Corrigé N°063 :

Exercice : Vecteurs et Droites – Points alignés, équation, variable – Première S

1) Mq C, I et J sont alignés :

Rédaction :

C, I et J sont alignés, si et seulement si, les vecteurs ->CI et ->IJ sont colinéaires. J’ai donc besoin des coordonnées de ces vecteurs, donc je dois calculer les coordonnées de C, I et J avant.

Cette figure est composé de trois carrés dont celui de gauche ABGH. Comme ->AB et ->AH ne sont pas colinéaires (côtés du carré), on peut introduire le repère (A ; ->AB ; ->AH).

Cela veut dire que le point A a pour coordonnées (0 ; 0), B(1 ; 0) et H(0 ; 1).
Du coup, on a C(2 ; 0), D(3 ; 0), E(3 ; 1), F(2 ; 1) et G(1 ; 1).

Calculons les coordonnées du point I :

I est le milieu de [AG].
Les coordonnées d’un milieu pour deux points A et B sont :

géométrie formule milieu segment

Du coup, je calcule ceci pour [AG].

xI = (xA + xG)/2
= (0 + 1)/2
= 1/2

yI = (yA + yG)/2
= (0 + 1)/2
= 1/2

Du coup, les coordonnées de I sont (1/2 ; 1/2).

Calculons les coordonnées du point J :

L’abscisse de J est 1 car J est sur [BG] et [BG] relie deux points d’abscisses 1.
L’ordonnée de J est la distance qui le sépare de B, c’est à dire BJ, car l’ordonnée de B est de 0 et car (BJ) est parallèle à la droite (AH) avec ->AH le vecteur « ordonnées » du repère.

Pour calculer (BJ), on utilise le théorème de Thalès dans le triangle ADE avec :
* (DE)//(BJ),
* (BD) et (JE) sécantes en A,
* A,B,D puis A,J,E alignés dans le même sens.

Du coup, le rapport BJ/DE est égale à AB/AD qui est de 1/3 car [AD] c’est trois fois le côté [AB]. Comme DE = 1, on a BJ = 1/3, qui donne l’oordonnée du point J 1/3.

Du coup, J(1 ; 1/2).

Calcul des coordonnées des vecteurs ->CI et ->IJ :

xCI
= xI – xC
= 1/2 – 2
= –3/2

yCI
= yI – yC
= 1/2 – 0
= 1/2

xIJ
= xJ – xI
= 1 – 1/2
= 1/2

yIJ
= yJ – yI
= 1/31/2
= 2/63/6
= –1/6

Les deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées x et x’, puis y et y’ sont proportionnelles.

On a donc le tableau :
3/2 | 1/2
1/2 | –1/6

Les produits en croix sont :
3/2 × –1/6
= +3/12
= 1/4
Et :
1/2 × 1/2
= 1/4

Donc les produits en croix sont égaux, x’y – xy’ = 0, les coordonnées sont proportionnelles, donc les vecteurs ->CI et ->IJ sont colinéaires et les points C, I et J sont alignés.

2) Mq Dm est une droite :

Rédaction :

Quelque soit le m, l’équation mx + (2m – 1)y + 4 = 0
est de la forme ax + by + c = 0 qui est l’équation cartésienne d’une droite.

Du coup, les Dm sont des droites.

3) m tels que Dm parallèle aux axes:

Rédaction :

Dm est parallèle à l’axe des abscisses si l’équation
est de la forme y = constante.
Ce qui équivaut à y – constante = 0 en mode « équation cartésienne ».
Pour cela, il faut que le coefficient devant x, le « a » soit égal à zéro.
Ce coefficient est « m ». Du coup D1 est parallèle à l’axe des abscisses pour m = 0.

D1 est parallèle à l’axe des ordonnées si l’équation
est de la forme x = constante.
Ce qui équivaut à x – constante = 0 en mode « équation cartésienne ».
Pour cela, il faut que le coefficient devant y, le « b » soit égal à zéro.
Ce coefficient est (2m – 1). Du coup Dm est parallèle à l’axe des abscisses pour 2m – 1 = 0 soit m = 1/2.

4) Équation des droites D0 et D1 et point d’intersection :

Rédaction :

L’équation est mx + (2m – 1)y + 4 = 0.

D0 : 0x + (2 × 0 – 1)y + 4 = 0
⇔ – 1y + 4 = 0
⇔ y = 4.

D1 : 1x + (2 × 1 – 1)y + 4 = 0
⇔ x + 1y + 4 = 0.

Le point d’intersection, que j’appelle I, est à la fois sur D0 et D1 donc les coordonnées de I respectent à la fois les deux équations, donc le système suivant :

{ y = 4
{ x + y + 4 = 0
(Les deux petites accolades sont en fait une seule grande accolade)


{ y = 4
{ x + 4 + 4 = 0


{ y = 4
{ x + 8 = 0


{ y = 4
{ x = -8

Les coordonnées du point d’intersection I sont (4 ; -8).

5) Mq que Dm passe par un point fixe :

Rédaction :

Si toutes les droites Dm passent par un point fixe, c’est le point fixe qu’on vient de trouver juste au dessus. C’est à dire I(4 ; -8).

Je dois donc prouver que ce point I appartient à toutes les droites Dm. Donc que ses coordonnées vérifient l’équation-égalité Dm quel que soit le m.

Du coup, quel que soit m,
Gauche = mx + (2m – 1)y + 4
= m × (-8) + (2m – 1) × 4 + 4
= -8m + 8m – 4 + 4
= 0m + 0
= 0 = Droite.

Donc l’équation des droites Dm est vérifiée par ce point. Donc toutes les droites appartiennent à un point fixe quel que soit m.

Bonne compréhension,
Sylvain

Corrigé précédent : Corrigé N°062 – Vecteurs, droites, équation cartésienne – Première S

Ecris le premier commentaire

Correction N°062 :

Exercice : Vecteurs et Droites – Équations cartésiennes droites – Première S

1) (d), A et ->v :

Rédaction :

Comme ->v est un vecteur, on peut le placer n’importe où sur le repère. Je prends un point de départ et je vais de 2 vers la droite (x = 2) et de 3 vers le bas (y = -3).

Pour tracer la droite, on choisit deux abscisses espacés et on calcule y.
Je choisis x = 6 et x = -6.

Pour x = 6 :
L’équation de droite est : 2x – 3y + 6 = 0
⇔ 2 × 6 – 3y + 6 = 0
⇔ 12 – 3y + 6 = 0
⇔ 18 – 3y = 0
⇔ 18 = 3y
⇔ 6 = y
Les coordonnées de B, premier point de la droite (d) sont (6 ; 6).

Pour x = -6 :
2x – 3y + 6 = 0
⇔ 2 × (-6) – 3y + 6 = 0
⇔ -12 – 3y + 6 = 0
⇔ -6 – 3y = 0
⇔ -6 = 3y
⇔ -2 = y
Les coordonnées de C, second point de la droite (d) sont (-6 ; -2).

Je place ces deux points sur le graphique. Et je trace l’unique droite qui passe par ces deux points. Pour vérifier, je remplace x par 0 pour voir qu’elle est l’ordonnée à l’origine.
∈ 2 × 0 – 3y + 6 = 0
∈ –3y + 6 = 0
∈ 6 = 3y
∈ 2 = y
C’est bon car on voit bien que la droite passe par l’ordonnée 2 sur l’axe des ordonnées. Il n’y a pas de contradiction.

droite cartésienne vecteur point

2) Vecteur ->u directeur de (d) :

Rédaction :

Les coordonnées d’un des vecteurs directeurs d’une droite sont :

droite vecteur directeur équation

Comme l’équation de droite est 2x – 3y + 6 = 0,
a = 2 et b = (-3).
Le vecteur directeur (le plus simple) est donc ->u(-b ; a) donc ->u(-(-3) ; 2). Du coup, le vecteur directeur de (d) ->u a pour coordonnées (3 ; 2).

3) ->w = 2->u – 1/2->v :

Rédaction :

Je place un point de départ sur la partie basse à droite. A partir de ce point, je fais deux fois le vecteur ->u puis la moitié de ->v à l’envers. J’obtiens un point d’arrivée. Du coup, j’ai le déplacement vecteur ->w.

vecteur coordonnées

4) Calculer ensuite les coordonnées de ->w.

Rédaction :

Cette question dépend du résultat trouvé à la question précédente.

Comme ->w = 2->u – 1/2->v,
l’abscisse x->w = 2x->u1/2x->v
= 2 × 3 – 1/2 × 2
= 6 – 1 = 5.
Et l’ordonnée y->w = 2y->u1/2y->v
= 2 × 2 – 1/2 × (-3)
= 4 + 1,5 = 5,5 = 11/2.

Donc ->w(5 ; 11/2).

5) Colinéarité :

Rédaction :

Là encore, cela dépend du vecteur directeur ->u trouvé au départ. Regardons si les coordonnées de ->v et de ->w sont proportionnelles.

x = 2 et y = -3.
x’ = 5 et y’ = 11/2.

On a donc le tableau :
2 | -3
5 | 11/2

Les produits en croix sont :
2 × 11/2 = 11
Et :
5 × -3 = -15
Donc les produits en croix sont différent, x’y – xy’ est différent de 0, les coordonnées ne sont pas proportionnelles, donc les vecteurs ->v et ->w ne sont pas colinéaires.

6) Équation de (d’) passant par A et de vecteur ->v :

Rédaction :

On veut une équation cartésienne donc du type ax + by + c = 0.
Comme ->v est un vecteur directeur. Ses coordonnées 2 et -3 sont -b et a. Du coup, -b = 2 (b = -2) et a = -3.

L’équation s’écrit donc -3x – 2y + c = 0.

Pour déterminer le nombre c, on remplace x et y par les coordonnées de A car ce point est sur la droite.
-3xA – 2yA + c = 0
⇔ -3xA – 2yA + c = 0
⇔ -3 × 1 – 2 × 7 + c = 0
⇔ -3 – 14 + c = 0
⇔ -17 + c = 0
⇔ c = 17.

Donc une équation cartésienne de droite est -3x – 2y + 17 = 0.

On sait que (d’) passe par A. Je choisis un autre abscisse x pour trouver un second point de la droite pour la tracer.
Je prends x = 6.

-3x – 2y + 17 = 0
⇔ -3 × 6 – 2y + 17 = 0
⇔ -18 – 2y + 17 = 0
⇔ -1 – 2y = 0
⇔ -1 = 2y
-1/2 = y

Le second point de la droite, E, a pour coordonnées (6 ; -1/2).

droite équation cartésienne

Si on remplace x par 0, on peut calculer que y = 8,5. Ce qui correspond à l’ordonnée à l’origine que l’on peut voir sur le dessin.

7) Intersection de (d) et (d’) :

Rédaction :

Pour déterminer les coordonnées x et y du point d’intersection de deux droites, on utilise les équations de ces deux droites. En effet, les coordonnées du point d’intersection respecte à la fois ces deux égalités. Cela fait donc un système à résoudre pour trouver le x et le y.

{ 2x – 3y + 6 = 0 pour (d)
{ -3x – 2y + 17 = 0 pour (d’)

Ces deux accolades sont en fait une seule grande accolade.
La première étape pour résoudre un système est d’obtenir le même nombre de x (ou de y) sur chaque ligne.
Ici j’ai 2x et -3x, donc je multiplie la première ligné par 3 et la second par -2 pour obtenir 6x et 6x.


{ 6x – 9y + 18 = 0
{ 6x + 4y – 34 = 0

Ensuite, j’isole les x à gauche et j’envoie le reste à droite du égal.


{ 6x = 9y – 18
{ 6x = -4y + 34

Comme 6x = 6x, cela veut dire que 9y – 18 = -4y + 34.


{ 9y – 18 = -4y + 34
{ 6x = 9y – 18
{ 6x = -4y + 34

Du coup, je résous cette équation.
9y – 18 = -4y + 34 équivaut à 13y = 52 et donc y = 4 (en divisant par 13).

Revenons au système :

{ y = 4
{ 6x = 9 × 4 – 18 = 18
{ 6x = -4 × 4 + 34 = 18


{ y = 4
{ x = 18/6 = 3.


Le point d’intersection I a pour coordonnées (4 ; 3).

8) Équation cartésienne de la droite (d ») :

Rédaction :

Lorsqu’on veut une droite parallèle, il suffit de garder le même « a » et le même « b ».
Comme (d) a pour équation 2x – 3y + 6 = 0, on peut aussi choisir 2 et -3 pour (d »).
Du coup, (d ») a pour équation 2x – 3y + c = 0.
Pour déterminer le c, on peut remplacer par un point de la droite, ici A(1 ; 7).

Donc 2 × 1 – 3 × 7 + c = 0.
⇔ 2 – 21 + c = 0.
⇔ -19 + c = 0
⇔ c = 19
L’équation de (d ») est donc 2x – 3y + 19 = 0.

Je trace la parallèle à (d) passant par A.

droite parallèle point

Bonne compréhension,
Sylvain

astuces exercices maths corrigé

Corrigé précédent : Corrigé N°064 – Vecteurs, droites, formules, géométrie – Première S

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Corrigé N°064 :

Exercice : Vecteurs et Droites – Formules, vecteurs, géométrie – Première S

1) ->AG = 2/3->AB. Mq 1/3->GA + 2/3->GB = ->0 :

Rédaction :

On part de la gauche pour espérer tomber sur le vecteur nul.

1/3->GA + 2/3->GB
= 1/3(-->AG) + 2/3(->GA + ->AB)
= 1/3(-->AG) + 2/3(-->AG + ->AB)
= –1/3->AG – 2/3->AG + 2/3->AB
= –->AG + 2/3->AB
= –2/3->AB + 2/3->AB
= ->0.

2) -5->HA + 6->HB + 9->HC = ->0. Mq ->AH = 3/5->AB + 9/10->AC :

Rédaction :

-5->HA + 6->HB + 9->HC = ->0
⇔ -5->HA + 6(->HA + ->AB) + 9(->HA + ->AC) = ->0
⇔ -5->HA + 6->HA + 6->AB + 9->HA + 9->AC = ->0
⇔ 10->HA + 6->AB + 9->AC = ->0
⇔ -10->AH + 6->AB + 9->AC = ->0
⇔ 6->AB + 9->AC = 10->AH
⇔ 10->AH = 6->AB + 9->AC
->AH = 6/10->AB + 9/10->AC
->AH = 3/5->AB + 9/10->AC

3) ->KA + 3->KC = ->0. ->AK en fonction de ->AC :

Rédaction :

->KA + 3->KC = ->0
->KA + 3->KC = ->0
->KA + 3(->KA + ->AC) = ->0
->KA + 3->KA + 3->AC = ->0
⇔ 4->KA + 3->AC = ->0
⇔ -4->AK + 3->AC = ->0
⇔ 3->AC = 4->AK
3/4->AC = ->AK
->AK = 3/4->AC

4) ->LA + 2->LB + 3->LC = ->0. Mq ->AL = 1/3->AB + 1/2->AC :

Rédaction :

->LA + 2->LB + 3->LC = ->0
->LA + 2(->LA + ->AB) + 3(->LA + ->AC) = ->0
->LA + 2->LA + 2->AB + 3->LA + 3->AC = ->0
⇔ 6->LA + 2->AB + 3->AC = ->0
⇔ -6->AL + 2->AB + 3->AC = ->0
⇔ 2->AB + 3->AC = 6->AL
⇔ 6->AL = 2->AB + 3->AC
->AL = 2/6->AB + 3/6->AC
->AL = 1/3->AB + 1/2->AC

5) Mq L milieu de [GC] :

Rédaction :

vecteur formule milieu demi-vecteur

L’idée est d’exprimer les vecteurs ->GL (à gauche) et 1/2->GC (à droite) en fonction des vecteurs non colinéaires ->AB et ->AC.

D’une part, ->GL = ->GA + ->AL
= –->AG + ->AL
= –2/3->AB + 1/3->AB + 1/2->AC
= –1/3->AB + 1/2->AC

D’autre part, 1/2->GC
= 1/2(->GA + ->AC)
= 1/2->GA + 1/2->AC
= 1/2->GA + 1/2->AC
= 1/2(-->AG) + 1/2->AC
= 1/2(-->AG) + 1/2->AC
= 1/2(-2/3->AB) + 1/2->AC
= –1/3->AB + 1/2->AC

Les coefficients devant ->AB et ->AC sont les même donc on a bien ->GL = 1/2->GC.

Du coup, L est bien le milieu de [GC].

6) Mq L, A, H alignés :

Rédaction :

L, A et H sont alignés si et seulement si les vecteurs ->AL et ->AH sont colinéaires.
Ils sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées x et x’, puis y et y’ sont proportionnelles.

Comme ces vecteurs sont exprimés en fonction des vecteurs non colinéaires ->AB et ->AC, on peut utiliser le repère (A ; ->AB ; ->AC). Les coordonnées x et y, puis x’ et y’ sont les coefficients devant ces vecteurs.

D’une part, ->AL = 1/3->AB + 1/2->AC.

Donc x = 1/3 et y = 1/2.

D’autre part, ->AH = 3/5->AB + 9/10->AC.

Donc x’ = 3/5 et y’ = 9/10.

On a donc le tableau :
1/3 | 1/2
3/5 | 9/10

Les produits en croix sont :
1/3 × 9/10
= 9/30 = 3/10
Et :
3/5 × 1/2
= 3/10.

Donc les produits en croix sont égaux, x’y – xy’ = 0, les coordonnées sont proportionnelles, donc les vecteurs ->AL et ->AH sont colinéaires et les points A, L et H sont alignés.

7) Mq L ∈ (KB) :

Rédaction :

L ∈ (KB)
si et seulement si, L, K et B sont alignés.

La lettre K se trouve dans la formule ->AK = 3/4->AC donc insérons un A dans ->BK avec la relation de Chasles.
Comme on a aussi ->AL, insérons un A dans ->BL.

L, K et B sont alignés si et seulement si ->BK et ->BL sont colinéaires. Regardons si leurs coordonnées dans le repère (A ; ->AB ; ->AC) sont proportionnelles.

D’une part, ->BK = ->BA + ->AK
= -1->AB + 3/4->AC.
Les coordonnées x et y sont -1 et 3/4.

D’autre part, ->BL = ->BA + ->AL
= -1->AB + 1/3->AB + 1/2->AC
= –2/3->AB + 1/2->AC.
Les coordonnées x’ et y’ sont –2/3 et 1/2.

Le tableau est :
-1 ; 3/4
2/3 ; 1/2

Les produits en croix sont :
-1 × 1/2
= –1/2
Et :
3/4 × –2/3
= –1/2.

Donc les produits en croix sont égaux, x’y – xy’ = 0, les coordonnées sont proportionnelles, donc les vecteurs ->BK et ->BL sont colinéaires et les points B, K et L sont alignés. Du coup, L appartient à (KB).

8) Que peut-on dire des droites (GC), (HA) et (KB) :

L appartient à (GC), à (HA) et à (KB) donc les trois droites se coupent en un même point L. Elles sont concourantes.

Bonne compréhension,
Sylvain

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Corrigé précédent : Corrigé N°231 – Fonctions, tan, limite, variation – Terminale S

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Corrigé N°061 :

Exercice : Géométrie 2D et Droites – Équations, points d’intersections – Seconde

A(-4 ; 3), B(22/3 ; 5) et C(2 ; 7).

1) Tracer la droite (d) d’équation y = -x + 4 en expliquant la méthode choisie :

Pour tracer une droite, il faut deux points. Pour avoir un point, il faut son abscisse et son ordonnée.
Du coup, on choisit deux abscisses « x » séparées (pour écarter les points). C’est à toi de choisir les « x » et avec ceux-ci tu vas pouvoir calculer les « y ». Le choix de « x » fixe le « y ». Par exemple :
x1 = -3 et x2 = 5.
Maintenant, je calcule les « y » en utilisant l’équation de la droite.
y1 = -x1 + 4 = -(-3) + 4 = 7.
y2 = -x2 + 4 = -5 + 4 = -1.

Tu obtiens donc le point M1(-3 ; 7) et le point M2(5 ; -1) que tu peux relier. En tout cas, c’est toi qui choisis les abscisses « x » et tu calcules les « y » avec l’équation de droite.

tracer droite fonction affine

Et on s’aperçoit que l’ordonnée à l’origine est bien 4 (la droite coup l’axe des ordonnées à la hauteur 4). Comme c’est indiqué dans l’équation
y = -x + 4.

2) Déterminer une équation de la droite (AC) en expliquant le plus précisément possible :

Pour déterminer une équation de droite, tu as besoin du coefficient directeur puis de l’ordonnée à l’origine.

coefficient directeur

= (7 – 3)/(2 – (-4))
= 4/6
= 2/3

Donc l’équation de (AC) s’écrit
y = (2/3) x + p
avec p étant l’ordonnée à l’origine.

Pour trouver le « p », on choisit un point de la droite (par exemple A) qui respecte donc l’équation de la droite et vérifie l’égalité. Tu as donc :
yA = (2/3) × xA + p
⇔ 3 = (2/3) × (-4) + p
⇔ 3 = -8/3 + p
⇔ 3 + 8/3 = p
9/3 + 8/3 = p
⇔ p = 17/3.

Donc l’équation de la droite (AC) est
y = (2/3) x + 17/3.

3) Justifier que les droites (d) et (AC) sont sécantes et déterminer par un calcul les coordonnées de leur point d’intersection I :

Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.
Or (d) a pour coefficient directeur (-1) (car y = -x + 4) et (AC) a pour coefficient directeur 2/3. Ils sont différents donc les droites sont sécantes.

Pour trouver le point d’intersection, on doit considérer que ce point appartient aux deux droites donc vérifient les deux équations en même temps : c’est un système !
{ y = -x + 4
{ y = (2/3) x + 17/3

(C’est une grande accolade, mais avec l’informatique, c’est plus facile d’en mettre deux petites pour deux lignes.)

Comme on a y et y à gauche dans les deux lignes, et que y=y forcément, on peut dire que :
-x + 4 = (2/3) x + 17/3.

Le système précédent revient à :

{ -x + 4 = (2/3) x + 17/3
{ y = -x + 4
{ y = (2/3) x + 17/3

On a une ligne de trop, une seul ligne du type « y = » suffit.
Gardons la plus simple :


{ -x + 4 = (2/3) x + 17/3
{ y = -x + 4

[
On résout d’abord l’équation avec les « x » à part à droite de la feuille.
-x + 4 = (2/3) x + 17/3
⇔ -x – (2/3) x = 17/3 – 4
⇔ (-5/3) x = 5/3 (car 4 = 12/3)
⇔ x = (5/3) / (-5/3)
⇔ x = -1.
]

On revient au système :

{ x = -1
{ y = -(-1) + 4 = 5.
Donc le point d’intersection I a pour coordonnées (-1 ; 5).

4) Montrer que I est le milieu de [AC] :

Pour montrer que I est le milieu de [AC], on calcule les coordonnées du milieu de [AC] et on prouve que ce sont les coordonnées de I.

géométrie formule milieu segment

Milieu( (-4 + 2)/2 ; (3 + 7)/2 )
Milieu( -2/2 ; 10/2 )
Milieu( -1 ; 5 )
Ce sont bien les coordonnées de I ! Donc I est le milieu de [AC].

5) Déterminer par un calcul les coordonnées de D point d’intersection de (d) avec l’axe des abscisses :

Pour avoir un point d’intersection, on fait un système avec les deux égalités :
{ équation de la droite (d)
{ équation de l’axe des abscisses


{ y = -x + 4
{ y = 0 (axe des abscisses)


{ 0 = -x + 4
{ y = 0


{ x = 4
{ y = 0

Le point D, intersection de (d) et de l’axe des abscisses à pour coordonnées D(4 ; 0).

6) Montrer que ADBC est un trapèze :

droites intersections trapèze coefficient directeur

D’après le dessin, il faudrait prouver que (AD) et (CB) sont parallèles pour montrer que ADBC est un trapèze.

Pour cela, calculons les coefficients directeurs de (AD) et (CB).

(AD) : (yD – yA)/(xD – xA)
= (0 – 3)/(4 – (-4))
= -3/8

(CB) : (yB – yC)/(xB – xC)
= (5 – 7)/(22/3 – 2)
= -2/(16/3) (car 2 = 6/3)
= -2 × 3/16
= (-2 × 3)/(2 × 8)
= -3/8 (en simplifiant par 2).

Les coefficients sont égaux donc (AD) et (CB) sont parallèles sont ADBC est un trapèze.

Bonne compréhension,
Sylvain

astuces exercices maths corrigé

Corrigé précédent : Corrigé N°046 – Fonctions, équations, inéquations, polynôme – Seconde

Ecris le premier commentaire

Corrigé N°046 :

Exercice : Polynômes et Droites – Fonctions, équations, inéquations – Seconde

0) Démontrer que la fonction h : x → x2 + 4 est croissante sur [0 ; +∞ [ :

Pour démontrer qu’une fonction est croissante en seconde, la propriété du cours dit qu’il faut :

– Partir de a < b. C'est à dire écrire "a < b" sur la feuille.

– Puis arriver à f(a) ≤ f(b).



En effet, si « a < b donne f(a) ≤ f(b)« , cela veut dire que la fonction f est croissante comme c’est illustré sur l’image ci-dessous.

fonction croissante

On voit bien que si on prend a < b et qu'on arrive à f(a) ≤ f(b), alors la courbe monte entre les deux points. Attention, il faut dire "pour tout a et b tels que a < b« .

Ici, on veut sur [0 ; +∞ [, c’est important avec la fonction carré car la variation change si on est dans les négatifs ou si on est dans les positifs.

Soit n’importent quels a et b tels que 0 ≤ a < b. En passant au carré, cela donne : 02 ≤ a2 < b2 car la fonction carré est strictement croissante sur [0 ; +∞ [ (donc on ne change pas le sens des inégalités).

variations fonction carré courbe décroissante croissante

On voit bien à droite dans les positifs que l’on garde le sens « plus petit ou égal ».

Rédaction :
Sur [0 ; +∞ [ : 0 ≤ a < b

⇔ 02 ≤ a2 < b2 (car « carré » est strictement croissante sur R+)

⇔ 02 + 4 ≤ a2 + 4 < b2 + 4 (on additionne)

⇔ f(0) ≤ f(a) < f(b)



On a donc « a < b donne f(a) < f(b) » ou même « a < b donne f(a) ≤ f(b) » avec une inégalité large. Donc la fonction f croissante sur [0 ; +∞ [.

1) Représenter dans un même repère les courbes Cf et Cg des fonctions f et g sur l’intervalle [-4 ; 6] :

Faire un tableau (tableur calculatrice par exemple) avec les valeurs x allant de -4 à 6 (de 1 en 1 par exemple) et avec les f(x) en dessous et les g(x) encore en dessous. Puis placer les points sur le repère et les relier en courbe (ou en droite avec g(x)). Cela donne :

fonction second degré affine courbe droite parabole

Courbe graphsketch.com

La parabole bleue est Cf et la droite rouge est Cg. Écris bien Cf et Cg sur le graphique.

2) Résoudre graphiquement l’équation f(x) = g(x) :

Pour résoudre graphique f(x) = g(x), on regarde les points d’intersection de Cf et Cg et on note les abscisses comme solutions.

équation courbe points intersection

On obtient 2 et 4 comme abscisses des points d’intersection de Cf et Cg. Donc S = {2 ; 4} graphiquement.

3) Montrer que pour tout réel x, (1/2) x2 – 3x + 4 = (1/2) (x – 2)(x – 4) :

Pour montrer une égalité de ce type, on part de la forme factorisée (celle avec le produit et les parenthèses) vers la forme développée.
(1/2) (x – 2)(x – 4)
= 0.5(x – 2)(x – 4)
= (0.5x – 1)(x – 4), en distribuant le 0.5 sur le (x – 2), 0.5×2 = 1.
= 0.5x × x – 0.5x × 4 – 1 × x – 1 × (-4).
= 0.5x2 – 2x – 1x + 4
= 0.5x2 – 3x + 4.
= (1/2) x2 – 3x + 4.

4) En déduire la résolution algébrique (par le calcul) de l’équation f(x) = g(x) :

On passe tout à gauche en soustrayant les deux membres de l’égalité par g(x) :
f(x) = g(x)
⇔ f(x) – g(x) = 0
⇔ 0.5x2 – (3x – 4) = 0
⇔ 0.5x2 – 3x + 4 = 0
⇔ 0.5(x – 2)(x – 4) = 0 (d’après le 3)).
⇔ 0.5=0 ou x-2=0 ou x-4=0 car un produit de facteurs est nul si au moins l’un des facteurs est nul.
0.5=0 est impossible, x = 2 ou x = 4.
Donc les solutions de l’équation f(x) = g(x) sont 2 et 4.

5) A l’aide des courbes représentatives des fonctions f et g, résoudre l’inéquation
f(x) ≤ g(x) :

inéquation fonctions position relative courbes

J’ai entouré en vert les morceaux de courbes où Cf est au dessus de Cg :
Sur [-6 ; 2] et [4 ; 6], f(x) ≥ g(x).
J’ai hachuré en noir les morceaux de courbes où Cf est en dessous de Cg :
Sur [2 ; 4], f(x) ≤ g(x). C’est ce qu’on veut.
Donc S = [2 ; 4].
D’ailleurs j’aurais mieux fait d’entourer en vert quand Cf est en dessous de Cg pour que ça colle bien à la question 5).

Bonne compréhension,
Sylvain

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Correction précédente : Corrigé N°031 – Les élèves répondent à trois questions – Seconde

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