Exercice N°354 :

On considère l’équation (E) d’inconnue x réelle :
ex = 3(x2 + x3).

Le graphique ci-dessous donne la courbe représentative de la fonction exponentielle et celle de la fonction f définie sur R par
f(x) = 3(x2 + x3)
telles que les affiche une calculatrice dans un même repère orthogonal.

Logarithme népérien, exponentielle, équation, terminale

1) A l’aide du graphique ci-dessus, conjecturer le nombre de solutions de Lis la suite »

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Exercice N°361 :

Makassar, Fort Rotterdam, Astuces Exercices Maths

Exercice N°361 :

1) ln(32) − ln(3) = ?

2) L’équation ln(x2 + x) − ln(x) = ln(2)
a pour ensemble solution ?

3) L’inéquation ln(1 + ex) ≥ 1
a pour ensemble solution ? Lis la suite »

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Exercice N°571 :

1) Quel est l’ensemble de définition de la fonction inverse ?

2) Dans un repère, tracer la courbe représentative de la fonction inverse sur
[−3 ; 3].

345) En vous aidant du graphique précédent, résoudre les inéquations suivantes. Vous justifierez votre réponse.

3) 1/x ≥ −4/9

4) 1/x ≥ 1

5) 1/x < 3/4

On pose f(x) = -2/(3 − x)
avec x ∈ [−4 ; −1].
6) Déterminer un encadrement de f(x).

Bon courage,
Sylvain

astuces exercices maths

Exercice précédent : Inverse – Fonction, inéquation, courbe, comparaison – Seconde

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Exercice N°570 :

12) En utilisant les variations de la fonction inverse, comparer les nombres suivants sans calculatrice. Justifier soigneusement le raisonnement.

1) 1/(√5 + 2)
et
1/(√5 – 3)

2) 1/(x2 + 2)
et
1/(x2 + 1)

345) En s’aidant de la courbe de la fonction inverse, résoudre les inéquations suivantes.

3) 1/x3/4

4) 1/x ≤ -3

5) 1/x > -2

Bon courage,
Sylvain

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Exercice précédent : Suites – Comparaison, arithmétique, géométrique – Première ES

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Corrigé N°346 :

Exercice : Inéquations – Factorisation, tableau de signe, solution – Seconde

1) (5x – 1)(2 – 3x) ≥ 0 :

Rédaction :

Pour résoudre une inéquation avec ≥ 0, l’idéal est de construire le tableau de signe de l’expression de gauche et de déterminer les intervalles de x où il y a les « + » et « 0 ».

Pour cela, on doit d’abord obtenir les signes de 5x – 1
et de 2 – 3x séparément. J’effectue des petites inéquations que j’appelle mini-inéquations.

On a le signe « + »
quand 5x – 1 ≥ 0
quand 5x ≥ 1
quand 5x/51/5
(on garde le sens de l’inégalité car on divise par un nombre positif de chaque côté)
quand x ≥ 1/5
Cela veut dire que c’est à droite de 1/5 dans le tableau.

On mettra donc le signe « + » à droite de 1/5.

On a le signe « + »
quand 2 – 3x ≥ 0
quand -3x ≥ -2
quand -3x/-3-2/-3
(on change le sens de l’inégalité car on divise par un nombre négatif de chaque côté)
quand x ≤ 2/3
Cela veut dire que c’est à gauche de 2/3 dans le tableau.

On mettra donc le signe « + » à gauche de 2/3.

Voici le tableau de signe :

tableau signe produit seconde

Comme on veut (5x – 1)(2 – 3x) ≥ 0, on prend les « + » et les « 0 » dans le tableau, soit des crochets fermés. L’intervalle des solutions est donc :
S = [1/5 ; 2/3].

2) [3/(4x + 1)] – 1 > 0 :

Rédaction :

Attention, il y a une fraction avec des x, c’est-à-dire, une fonction rationnelle. Il faut donc déterminer l’ensemble de définition de l’équation.

Or une fonction rationnelle est définie si et seulement si son dénominateur est différent de zéro.
On va donc faire le tableau de signe du dénominateur et exclure les valeurs de x qui font que ce dénominateur est égal à zéro.

On a le signe « + »
quand 4x + 1 ≥ 0
quand 4x ≥ -1
quand 4x/4 ≥ –1/4
(on garde le sens de l’inégalité car on divise par un nombre positif de chaque côté)
quand x ≥ –1/4
Cela veut dire que c’est à droite de –1/4 dans le tableau.

On mettra donc le signe « + » à droite de –1/4.

tableau signe dénominateur

Le dénominateur est donc nul quand x = –1/4.
Le domaine de définition de l’inéquation est donc R privé de –1/4.

Donc :

Pour résoudre une inéquation avec 0 à droite, il faut faire un tableau de signe de l’expression de gauche.

[3/(4x + 1)] – 1 > 0

Pour résoudre cette inéquation avec une fraction et une soustraction, l’astuce est de tout mettre sur le même dénominateur.

⇔ [3/(4x + 1)] – [(4x + 1)/(4x + 1)] > 0
(3 – (4x + 1))/(4x + 1) > 0
(3 – 4x – 1)/(4x + 1) > 0
(2 – 4x)/(4x + 1) > 0

Le membre de gauche est en forme de dénominateur donc on peut appliquer la règle des signes en faisant un tableau de signe.

Je cherche le signe du numérateur avec une mini-inéquation :

On a le signe « + »
quand 2 – 4x ≥ 0
quand -4x ≥ -2
quand -4x/-4-2/-4
(on change le sens de l’inégalité car on divise par un nombre négatif de chaque côté)
quand x ≤ 2/4
quand x ≤ 1/2
Cela veut dire que c’est à gauche de 1/2 dans le tableau.

On mettra donc le signe « + » à gauche de de 1/2.

tableau signe numérateur

Pour le signe du dénominateur, on le connait déjà car on l’a fait avant avec le domaine de définition.

Voici donc le tableau de signe du quotient :

tableau signe quotient

Pour conclure sur l’inéquation, comme on veut un membre de gauche strictement supérieur à 0, on sélectionne exclusivement les + du tableau. Soit des x appartenant à

S = ] –1/4 ; 1/2 [.

On ne sélectionne pas la valeur de x au-dessus de la double-barre (elle ne rentre pas dans le domaine de définition de l’inéquation), ni la valeur de x au-dessus du 0 (inégalité stricte).

3) (x + 3)2 > (2x – 1)2 :

Rédaction :

Pour résoudre une inéquation, la première astuce de de tout mettre à gauche en soustrayant le membre de droite.

⇔ (x + 3)2 – (2x – 1)2 > 0

Carré moins Carré, on retrouve la forme développée de la troisième identité remarquable. On peut la factoriser.

factoriser troisième identité remarquable

Le A2 est (x + 3)2,
donc le A est (x + 3).

Le B2 est (2x – 1)2,
donc le B est (2x – 1).

En factorisant, on obtient :

⇔ [(x + 3) + (2x – 1)] × [(x + 3) – (2x – 1)] > 0

⇔ [x + 3 + 2x – 1] × [x + 3 – 2x + 1] > 0
(attention quand on enlève le couple de parenthèses après l’opérateur « moins »)

⇔ [3x + 2] × [-x + 4] > 0

⇔ (3x + 2) × (-x + 4) > 0

Pour résoudre une inéquation avec > 0, l’idéal est de construire le tableau de signe de l’expression de gauche et de déterminer les intervalles de x où il y a les « + » (mais pas les « 0 »).

Pour cela, on doit d’abord obtenir les signes de 3x + 2
et de -x + 4 séparément. J’effectue des petites inéquations que j’appelle mini-inéquations.

On a le signe « + »
quand 3x + 2 ≥ 0
quand 3x ≥ -2
quand 2x/2 ≥ –2/3
(on garde le sens de l’inégalité car on divise par un nombre positif de chaque côté)
quand x ≥ –2/3
Cela veut dire que c’est à droite de –2/3 dans le tableau.

On mettra donc le signe « + » à droite de –2/3.

On a le signe « + »
quand -x + 4 ≥ 0
quand -x ≥ -4
quand -1x/-1-4/-1
(on change le sens de l’inégalité car on divise par un nombre négatif de chaque côté)
quand x ≤ 4
Cela veut dire que c’est à gauche de 4 dans le tableau.

On mettra donc le signe « + » à gauche de 4.

Voici le tableau de signe :

tableau signe produit

Pour conclure sur l’inéquation, comme on veut un membre de gauche strictement supérieur à 0, on sélectionne exclusivement les + du tableau. Soit des x appartenant à

S = ] –2/3 ; 4 [.

On ne sélectionne pas les valeur de x au-dessus du 0 (inégalité stricte).

4) 9 – x2 + (3 – x)(2x + 6) ≤ 0 :

Rédaction :


Pour résoudre une inéquation avec 0 à droite, il faut faire un tableau de signe de l’expression de gauche.

Mais pour faire un tableau de signe, il nous faut un produit. Et là, on a une soustraction et une addition, il faut factorise.

Avec 9 – x2, on a quelque chose de la forme Carré moins Carré, on retrouve la forme développée de la troisième identité remarquable. On peut la factoriser.

factoriser troisième identité remarquable

Le A2 est 9,
donc le A est 3.

Le B2 est x2,
donc le B est x.

En factorisant le début, on obtient :

⇔ (3 + x) × (3 – x) + (3 – x)(2x + 6) ≤ 0

La première façon de factoriser est de regarder si on a un facteur commun. Ci-dessous, on voit :

⇔ (3 + x) × (3 – x) + (3 – x)(2x + 6) ≤ 0
(3 – x) × (3 + x) + (3 – x) × (2x + 6) ≤ 0
On utilise donc la formule de la factorisation avec facteur commun :

factoriser formule distributivité

Comme c’est un « plus » qu’on a au milieu, on prend la formule avec le « plus », soit :
K × A + K × B

Le K est (3 – x).
Le A est (3 + x).
Le B est (2x + 6).

En forme factorisée, cela donne :
K × (A + B) soit

(3 – x) × [(3 + x) + (2x + 6)] ≤ 0
(3 – x) × [3 + x + 2x + 6] ≤ 0
(3 – x) × [3x + 9] ≤ 0
(3 – x) × (3x + 9) ≤ 0

Pour résoudre une inéquation avec ≤ 0, l’idéal est de construire le tableau de signe de l’expression de gauche et de déterminer les intervalles de x où il y a les « – » et les « 0 ».

Pour cela, on doit d’abord obtenir les signes de 3 – x
et de 3x + 9 séparément. J’effectue des petites inéquations que j’appelle mini-inéquations.

On a le signe « + »
quand 3 – x ≥ 0
quand -x ≥ -3
quand -1x/-1 ≤ –3/-1
(on change le sens de l’inégalité car on divise par un nombre négatif de chaque côté)
quand x ≤ 3
Cela veut dire que c’est à gauche de 3 dans le tableau.

On mettra donc le signe « + » à gauche de 3.

On a le signe « + »
quand 3x + 9 ≥ 0
quand 3x ≥ -9
quand 3x/3-9/3
(on garde le sens de l’inégalité car on divise par un nombre positif de chaque côté)
quand x ≥ -3
Cela veut dire que c’est à droite de -3 dans le tableau.

On mettra donc le signe « + » à droite de -3.

Voici le tableau de signe :

tableau signe produit facteurs

Pour conclure sur l’inéquation, comme on veut un membre de gauche ≤ 0, on sélectionne les « – » et les « 0 » du tableau. Soit des x appartenant à

S = ] -∞ ; -3 ] U [ 3 ; +∞ [.

On sélectionne les valeur de x au-dessus du 0 (inégalité large) donc on met des crochets fermés sur -3 et 3. Toujours des crochets ouverts aux infinis.

1/(5x – 1)1/(x + 2)
5) Ensemble de définition de l’inéquation :

Rédaction :

Attention, il y a deux fraction avec des x, c’est-à-dire, deux expressions rationnelles. Il faut donc déterminer l’ensemble de définition de l’équation.

Or une expression rationnelle (fraction) est définie si et seulement si son dénominateur est différent de zéro.

On va donc faire les tableau de signe des dénominateur et exclure les valeurs de x qui font que ces dénominateurs sont égaux à zéro.

On a le signe « + »
quand 5x – 1 ≥ 0
quand 5x ≥ 1
quand 5x/51/5
(on garde le sens de l’inégalité car on divise par un nombre positif de chaque côté)
quand x ≥ 1/5
Cela veut dire que c’est à droite de 1/5 dans le tableau.

On mettra donc le signe « + » à droite de 1/5.

tableau signe dénominateur affine

Ce dénominateur est donc nul quand x = 1/5.
Le domaine de définition de l’inéquation sera d’ores et déjà privé de 1/5.

On a le signe « + »
quand x + 2 ≥ 0
quand x ≥ -2
Cela veut dire que c’est à droite de -2 dans le tableau.

On mettra donc le signe « + » à droite de -2.

tableau signe dénominateur affine

Ce dénominateur est donc nul quand x = -2.
Le domaine de définition de l’inéquation sera d’ores et déjà privé de -2.

En rassemblant les deux valeurs exclues 1/5 et -2, on peut affirmer que le domaine de définition est l’ensemble des réels privé de ces deux valeur.
D = R privé de {-2 ; 1/5}
D = ] -∞ ; -2 [ U ] -2 ; 1/5 [ U ] 1/5 ; +∞ [

(-4x + 3)/[ (5x – 1)(x + 2) ] ≤ 0
6) Équivalence de l’inéquation 5) à celle ci-dessus :

Rédaction :

Pour résoudre une inéquation, la première astuce de de tout mettre à gauche en soustrayant le membre de droite.

1/(5x – 1)1/(x + 2)
1/(5x – 1)1/(x + 2) ≤ 0

Pour résoudre cette inéquation avec une fraction et une soustraction, l’astuce est de tout mettre sur le même dénominateur.
On multiplie donc ici, les dénominateurs entre eux pour obtenir le dénominateur commun.

Pour faire bien, on multiplie le premier numérateur par le second dénominateur et le second numérateur par le premier dénominateur. Comme ci-dessous :

1/(5x – 1) × (x + 2)/(x + 2)1/(x + 2) × (5x – 1)/(5x – 1) ≤ 0

(1(x + 2))/[ (5x – 1)(x + 2) ] (1(5x – 1))/[ (5x – 1)(x + 2) ] ≤ 0

Les dénominateurs sont les mêmes, on peut rassembler les numérateurs sur la même barre de fraction.

[ 1(x + 2) 1(5x – 1) ]/[ (5x – 1)(x + 2) ] ≤ 0
[ (x + 2) (5x – 1) ]/[ (5x – 1)(x + 2) ] ≤ 0
[ x + 2 – 5x + 1 ]/[ (5x – 1)(x + 2) ] ≤ 0
[ -4x + 3 ]/[ (5x – 1)(x + 2) ] ≤ 0
(-4x + 3)/[ (5x – 1)(x + 2) ] ≤ 0

7) Résolution de l’équation 5) :

Rédaction :

Cela revient à résoudre la dernière inégalité.
(-4x + 3)/[ (5x – 1)(x + 2) ] ≤ 0

Pour résoudre une inéquation avec ≤ 0, l’idéal est de construire le tableau de signe de l’expression de gauche et de déterminer les intervalles de x où il y a les « – » et « 0 ».

Évidemment, il faut un produit de facteurs ou des quotients pour pouvoir appliquer la règle des signes et faire ce tableau de signe. C’est le cas avec (-4x + 3), (5x – 1) et (x + 2). