Exercice N°571 :

1) Quel est l’ensemble de définition de la fonction inverse ?

2) Dans un repère, tracer la courbe représentative de la fonction inverse sur
[−3 ; 3].

345) En vous aidant du graphique précédent, résoudre les inéquations suivantes. Vous justifierez votre réponse.

3) 1/x ≥ −4/9

4) 1/x ≥ 1

5) 1/x < 3/4

On pose f(x) = -2/(3 − x)
avec x ∈ [−4 ; −1].
6) Déterminer un encadrement de f(x).

Bon courage,
Sylvain

astuces exercices maths

Exercice précédent : Inverse – Fonction, inéquation, courbe, comparaison – Seconde

Ecris le premier commentaire

Exercice N°570 :

12) En utilisant les variations de la fonction inverse, comparer les nombres suivants sans calculatrice. Justifier soigneusement le raisonnement.

1) 1/(√5 + 2)
et
1/(√5 – 3)

2) 1/(x2 + 2)
et
1/(x2 + 1)

345) En s’aidant de la courbe de la fonction inverse, résoudre les inéquations suivantes.

3) 1/x3/4

4) 1/x ≤ -3

5) 1/x > -2

Bon courage,
Sylvain

astuces exercices maths

Exercice précédent : Suites – Comparaison, arithmétique, géométrique – Première ES

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Corrigé N°346 :

Exercice : Inéquations – Factorisation, tableau de signe, solution – Seconde

1) (5x – 1)(2 – 3x) ≥ 0 :

Rédaction :

Pour résoudre une inéquation avec ≥ 0, l’idéal est de construire le tableau de signe de l’expression de gauche et de déterminer les intervalles de x où il y a les « + » et « 0 ».

Pour cela, on doit d’abord obtenir les signes de 5x – 1
et de 2 – 3x séparément. J’effectue des petites inéquations que j’appelle mini-inéquations.

On a le signe « + »
quand 5x – 1 ≥ 0
quand 5x ≥ 1
quand 5x/51/5
(on garde le sens de l’inégalité car on divise par un nombre positif de chaque côté)
quand x ≥ 1/5
Cela veut dire que c’est à droite de 1/5 dans le tableau.

On mettra donc le signe « + » à droite de 1/5.

On a le signe « + »
quand 2 – 3x ≥ 0
quand -3x ≥ -2
quand -3x/-3-2/-3
(on change le sens de l’inégalité car on divise par un nombre négatif de chaque côté)
quand x ≤ 2/3
Cela veut dire que c’est à gauche de 2/3 dans le tableau.

On mettra donc le signe « + » à gauche de 2/3.

Voici le tableau de signe :

tableau signe produit seconde

Comme on veut (5x – 1)(2 – 3x) ≥ 0, on prend les « + » et les « 0 » dans le tableau, soit des crochets fermés. L’intervalle des solutions est donc :
S = [1/5 ; 2/3].

2) [3/(4x + 1)] – 1 > 0 :

Rédaction :

Attention, il y a une fraction avec des x, c’est-à-dire, une fonction rationnelle. Il faut donc déterminer l’ensemble de définition de l’équation.

Or une fonction rationnelle est définie si et seulement si son dénominateur est différent de zéro.
On va donc faire le tableau de signe du dénominateur et exclure les valeurs de x qui font que ce dénominateur est égal à zéro.

On a le signe « + »
quand 4x + 1 ≥ 0
quand 4x ≥ -1
quand 4x/4 ≥ –1/4
(on garde le sens de l’inégalité car on divise par un nombre positif de chaque côté)
quand x ≥ –1/4
Cela veut dire que c’est à droite de –1/4 dans le tableau.

On mettra donc le signe « + » à droite de –1/4.

tableau signe dénominateur

Le dénominateur est donc nul quand x = –1/4.
Le domaine de définition de l’inéquation est donc R privé de –1/4.

Donc :

Pour résoudre une inéquation avec 0 à droite, il faut faire un tableau de signe de l’expression de gauche.

[3/(4x + 1)] – 1 > 0

Pour résoudre cette inéquation avec une fraction et une soustraction, l’astuce est de tout mettre sur le même dénominateur.

