0

Pour résoudre une inéquation avec ≤ 0, l’idéal est de construire le tableau de signe de l’expression de gauche et de déterminer les intervalles de x où il y a les « – » et « 0 ».

Évidemment, il faut un produit de facteurs ou des quotients pour pouvoir appliquer la règle des signes et faire ce tableau de signe. C’est le cas avec (-4x + 3), (5x – 1) et (x + 2). Il y a une barre de fraction (soit diviser) et un produit en bas (soit multiplier).

On peut donc refaire les mini-inéquations.

On a le signe « + »
quand -4x + 3 ≥ 0
quand -4x ≥ -3
quand -4x/-4-3/-4
(on change le sens de l’inégalité car on divise par un nombre négatif de chaque côté)
quand x ≤ 3/4
Cela veut dire que c’est à gauche de 3/4 dans le tableau.

On mettra donc le signe « + » à gauche de 3/4.

On a le signe « + »
quand 5x – 1 ≥ 0
quand 5x ≥ 1
quand 5x/51/5
(on garde le sens de l’inégalité car on divise par un nombre positif de chaque côté)
quand x ≥ 1/5
Cela veut dire que c’est à droite de 1/5 dans le tableau.

On mettra donc le signe « + » à droite de 1/5.

On a le signe « + »
quand x + 2 ≥ 0
quand x ≥ -2
Cela veut dire que c’est à droite de -2 dans le tableau.

On mettra donc le signe « + » à droite de -2.

Ce qui donne le tableau de signe suivant :

tableau signe quotient

Pour conclure sur l’inéquation, comme on veut un membre de gauche ≤ 0, on sélectionne les « – » et les « 0 » du tableau. Soit des x appartenant à

S = ] -2; ; 1/5 [ U [ 3/4 ; +∞ [.

On sélectionne les valeurs de x au-dessus du 0 (inégalité large) donc on met des crochets fermés sur 3/4. Toujours des crochets ouverts aux infinis et on les mets aussi aux valeurs exclues -2 et 1/5 (là où il y a les doubles-barres).

Bonne compréhension,
Sylvain

astuces exercices maths corrigé

Corrigé précédent : Corrigé N°331 – Exponentielle, coût, dérivée, variation – Terminale ES

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Corrigé N°331 :

Exercice : Exponentielle – Coûts, dérivée, inéquations, variation – Terminale ES

CT(x) = 2x2 + xe-2x + 3

1) Fonction coût marginal Cm :

Rédaction :

Pour avoir le coût marginal Cm(x), on fait la fonction dérivé du coût total CT(x).

CT(x) = 2x2 + u(x) × v(x)
avec u(x) = x,
donc u'(x) = 1,
avec v(x) = e-2x + 3,
donc v'(x) = -2 × e-2x + 3 avec la dérivée de l’exponentielle :

fonction dérivée exponentielle

Donc C’T(x) = 2 × 2x + (u'(x) × v(x) + u(x) × v'(x))
= 4x + 1 × e-2x + 3 + x × (-2 × e-2x + 3)
On obtient en factorisant par l’exponentielle :
Cm(x) = 4x + (1 – 2x) × e-2x + 3

2) Coût marginal pour 150 articles :

Rédaction :

On calcule Cm(1.5) = 4 × 1.5 + (1 – 2 × 1.5) × e-2 × 1.5 + 3
= 6 – 2 × e-2 × 1.5 + 3
= 6 – 2 × e0
= 6 – 2 × 1
= 4 milliers d’euros.

CM(x) = CT(x)/x
3) Expression de CM(x) :

Rédaction :

CM(x) = (2x2 + xe-2x + 3)/x
= (x × [2x + e-2x + 3])/x
(en factorisant par x au numérateur)
= 2x + e-2x + 3
(en simplifiant x/x = 1).

4) Déterminer C’M(x) :

Rédaction :

CM(x) = 2x + e-2x + 3
On utilise à nouveau la formule de la dérivée de l’exponentielle vue au-dessus.
C’M(x) = 2 + (-2) × e-2x + 3
= 2 – 2e-2x + 3
= 2 × (1 – e-2x + 3)
(comme je vois 2 et 2, je factorise par 2)

5) Résoudre l’équation 1 – e-2x + 3 = 0 :

Rédaction :

1 – e-2x + 3 = 0
⇔ 1 = e-2x + 3
⇔ e0 = e-2x + 3
⇔ 0 = -2x + 3
⇔ 2x = 3
⇔ x = 3/2

S = {3/2}

6) Résoudre l’équation 1 – e-2x + 3 > 0 :

Rédaction :

1 – e-2x + 3 > 0 (expression positive)
⇔ 1 > e-2x + 3
⇔ e0 > e-2x + 3
⇔ 0 > -2x + 3
(car exp est strictement croissante, on ne change pas le sens de l’inégalité)
⇔ 2x > 3
⇔ x > 3/2
(x à droite de 3/2)

S = ]3/2 ; +∞[

7) Variation de CM :

Rédaction :

Pour obtenir les variations de CM, il nous faut le signe de C’M(x) qui est un produit. On fait le tableau suivant :

tableau signe dérivée variation fonction

8) Production q quand l’entreprise a un coût moyen minimal et coût :

Rédaction :

D’après le tableau de variation de CM, on voit que le coût moyen est minimal pour une quantité de 1.5 centaines d’articles.

Donc CM(1.5) = 2 × 1.5 + e-2 × 1.5 + 3
= 3 + e0
= 3 + 1 = 4.

Le coût moyen minimal est de 4 milliers d’euros.

R(x) = 7x,
B(x) = R(x) − CT(x).
Par lecture graphique déterminer :

9) Intervalle avec rendement marginal est croissant (coût marginal est décroissant) :

Rédaction :

Le coût marginal est décroissant, soit Cm décroissante. Or Cm est la dérivée de CT donc cela équivaut à C’T décroissante.
Or C’T décroissante
⇔ C ‘ ‘T(x) négatif
⇔ CT concave
⇔ C’est quand les tangentes à la courbe sont au-dessus de cette même courbe, c’est-à-dire avant le point d’inflexion de la courbe qui est proche du point d’abscisse 0.7.
L’intervalle de rendement marginal croissant est de [0 ; 0.7].

10) Coût moyen minimal :

Rédaction :

Le coût moyen est atteint en x = 1.5, donc on regarde le coût total qui vaut 6.
Pour obtenir ce coût moyen, on peut rediviser ce coût total par la quantité.
6/1.5 = 4.
On retrouve le coût moyen calculé plus haut.

11) Intervalle de x avec bénéfice positif :

Rédaction :

Le bénéfice est positif quand la recette est supérieure au coût. Il faut déterminer les abscisses des points des courbes quand la droite des recettes est au-dessus de la droite du coût.
On remarque que le bénéfice est positif pour des quantités allant de 0.6 à 3.5 centaines d’articles.

12) Production x0 avec bénéfice maximal :

Rédaction :

Pour obtenir le x0 avec le bénéfice maximal, il faut regarder à quel endroit l’écart entre la droite de la recette et la courbe du coût est le plus grand. D’après le graphique, je dirais que x0 = 2.2 centaines d’articles.

13) Avec calculatrice, intervalle (à un article près) pour avoir un bénéfice positif :

Rédaction :

Pour cela, on a besoin de la formule du bénéfice B(x) qui est égale à
R(x) – CT(x)
= 7x – (2x2 + xe-2x + 3)

Je rentre cette formule dans le tableur de la calculatrice.

D’abord de 0 à 1, ensuite de 3 à 4 car nous avions vu dans une question précédente que les bornes étaient environ de 0.6 et de 3.5.

Je commence par mettre le pas (step) à 0.1, la fonction B(x) change de signe entre 0.6 et 0.7, puis entre 3.4 et 3.5.

Puis j’affine le pas au centième pour arriver à l’article près (x étant en centaines d’articles). On a :

B(0.62) = -0.0325 (au dix-millième près)
B(0.63) = 0.0269 (au dix-millième près)

B(3.49) = 0.0046 (au dix-millième près)
B(3.50) = -0.0064 (au dix-millième près)

On conserve les valeurs où les images sont positives.
Donc l’entreprise fait un bénéfice positif
sur l’intervalle [0.63 ; 3.49].

Bonne compréhension,
Sylvain

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Corrigé N°316 :

Exercice : Fonctions – Rationnelle, affine, graphique, antécédent – Première ES

f(q) = 0.5q

g(q) = (78 – 6q)/(q + 8)

1) Déterminer si demande excédentaire si prix d’1 euro ?

Rédaction :

Pour un prix de 1 euros (en ordonnée), si on trace la droite horizontale de hauteur 1 (d’équation y = 1), la courbe de demande indique une abscisse de 10 millions car le point d’intersection a pour coordonnées (10 ; 1).

Pour un prix de 1 euros (en ordonnée), si on trace la droite horizontale de hauteur 1 (d’équation y = 1), la courbe d’offre indique une abscisse de 2 millions car le point d’intersection a pour coordonnées (2 ; 1).

La demande étant de 10 millions contre une offre de 2 millions, elle est excédentaire.

2) Quantité d’articles offerte pour 4.50 euros :

Rédaction :

Le prix est de 4.5 euros, donc l’image est de 4.5 euros. Je vais donc déterminer l’antécédent q tel que f(q) = 4.5.
Soit 0.5q = 4.5
0.5q/0.5 = 4.5/0.5
⇔ q = 9

Pour un prix de 4.5, la quantité offerte est de 9 millions.

3) Quantité d’articles demandée pour 4.50 euros :

Rédaction :

Le prix est de 4.5 euros, donc l’image est de 4.5 euros. Je vais donc déterminer l’antécédent q tel que g(q) = 4.5.
Soit (78 – 6q)/(q + 8) = 4.5,
⇔ 78 – 6q = 4.5 × (q + 8)
(en multipliant, par (q + 8) positif de chaque côté),
⇔ 78 – 6q – (4.5 × (q + 8)) = 0,
Dans ce cas,
⇔ 78 – 6q – (4.5q + 4,5 × 8) = 0,
⇔ 78 – 6q – 4.5q – 4,5 × 8 = 0,
⇔ 78 – 10.5q – 36 = 0
⇔ 42 – 10.5q = 0
⇔ q = 42/10.5 = 4.

Si on traces y = 4.5 et on regarde l’intersection avec Cg, on trouve bien un antécédent q qui vaut 4.

Pour un prix de 4.5, la quantité demandée est de 4 millions.

4) Problème :

Rédaction :

Pour un prix de 4.5 euros, il y a trop d’offre par rapport à la demande.

5) Prix d’équilibre et quantité associée :

Rédaction :

Pour avoir le prix d’équilibre, il faut que l’offre soit égale à la demande soit :
f(q) = g(q)
⇔ 0.5q = (78 – 6q)/(q + 8)
⇔ 0.5q × (q + 8) = 78 – 6q
(en multipliant, par (q + 8) positif de chaque côté),
⇔ 0.5q × q + 0.5q × 8 – 78 + 6q = 0
⇔ 0.5q2 + 10q – 78 = 0
⇔ q2 + 20q – 156 = 0
(en multipliant, par 2 de chaque côté pour enlever le 0.5)

C’est un polynôme du second degré.
Δ = b2 – 4ac
= 202 – 4 × 1 × (-156)
= 400 + 624
= 1024 > 0 soit deux racines :

x1 = (-b – √Δ)/(2a)
= (-20 – √1024)/(2 × 1)
= (-20 – 32)/2
= -52/2
= -26

x2 = (-b + √Δ)/(2a)
= (-20 + √1024)/(2 × 1)
= (-20 + 32)/2
= 12/2
= 6

Comme les quantités vont de 1 à 12, on retient ici q = 6 millions pour quantité d’équilibre.
Le prix d’équilibre est donc g(q) = f(q) = 0.5 × 6 = 3 euros.

Bonne compréhension,
Sylvain

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