Corrigé N°306 :

Exercice : Convexité – Fonction, courbe, dérivée, inflexion – Terminale ES

1) f ‘(x) = 0 par lecture graphique et variation de f :

Rédaction :

La courbe représentée est celle de f ‘ (et non celle de f, attention !).
Pour savoir quand f ‘(x) = 0, il faut regarder quand la courbe de f ‘ coupe l’axe des abscisses.
On voit que la courbe coupe l’axe des abscisses quand x = -2.
Quand x < -2, la courbe de f ' est en dessous de l'axe des abscisse donc f '(x) < 0. Quand x > -2, la courbe de f ‘ est en dessous de l’axe des abscisse donc f ‘(x) > 0.

Pour obtenir les variations de f, faisons donc le tableau de signe de f ‘(x) avec ces informations.

signe fonction dérivée  variation

2) Variations de f ‘ et signe de f ‘ ‘(x) :

Rédaction :

Pour avoir les variations de f ‘ avec le graphique, on regarde quand sa courbe monte (soit f ‘ croissante) et quand sa courbe descend (soit f ‘ décroissante).
On peut voir que f ‘ est croissante jusqu’à x = -1 et que f ‘ est décroissante ensuite. Soit le tableau de variation suivant :

variation dérivé signe dérivée seconde

Le signe de f ‘ ‘(x) dépend directement de la variation de f ‘ comme indiqué dans le tableau ci-dessus.

3) f convexe et concave :

Rédaction :

Pour déterminer la convexité de f, on doit déterminer le signe de f ‘ ‘(x) (que l’on a déjà ici) et faire une ligne en dessous avec les mots concaves / convexe / point d’inflexion.

signe dérivée seconde convexité fonction

4) f ‘ ‘(0) :

Rédaction :

La seule donnée que l’on a dans l’énoncé, c’est la courbe de f ‘. Or, les f ‘ ‘(x) sont les nombres dérivées de la fonction f ‘ : ce sont donc les coefficients directeurs des tangentes à la courbe de f ‘.

Pour calculer f ‘ ‘(0), il faut donc tracer la tangente à la courbe de f’ au point d’abscisse 0 (c’est T).
Prenons deux points de T pour calculer le coefficient directeur qui est f ‘ ‘(0).

Par exemple A(0 ; 1) et B(2 ; 0).

On utilise la formule du coefficient directeur :

f ‘ ‘(0) = m = (0 – 1)/(2 – 0)
= –1/2

5) Courbes qui représente f et f ‘ ‘.

Rédaction :

Pour la courbe de f, d’après les tableaux, on sait que la fonction est décroissante jusqu’à -2 puis croissante. De plus, il y a un point d’inflexion en -1. C’est clairement la courbe C1 qui convient car on voit que la pente diminue (les tangentes sont au-dessus) à partir de l’abscisse -1.

Pour la courbe de f’, d’après les tableaux, on sait que
f ‘ ‘(0) = –1/2 et que f ‘ ‘(x) est positif avant -1 puis négatif après -1. C’est clairement C3 qui convient, elle coupe même l’axe des ordonnées en -0.5.

6) Point d’inflexion de Cf et équation de la tangente :

Rédaction :

On a vu dans le tableau de la convexité de f que le point d’inflexion est atteint en x = -1. Le seul moyen de connaître f(-1) ici est la courbe C1.
Donc f(-1) = 0 car la courbe coupe l’axe des abscisses en x = -1.

L’équation d’une tangente au point d’abscisse a est :

equation tangente courbe fonction point abscisse a

Ici a = -1.

Donc y = f'(-1) × (x – (-1)) + f(-1)
y = 1.35 × (x + 1) + 0
y = 1.35x + 1.35.

1.35 est une valeur approchée avec la précision permise par le graphique de la courbe de f ‘. C’est l’image de -1 par f ‘.

Bonne compréhension,
Sylvain

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Corrigé N°331 :

Exercice : Exponentielle – Coûts, dérivée, inéquations, variation – Terminale ES

CT(x) = 2x2 + xe-2x + 3

1) Fonction coût marginal Cm :

Rédaction :

Pour avoir le coût marginal Cm(x), on fait la fonction dérivé du coût total CT(x).

CT(x) = 2x2 + u(x) × v(x)
avec u(x) = x,
donc u'(x) = 1,
avec v(x) = e-2x + 3,
donc v'(x) = -2 × e-2x + 3 avec la dérivée de l’exponentielle :

fonction dérivée exponentielle

Donc C’T(x) = 2 × 2x + (u'(x) × v(x) + u(x) × v'(x))
= 4x + 1 × e-2x + 3 + x × (-2 × e-2x + 3)
On obtient en factorisant par l’exponentielle :
Cm(x) = 4x + (1 – 2x) × e-2x + 3

2) Coût marginal pour 150 articles :

Rédaction :

On calcule Cm(1.5) = 4 × 1.5 + (1 – 2 × 1.5) × e-2 × 1.5 + 3
= 6 – 2 × e-2 × 1.5 + 3
= 6 – 2 × e0
= 6 – 2 × 1
= 4 milliers d’euros.

CM(x) = CT(x)/x
3) Expression de CM(x) :

Rédaction :

CM(x) = (2x2 + xe-2x + 3)/x
= (x × [2x + e-2x + 3])/x
(en factorisant par x au numérateur)
= 2x + e-2x + 3
(en simplifiant x/x = 1).

4) Déterminer C’M(x) :

Rédaction :

CM(x) = 2x + e-2x + 3
On utilise à nouveau la formule de la dérivée de l’exponentielle vue au-dessus.
C’M(x) = 2 + (-2) × e-2x + 3
= 2 – 2e-2x + 3
= 2 × (1 – e-2x + 3)
(comme je vois 2 et 2, je factorise par 2)

5) Résoudre l’équation 1 – e-2x + 3 = 0 :

Rédaction :

1 – e-2x + 3 = 0
⇔ 1 = e-2x + 3
⇔ e0 = e-2x + 3
⇔ 0 = -2x + 3
⇔ 2x = 3
⇔ x = 3/2

S = {3/2}

6) Résoudre l’équation 1 – e-2x + 3 > 0 :

Rédaction :

1 – e-2x + 3 > 0 (expression positive)
⇔ 1 > e-2x + 3
⇔ e0 > e-2x + 3
⇔ 0 > -2x + 3
(car exp est strictement croissante, on ne change pas le sens de l’inégalité)
⇔ 2x > 3
⇔ x > 3/2
(x à droite de 3/2)

S = ]3/2 ; +∞[

7) Variation de CM :

Rédaction :

Pour obtenir les variations de CM, il nous faut le signe de C’M(x) qui est un produit. On fait le tableau suivant :

tableau signe dérivée variation fonction

8) Production q quand l’entreprise a un coût moyen minimal et coût :

Rédaction :

D’après le tableau de variation de CM, on voit que le coût moyen est minimal pour une quantité de 1.5 centaines d’articles.

Donc CM(1.5) = 2 × 1.5 + e-2 × 1.5 + 3
= 3 + e0
= 3 + 1 = 4.

Le coût moyen minimal est de 4 milliers d’euros.

R(x) = 7x,
B(x) = R(x) − CT(x).
Par lecture graphique déterminer :

9) Intervalle avec rendement marginal est croissant (coût marginal est décroissant) :

Rédaction :

Le coût marginal est décroissant, soit Cm décroissante. Or Cm est la dérivée de CT donc cela équivaut à C’T décroissante.
Or C’T décroissante
⇔ C ‘ ‘T(x) négatif
⇔ CT concave
⇔ C’est quand les tangentes à la courbe sont au-dessus de cette même courbe, c’est-à-dire avant le point d’inflexion de la courbe qui est proche du point d’abscisse 0.7.
L’intervalle de rendement marginal croissant est de [0 ; 0.7].

10) Coût moyen minimal :

Rédaction :

Le coût moyen est atteint en x = 1.5, donc on regarde le coût total qui vaut 6.
Pour obtenir ce coût moyen, on peut rediviser ce coût total par la quantité.
6/1.5 = 4.
On retrouve le coût moyen calculé plus haut.