⇔ [3/(4x + 1)] – [(4x + 1)/(4x + 1)] > 0
(3 – (4x + 1))/(4x + 1) > 0
(3 – 4x – 1)/(4x + 1) > 0
(2 – 4x)/(4x + 1) > 0

Le membre de gauche est en forme de dénominateur donc on peut appliquer la règle des signes en faisant un tableau de signe.

Je cherche le signe du numérateur avec une mini-inéquation :

On a le signe « + »
quand 2 – 4x ≥ 0
quand -4x ≥ -2
quand -4x/-4-2/-4
(on change le sens de l’inégalité car on divise par un nombre négatif de chaque côté)
quand x ≤ 2/4
quand x ≤ 1/2
Cela veut dire que c’est à gauche de 1/2 dans le tableau.

On mettra donc le signe « + » à gauche de de 1/2.

tableau signe numérateur

Pour le signe du dénominateur, on le connait déjà car on l’a fait avant avec le domaine de définition.

Voici donc le tableau de signe du quotient :

tableau signe quotient

Pour conclure sur l’inéquation, comme on veut un membre de gauche strictement supérieur à 0, on sélectionne exclusivement les + du tableau. Soit des x appartenant à

S = ] –1/4 ; 1/2 [.

On ne sélectionne pas la valeur de x au-dessus de la double-barre (elle ne rentre pas dans le domaine de définition de l’inéquation), ni la valeur de x au-dessus du 0 (inégalité stricte).

3) (x + 3)2 > (2x – 1)2 :

Rédaction :

Pour résoudre une inéquation, la première astuce de de tout mettre à gauche en soustrayant le membre de droite.

⇔ (x + 3)2 – (2x – 1)2 > 0

Carré moins Carré, on retrouve la forme développée de la troisième identité remarquable. On peut la factoriser.

factoriser troisième identité remarquable

Le A2 est (x + 3)2,
donc le A est (x + 3).

Le B2 est (2x – 1)2,
donc le B est (2x – 1).

En factorisant, on obtient :

⇔ [(x + 3) + (2x – 1)] × [(x + 3) – (2x – 1)] > 0

⇔ [x + 3 + 2x – 1] × [x + 3 – 2x + 1] > 0
(attention quand on enlève le couple de parenthèses après l’opérateur « moins »)

⇔ [3x + 2] × [-x + 4] > 0

⇔ (3x + 2) × (-x + 4) > 0

Pour résoudre une inéquation avec > 0, l’idéal est de construire le tableau de signe de l’expression de gauche et de déterminer les intervalles de x où il y a les « + » (mais pas les « 0 »).

Pour cela, on doit d’abord obtenir les signes de 3x + 2
et de -x + 4 séparément. J’effectue des petites inéquations que j’appelle mini-inéquations.

On a le signe « + »
quand 3x + 2 ≥ 0
quand 3x ≥ -2
quand 2x/2 ≥ –2/3
(on garde le sens de l’inégalité car on divise par un nombre positif de chaque côté)
quand x ≥ –2/3
Cela veut dire que c’est à droite de –2/3 dans le tableau.

On mettra donc le signe « + » à droite de –2/3.

On a le signe « + »
quand -x + 4 ≥ 0
quand -x ≥ -4
quand -1x/-1-4/-1
(on change le sens de l’inégalité car on divise par un nombre négatif de chaque côté)
quand x ≤ 4
Cela veut dire que c’est à gauche de 4 dans le tableau.

On mettra donc le signe « + » à gauche de 4.

Voici le tableau de signe :

tableau signe produit

Pour conclure sur l’inéquation, comme on veut un membre de gauche strictement supérieur à 0, on sélectionne exclusivement les + du tableau. Soit des x appartenant à

S = ] –2/3 ; 4 [.

On ne sélectionne pas les valeur de x au-dessus du 0 (inégalité stricte).

4) 9 – x2 + (3 – x)(2x + 6) ≤ 0 :

Rédaction :


Pour résoudre une inéquation avec 0 à droite, il faut faire un tableau de signe de l’expression de gauche.

Mais pour faire un tableau de signe, il nous faut un produit. Et là, on a une soustraction et une addition, il faut factorise.

Avec 9 – x2, on a quelque chose de la forme Carré moins Carré, on retrouve la forme développée de la troisième identité remarquable. On peut la factoriser.

factoriser troisième identité remarquable

Le A2 est 9,
donc le A est 3.

Le B2 est x2,
donc le B est x.

En factorisant le début, on obtient :

⇔ (3 + x) × (3 – x) + (3 – x)(2x + 6) ≤ 0

La première façon de factoriser est de regarder si on a un facteur commun. Ci-dessous, on voit :

⇔ (3 + x) × (3 – x) + (3 – x)(2x + 6) ≤ 0
(3 – x) × (3 + x) + (3 – x) × (2x + 6) ≤ 0
On utilise donc la formule de la factorisation avec facteur commun :

factoriser formule distributivité

Comme c’est un « plus » qu’on a au milieu, on prend la formule avec le « plus », soit :
K × A + K × B

Le K est (3 – x).
Le A est (3 + x).
Le B est (2x + 6).

En forme factorisée, cela donne :
K × (A + B) soit

(3 – x) × [(3 + x) + (2x + 6)] ≤ 0
(3 – x) × [3 + x + 2x + 6] ≤ 0
(3 – x) × [3x + 9] ≤ 0
(3 – x) × (3x + 9) ≤ 0

Pour résoudre une inéquation avec ≤ 0, l’idéal est de construire le tableau de signe de l’expression de gauche et de déterminer les intervalles de x où il y a les « – » et les « 0 ».

Pour cela, on doit d’abord obtenir les signes de 3 – x
et de 3x + 9 séparément. J’effectue des petites inéquations que j’appelle mini-inéquations.

On a le signe « + »
quand 3 – x ≥ 0
quand -x ≥ -3
quand -1x/-1 ≤ –3/-1
(on change le sens de l’inégalité car on divise par un nombre négatif de chaque côté)
quand x ≤ 3
Cela veut dire que c’est à gauche de 3 dans le tableau.

On mettra donc le signe « + » à gauche de 3.

On a le signe « + »
quand 3x + 9 ≥ 0
quand 3x ≥ -9
quand 3x/3-9/3
(on garde le sens de l’inégalité car on divise par un nombre positif de chaque côté)
quand x ≥ -3
Cela veut dire que c’est à droite de -3 dans le tableau.

On mettra donc le signe « + » à droite de -3.

Voici le tableau de signe :

tableau signe produit facteurs

Pour conclure sur l’inéquation, comme on veut un membre de gauche ≤ 0, on sélectionne les « – » et les « 0 » du tableau. Soit des x appartenant à

S = ] -∞ ; -3 ] U [ 3 ; +∞ [.

On sélectionne les valeur de x au-dessus du 0 (inégalité large) donc on met des crochets fermés sur -3 et 3. Toujours des crochets ouverts aux infinis.

1/(5x – 1)1/(x + 2)
5) Ensemble de définition de l’inéquation :

Rédaction :

Attention, il y a deux fraction avec des x, c’est-à-dire, deux expressions rationnelles. Il faut donc déterminer l’ensemble de définition de l’équation.

Or une expression rationnelle (fraction) est définie si et seulement si son dénominateur est différent de zéro.

On va donc faire les tableau de signe des dénominateur et exclure les valeurs de x qui font que ces dénominateurs sont égaux à zéro.

On a le signe « + »
quand 5x – 1 ≥ 0
quand 5x ≥ 1
quand 5x/51/5
(on garde le sens de l’inégalité car on divise par un nombre positif de chaque côté)
quand x ≥ 1/5
Cela veut dire que c’est à droite de 1/5 dans le tableau.

On mettra donc le signe « + » à droite de 1/5.

tableau signe dénominateur affine

Ce dénominateur est donc nul quand x = 1/5.
Le domaine de définition de l’inéquation sera d’ores et déjà privé de 1/5.

On a le signe « + »
quand x + 2 ≥ 0
quand x ≥ -2
Cela veut dire que c’est à droite de -2 dans le tableau.

On mettra donc le signe « + » à droite de -2.

tableau signe dénominateur affine

Ce dénominateur est donc nul quand x = -2.
Le domaine de définition de l’inéquation sera d’ores et déjà privé de -2.

En rassemblant les deux valeurs exclues 1/5 et -2, on peut affirmer que le domaine de définition est l’ensemble des réels privé de ces deux valeur.
D = R privé de {-2 ; 1/5}
D = ] -∞ ; -2 [ U ] -2 ; 1/5 [ U ] 1/5 ; +∞ [

(-4x + 3)/[ (5x – 1)(x + 2) ] ≤ 0
6) Équivalence de l’inéquation 5) à celle ci-dessus :

Rédaction :

Pour résoudre une inéquation, la première astuce de de tout mettre à gauche en soustrayant le membre de droite.

1/(5x – 1)1/(x + 2)
1/(5x – 1)1/(x + 2) ≤ 0

Pour résoudre cette inéquation avec une fraction et une soustraction, l’astuce est de tout mettre sur le même dénominateur.
On multiplie donc ici, les dénominateurs entre eux pour obtenir le dénominateur commun.

Pour faire bien, on multiplie le premier numérateur par le second dénominateur et le second numérateur par le premier dénominateur. Comme ci-dessous :

1/(5x – 1) × (x + 2)/(x + 2)1/(x + 2) × (5x – 1)/(5x – 1) ≤ 0

(1(x + 2))/[ (5x – 1)(x + 2) ] (1(5x – 1))/[ (5x – 1)(x + 2) ] ≤ 0

Les dénominateurs sont les mêmes, on peut rassembler les numérateurs sur la même barre de fraction.

[ 1(x + 2) 1(5x – 1) ]/[ (5x – 1)(x + 2) ] ≤ 0
[ (x + 2) (5x – 1) ]/[ (5x – 1)(x + 2) ] ≤ 0
[ x + 2 – 5x + 1 ]/[ (5x – 1)(x + 2) ] ≤ 0
[ -4x + 3 ]/[ (5x – 1)(x + 2) ] ≤ 0
(-4x + 3)/[ (5x – 1)(x + 2) ] ≤ 0

7) Résolution de l’équation 5) :

Rédaction :

Cela revient à résoudre la dernière inégalité.
(-4x + 3)/[ (5x – 1)(x + 2) ] ≤ 0

Pour résoudre une inéquation avec ≤ 0, l’idéal est de construire le tableau de signe de l’expression de gauche et de déterminer les intervalles de x où il y a les « – » et « 0 ».

Évidemment, il faut un produit de facteurs ou des quotients pour pouvoir appliquer la règle des signes et faire ce tableau de signe. C’est le cas avec (-4x + 3), (5x – 1) et (x + 2). Il y a une barre de fraction (soit diviser) et un produit en bas (soit multiplier).

On peut donc refaire les mini-inéquations.

On a le signe « + »
quand -4x + 3 ≥ 0
quand -4x ≥ -3
quand -4x/-4-3/-4
(on change le sens de l’inégalité car on divise par un nombre négatif de chaque côté)
quand x ≤ 3/4
Cela veut dire que c’est à gauche de 3/4 dans le tableau.

On mettra donc le signe « + » à gauche de 3/4.

On a le signe « + »
quand 5x – 1 ≥ 0
quand 5x ≥ 1
quand 5x/51/5
(on garde le sens de l’inégalité car on divise par un nombre positif de chaque côté)
quand x ≥ 1/5
Cela veut dire que c’est à droite de 1/5 dans le tableau.

On mettra donc le signe « + » à droite de 1/5.

On a le signe « + »
quand x + 2 ≥ 0
quand x ≥ -2
Cela veut dire que c’est à droite de -2 dans le tableau.

On mettra donc le signe « + » à droite de -2.

Ce qui donne le tableau de signe suivant :

tableau signe quotient

Pour conclure sur l’inéquation, comme on veut un membre de gauche ≤ 0, on sélectionne les « – » et les « 0 » du tableau. Soit des x appartenant à

S = ] -2; ; 1/5 [ U [ 3/4 ; +∞ [.

On sélectionne les valeurs de x au-dessus du 0 (inégalité large) donc on met des crochets fermés sur 3/4. Toujours des crochets ouverts aux infinis et on les mets aussi aux valeurs exclues -2 et 1/5 (là où il y a les doubles-barres).

Bonne compréhension,
Sylvain

astuces exercices maths corrigé

Corrigé précédent : Corrigé N°331 – Exponentielle, coût, dérivée, variation – Terminale ES

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Corrigé N°331 :

Exercice : Exponentielle – Coûts, dérivée, inéquations, variation – Terminale ES

CT(x) = 2x2 + xe-2x + 3

1) Fonction coût marginal Cm :

Rédaction :

Pour avoir le coût marginal Cm(x), on fait la fonction dérivé du coût total CT(x).

CT(x) = 2x2 + u(x) × v(x)
avec u(x) = x,
donc u'(x) = 1,
avec v(x) = e-2x + 3,
donc v'(x) = -2 × e-2x + 3 avec la dérivée de l’exponentielle :

fonction dérivée exponentielle

Donc C’T(x) = 2 × 2x + (u'(x) × v(x) + u(x) × v'(x))
= 4x + 1 × e-2x + 3 + x × (-2 × e-2x + 3)
On obtient en factorisant par l’exponentielle :
Cm(x) = 4x + (1 – 2x) × e-2x + 3

2) Coût marginal pour 150 articles :

Rédaction :

On calcule Cm(1.5) = 4 × 1.5 + (1 – 2 × 1.5) × e-2 × 1.5 + 3
= 6 – 2 × e-2 × 1.5 + 3
= 6 – 2 × e0
= 6 – 2 × 1
= 4 milliers d’euros.

CM(x) = CT(x)/x
3) Expression de CM(x) :

Rédaction :

CM(x) = (2x2 + xe-2x + 3)/x
= (x × [2x + e-2x + 3])/x
(en factorisant par x au numérateur)
= 2x + e-2x + 3
(en simplifiant x/x = 1).

4) Déterminer C’M(x) :

Rédaction :

CM(x) = 2x + e-2x + 3
On utilise à nouveau la formule de la dérivée de l’exponentielle vue au-dessus.
C’M(x) = 2 + (-2) × e-2x + 3
= 2 – 2e-2x + 3
= 2 × (1 – e-2x + 3)
(comme je vois 2 et 2, je factorise par 2)

5) Résoudre l’équation 1 – e-2x + 3 = 0 :

Rédaction :

1 – e-2x + 3 = 0
⇔ 1 = e-2x + 3
⇔ e0 = e-2x + 3
⇔ 0 = -2x + 3
⇔ 2x = 3
⇔ x = 3/2

S = {3/2}

6) Résoudre l’équation 1 – e-2x + 3 > 0 :

Rédaction :

1 – e-2x + 3 > 0 (expression positive)
⇔ 1 > e-2x + 3
⇔ e0 > e-2x + 3
⇔ 0 > -2x + 3
(car exp est strictement croissante, on ne change pas le sens de l’inégalité)
⇔ 2x > 3
⇔ x > 3/2
(x à droite de 3/2)

S = ]3/2 ; +∞[

7) Variation de CM :

Rédaction :

Pour obtenir les variations de CM, il nous faut le signe de C’M(x) qui est un produit. On fait le tableau suivant :

tableau signe dérivée variation fonction

8) Production q quand l’entreprise a un coût moyen minimal et coût :

Rédaction :

D’après le tableau de variation de CM, on voit que le coût moyen est minimal pour une quantité de 1.5 centaines d’articles.

Donc CM(1.5) = 2 × 1.5 + e-2 × 1.5 + 3
= 3 + e0
= 3 + 1 = 4.

Le coût moyen minimal est de 4 milliers d’euros.

R(x) = 7x,
B(x) = R(x) − CT(x).
Par lecture graphique déterminer :

9) Intervalle avec rendement marginal est croissant (coût marginal est décroissant) :

Rédaction :

Le coût marginal est décroissant, soit Cm décroissante. Or Cm est la dérivée de CT donc cela équivaut à C’T décroissante.
Or C’T décroissante
⇔ C ‘ ‘T(x) négatif
⇔ CT concave
⇔ C’est quand les tangentes à la courbe sont au-dessus de cette même courbe, c’est-à-dire avant le point d’inflexion de la courbe qui est proche du point d’abscisse 0.7.
L’intervalle de rendement marginal croissant est de [0 ; 0.7].

10) Coût moyen minimal :

Rédaction :

Le coût moyen est atteint en x = 1.5, donc on regarde le coût total qui vaut 6.
Pour obtenir ce coût moyen, on peut rediviser ce coût total par la quantité.
6/1.5 = 4.
On retrouve le coût moyen calculé plus haut.

11) Intervalle de x avec bénéfice positif :

Rédaction :

Le bénéfice est positif quand la recette est supérieure au coût. Il faut déterminer les abscisses des points des courbes quand la droite des recettes est au-dessus de la droite du coût.
On remarque que le bénéfice est positif pour des quantités allant de 0.6 à 3.5 centaines d’articles.

12) Production x0 avec bénéfice maximal :

Rédaction :

Pour obtenir le x0 avec le bénéfice maximal, il faut regarder à quel endroit l’écart entre la droite de la recette et la courbe du coût est le plus grand. D’après le graphique, je dirais que x0 = 2.2 centaines d’articles.

13) Avec calculatrice, intervalle (à un article près) pour avoir un bénéfice positif :

Rédaction :

Pour cela, on a besoin de la formule du bénéfice B(x) qui est égale à
R(x) – CT(x)
= 7x – (2x2 + xe-2x + 3)

Je rentre cette formule dans le tableur de la calculatrice.

D’abord de 0 à 1, ensuite de 3 à 4 car nous avions vu dans une question précédente que les bornes étaient environ de 0.6 et de 3.5.

Je commence par mettre le pas (step) à 0.1, la fonction B(x) change de signe entre 0.6 et 0.7, puis entre 3.4 et 3.5.

Puis j’affine le pas au centième pour arriver à l’article près (x étant en centaines d’articles). On a :

B(0.62) = -0.0325 (au dix-millième près)
B(0.63) = 0.0269 (au dix-millième près)

B(3.49) = 0.0046 (au dix-millième près)
B(3.50) = -0.0064 (au dix-millième près)

On conserve les valeurs où les images sont positives.
Donc l’entreprise fait un bénéfice positif
sur l’intervalle [0.63 ; 3.49].

Bonne compréhension,
Sylvain

astuces exercices maths corrigé

Corrigé précédent : Corrigé N°316 – Fonction, rationnelle, affine, graphique – Première ES

Ecris le premier commentaire

Corrigé N°063 :

Exercice : Vecteurs et Droites – Points alignés, équation, variable – Première S

1) Mq C, I et J sont alignés :

Rédaction :

C, I et J sont alignés, si et seulement si, les vecteurs ->CI et ->IJ sont colinéaires. J’ai donc besoin des coordonnées de ces vecteurs, donc je dois calculer les coordonnées de C, I et J avant.

Cette figure est composé de trois carrés dont celui de gauche ABGH. Comme ->AB et ->AH ne sont pas colinéaires (côtés du carré), on peut introduire le repère (A ; ->AB ; ->AH).

Cela veut dire que le point A a pour coordonnées (0 ; 0), B(1 ; 0) et H(0 ; 1).
Du coup, on a C(2 ; 0), D(3 ; 0), E(3 ; 1), F(2 ; 1) et G(1 ; 1).

Calculons les coordonnées du point I :

I est le milieu de [AG].
Les coordonnées d’un milieu pour deux points A et B sont :

géométrie formule milieu segment

Du coup, je calcule ceci pour [AG].

xI = (xA + xG)/2
= (0 + 1)/2
= 1/2

yI = (yA + yG)/2
= (0 + 1)/2
= 1/2

Du coup, les coordonnées de I sont (1/2 ; 1/2).

Calculons les coordonnées du point J :

L’abscisse de J est 1 car J est sur [BG] et [BG] relie deux points d’abscisses 1.
L’ordonnée de J est la distance qui le sépare de B, c’est à dire BJ, car l’ordonnée de B est de 0 et car (BJ) est parallèle à la droite (AH) avec ->AH le vecteur « ordonnées » du repère.

Pour calculer (BJ), on utilise le théorème de Thalès dans le triangle ADE avec :
* (DE)//(BJ),
* (BD) et (JE) sécantes en A,
* A,B,D puis A,J,E alignés dans le même sens.

Du coup, le rapport BJ/DE est égale à AB/AD qui est de 1/3 car [AD] c’est trois fois le côté [AB]. Comme DE = 1, on a BJ = 1/3, qui donne l’oordonnée du point J 1/3.

Du coup, J(1 ; 1/2).

Calcul des coordonnées des vecteurs ->CI et ->IJ :

xCI
= xI – xC
= 1/2 – 2
= –3/2

yCI
= yI – yC
= 1/2 – 0
= 1/2

xIJ
= xJ – xI
= 1 – 1/2
= 1/2

yIJ
= yJ – yI
= 1/31/2
= 2/63/6
= –1/6

Les deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées x et x’, puis y et y’ sont proportionnelles.

On a donc le tableau :
3/2 | 1/2
1/2 | –1/6

Les produits en croix sont :
3/2 × –1/6
= +3/12
= 1/4
Et :
1/2 × 1/2
= 1/4

Donc les produits en croix sont égaux, x’y – xy’ = 0, les coordonnées sont proportionnelles, donc les vecteurs ->CI et ->IJ sont colinéaires et les points C, I et J sont alignés.

2) Mq Dm est une droite :

Rédaction :

Quelque soit le m, l’équation mx + (2m – 1)y + 4 = 0
est de la forme ax + by + c = 0 qui est l’équation cartésienne d’une droite.

Du coup, les Dm sont des droites.

3) m tels que Dm parallèle aux axes:

Rédaction :

Dm est parallèle à l’axe des abscisses si l’équation
est de la forme y = constante.
Ce qui équivaut à y – constante = 0 en mode « équation cartésienne ».
Pour cela, il faut que le coefficient devant x, le « a » soit égal à zéro.
Ce coefficient est « m ». Du coup D1 est parallèle à l’axe des abscisses pour m = 0.

D1 est parallèle à l’axe des ordonnées si l’équation
est de la forme x = constante.
Ce qui équivaut à x – constante = 0 en mode « équation cartésienne ».
Pour cela, il faut que le coefficient devant y, le « b » soit égal à zéro.
Ce coefficient est (2m – 1). Du coup Dm est parallèle à l’axe des abscisses pour 2m – 1 = 0 soit m = 1/2.

4) Équation des droites D0 et D1 et point d’intersection :

Rédaction :

L’équation est mx + (2m – 1)y + 4 = 0.

D0 : 0x + (2 × 0 – 1)y + 4 = 0
⇔ – 1y + 4 = 0
⇔ y = 4.

D1 : 1x + (2 × 1 – 1)y + 4 = 0
⇔ x + 1y + 4 = 0.

Le point d’intersection, que j’appelle I, est à la fois sur D0 et D1 donc les coordonnées de I respectent à la fois les deux équations, donc le système suivant :

{ y = 4
{ x + y + 4 = 0
(Les deux petites accolades sont en fait une seule grande accolade)


{ y = 4
{ x + 4 + 4 = 0


{ y = 4
{ x + 8 = 0


{ y = 4
{ x = -8

Les coordonnées du point d’intersection I sont (4 ; -8).

5) Mq que Dm passe par un point fixe :

Rédaction :

Si toutes les droites Dm passent par un point fixe, c’est le point fixe qu’on vient de trouver juste au dessus. C’est à dire I(4 ; -8).

Je dois donc prouver que ce point I appartient à toutes les droites Dm. Donc que ses coordonnées vérifient l’équation-égalité Dm quel que soit le m.

Du coup, quel que soit m,
Gauche = mx + (2m – 1)y + 4
= m × (-8) + (2m – 1) × 4 + 4
= -8m + 8m – 4 + 4
= 0m + 0
= 0 = Droite.

Donc l’équation des droites Dm est vérifiée par ce point. Donc toutes les droites appartiennent à un point fixe quel que soit m.

Bonne compréhension,
Sylvain

Corrigé précédent : Corrigé N°062 – Vecteurs, droites, équation cartésienne – Première S

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