11) Intervalle de x avec bénéfice positif :

Rédaction :

Le bénéfice est positif quand la recette est supérieure au coût. Il faut déterminer les abscisses des points des courbes quand la droite des recettes est au-dessus de la droite du coût.
On remarque que le bénéfice est positif pour des quantités allant de 0.6 à 3.5 centaines d’articles.

12) Production x0 avec bénéfice maximal :

Rédaction :

Pour obtenir le x0 avec le bénéfice maximal, il faut regarder à quel endroit l’écart entre la droite de la recette et la courbe du coût est le plus grand. D’après le graphique, je dirais que x0 = 2.2 centaines d’articles.

13) Avec calculatrice, intervalle (à un article près) pour avoir un bénéfice positif :

Rédaction :

Pour cela, on a besoin de la formule du bénéfice B(x) qui est égale à
R(x) – CT(x)
= 7x – (2x2 + xe-2x + 3)

Je rentre cette formule dans le tableur de la calculatrice.

D’abord de 0 à 1, ensuite de 3 à 4 car nous avions vu dans une question précédente que les bornes étaient environ de 0.6 et de 3.5.

Je commence par mettre le pas (step) à 0.1, la fonction B(x) change de signe entre 0.6 et 0.7, puis entre 3.4 et 3.5.

Puis j’affine le pas au centième pour arriver à l’article près (x étant en centaines d’articles). On a :

B(0.62) = -0.0325 (au dix-millième près)
B(0.63) = 0.0269 (au dix-millième près)

B(3.49) = 0.0046 (au dix-millième près)
B(3.50) = -0.0064 (au dix-millième près)

On conserve les valeurs où les images sont positives.
Donc l’entreprise fait un bénéfice positif
sur l’intervalle [0.63 ; 3.49].

Bonne compréhension,
Sylvain

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Corrigé N°286 :

Exercice : Dérivation – Fonction, courbe, rationnelle, variation – Première ES

1) f(1) et de f'(1) :

Rédaction :

a est l’abscisse du point, sa « largeur ».
Donc je prends 1 sur l’axe des abscisses.

f(a) est l’image, soit l’ordonnée du point, sa « hauteur ».
La courbe est en bas, donc je descends verticalement vers la courbe et je note l’ordonnée du point : c’est -4.
Donc f(1) = -4.

f ‘(a) est la pente de la tangente de la courbe. On détermine la droite-tangente que l’on pose sur la courbe et on regarde le coefficient directeur.

Je prends le même point d’abscisse et je vois que la tangente est horizontale car on a un replat (un minimum ici) de la courbe. Donc le coefficient directeur vaut 0 car la tangente à Cf est parallèle à l’axe des abscisses (horizontale).
Donc f'(1) = 0.

2) Représentation graphique de la fonction f’ :

Rédaction :

Quand la pente est positive, c’est-à-dire quand f'(x) > 0, f est strictement croissante (et vice-versa).
Quand la pente est négative, c’est-à-dire quand f'(x) < 0, f est strictement croissante (et vice-versa). Quand f'(x) = 0, on a un replat de Cf.

Grâce au graphique, on peut faire le tableau de variation de f, puis en déduire le signe de f'(x).

tableau variation fonction signe dérivée

Comme f ‘(x) est positive et devient négative après l’abscisse x = 1, seule la courbe C2 convient.

f(x) = (x2 – 6x – 7)/(x + 2)

3) Calcul de f'(x) :

Rédaction :

f(x) = u(x)/v(x)
avec u(x) = x2 – 6x – 7
donc u'(x) = 2x – 6 – 0
avec v(x) = x + 2
donc v'(x) = 1 + 0

La formule de la dérivée d’un quotient est :

formule dérivée quotient

Donc Numérateur = (2x – 6) × (x + 2) – [ (x2 – 6x – 7) × 1 ]
= 2x2 + 4x – 6x – 12 – x2 + 6x + 7
= x2 + 4x – 5

Donc f ‘(x) = (x2 + 4x – 5)/(x + 2)2

4) Variations de f :

Rédaction :

Pour étudier les variations de f, on détermine le signe de f'(x) dans un tableau de signe. Je mets ici une ligne pour le numérateur et une ligne pour le dénominateur.

Pour le signe de x2 + 4x – 5,
on fait Δ = b2 – 4ac
= 42 – 4 × 1 × (-5)
= 16 + 20 = 36 > 0 soit deux racines :

x1 = (-b – √Δ)/(2a)
= (-4 – √36)/(2 × 1)
= (-4 – 6)/2
= -10/2
= -5

x2 = (-b + √Δ)/(2a)
= (-4 + √36)/(2 × 1)
= (-4 + 6)/2
= 2/2
= 1

Un polynôme du second degré est du signe de a à l’extérieur des racines.
Comme a = 1 > 0, il est positif avant -5 et après 1. Il est négatif entre -5 et 1. Puis nul en -5 et 1.

Pour le (x + 2)2, un carré est toujours positif ou nul. Ici, il est nul en -2. Comme la fonction n’est pas définie en -2, il sera ici toujours strictement positif : on met un + dans la ligne.

Cela donne le tableau suivant :

fonction tableau signe dérivée variation

Petit rappel pour la variation de f :
Quand la pente est positive, c’est-à-dire quand f'(x) > 0, f est strictement croissante. Quand la pente est négative, c’est-à-dire quand f'(x) < 0, f est strictement croissante.

Bonne compréhension,
Sylvain

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Corrigé N°305 :

Exercice : Convexité – Fonction, pourcentage, inflexion, tangente – Terminale ES

f(x) = −0,04x3 + 0,68x2 − 0,06x + 51,4

1) Valeur estimée du taux en 2009 :

Rédaction :

La petite croix sur le graphique au dessus de l’abscisse 9 correspond à 2009, donc on calcule f(9).
f(9) = −0,04 × 93 + 0,68 × 92 − 0,06 × 9 + 51,4
= 76.78

2) Pourcentage d’erreur :

Rédaction :

Pour calculer un pourcentage d’erreur, on utilise la formule suivante :
[(ValeurMesurée – ValeurEstimée)/(ValeurMesurée)] × 100
= [(75.7 – 76.78)/(75.7)] × 100
= [(– 1.08)/(75.7)] × 100
= -1.427 environ.

Le pourcentage d’erreur est de 1.43%.

3) f'(x) et tableau de variations de f :

Rédaction :

f(x) = −0,04x3 + 0,68x2 − 0,06x + 51,4 donc

f'(x) = −0,04 × 3x2 + 0,68 × 2x − 0,06 × 1 + 0
= −0,12x2 + 1,36x – 0,06

Pour obtenir les variations de f, on a besoin du signe de f'(x).

C’est un polynôme du second degré.
Δ = b2 – 4ac
= 1.362 – 4 × (-0,12) × (-0,06)
= 1.8496 – 0.0288
= 1.8208 > 0
donc ce polynôme a deux racines réelles.

x1 = (-b – √Δ)/(2a)
= (-1.36 – √1.8208)/(2(−0,12))
= 11.289 environ

x2 = (-b + √Δ)/(2a)
= (-1.36 + √1.8208)/(2(−0,12))
= 0.0443 environ

On obtient le tableau de signe de f'(x) et de variation de f suivant :

signe dérivée second degré variation fonction

Je vais de -∞ à +∞ pour faire le signe du polynôme du second degré, puis je coupe à 0 et 11 pour coller au domaine de définition. Je calcule aussi f(0), le minimum, puis f(11).

4) f ‘ ‘(x) et convexité de f :

Rédaction :

f'(x) = −0,12x2 + 1,36x – 0,06 donc

f’ ‘(x) = −0,12 × 2x + 1.36 + 0
= -0.24x + 1.36.


Pour obtenir la convexité de f, on a besoin du signe de f’ ‘(x) (on peut toujours intercaler les variations de f’).

On met un + dans la ligne de -0.24x + 1.36
⇔ -0.24x + 1.36 ≥ 0
⇔ -0.24x ≥ -1.36
-0.24x/(-0.24)-1.36/(-0.24)
⇔ x ≤ 17/3
à gauche de 17/3

On obtient le tableau de signe de f’ ‘(x), de variation de f’, de convexité de f suivant :
convexité fonction signe dérivée seconde variation dérivée

5) Point d’inflexion et équation de la tangente :

Rédaction :

D’après le tableau de convexité de f, f passe de convexe à concave au point d’abscisse 17/3. Donc f admet un point d’inflexion en cette abscisse.

L’équation d’une tangente à courbe Cf au point d’abscisse a est :

equation tangente courbe fonction point abscisse a

Je vais calculer les valeurs approchées de f(17/3) et de f ‘(17/3).

f(17/3) = 65.617

f ‘(17/3) = 3.793

Donc y = 3.793 × (x – 17/3) + 65.617
y = 3.793x – 3.793 × 17/3 + 65.617
y = 3.793x + 44.123

C’est l’équation de la tangente au point d’inflexion.

6) Position relative de cette tangente avec C :

Rédaction :

Comme la fonction passe de convexe à concave en ce point d’inflexion, cette tangente est en dessous de C avant 17/3, puis au dessus de C après 17/3.

Je trace ci-dessous la courbe et la tangente pour x allant de 0 à 11 (carreaux de 1 en 1) et y allant de 0 à 90 (carreaux de 10 en 10).

courbe tangente point inflexion

Graphsketch.com

7) Diminution du rythme de croissance du taux d’endettement :

Rédaction :

C’est quand la fonction passe de convexe à concave, c’est à dire au niveau du point d’inflexion, que le rythme de croissance commence à diminuer. Pour 17/3, soit 5+(2/3). C’est à partir des deux-tiers de 2005 que ce rythme diminue.

Bonne compréhension,
Sylvain

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Corrigé N°473 :

Exercice : Primitives – Aires, courbes, intégrales, économie – Terminale ES

1) Interprétation économique du point D de g :

Rédaction :

On peut lire que les coordonnées du point D sont (0.5 ; 0.15). En abscisse à gauche, c’est le pourcentage des gens les plus pauvres. En ordonnée en dessous, c’est la répartition des richesses.
On peut affirmer que les 50% des gens les plus pauvres du pays 2 détiennent 15% des richesses du pays 2.

On donne
f(x) = 0.5x3 + 0.5x
et on admet que est positive sur [0 ; 1]

2) Aire A1 du domaine délimité par la courbe de f, l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 0 et x = 1 :

Rédaction :

Cette aire est [de 0 à 1]f(x)dx en U.A.
Pour la calculer, il faut d’abord déterminer une primitive F(x) de f(x).

La primitive « simple » de x3 est x4/4.

La primitive « simple » de x est x2/2.

Donc F(x) = 0.5 × x4/4 + 0.5 × x2/2
= 0.125x4 0.25x2.

A1 = [de 0 à 1]f(x)dx
= F(1) – ( F(0) )
= 0.125 × 14 0.25 × 12 – (0.125 × 04 0.25 × 02)
= 0.125 + 0.25 – (0)
= 0.375

3) Aire de A :

Rédaction :

Cette aire se situe entre la droite d’équation y = x (au-dessus) et la courbe Cf (en dessous). Pour calculer cette aire, on fait :
aire_sous_la_droite – aire_sous_la_courbe
= 1/2 – A1
= 0.5 – 0.375
= 0.125.

L’aire sous la droite y = x, allant de x = 0 à x = 1 vaut 1/2 car c’est un triangle rectangle de base 1 et de hauteur 1 (un demi-carré). C’est la formule (Base × Hauteur)/2.

G2 = 4/15.
4) Coefficient de Gini G1 et le système le plus égalitaire :

Rédaction :

G1 = 2 × A1
= 2 × 0.125
= 0.25

G2 = 4/15
= 0.267 environ.

G1 < G2 donc le pays 1 a un système + égalitaire que le pays 2.

5) Résultat à l’avance sur le graphique :

Rédaction :

La courbe Cf est au-dessus de la courbe Cg donc plus près de la droite y = x qui représente un système idéalement égalitaire.
C’est bien le pays lié à f, le premier.

Bonne compréhension,
Sylvain

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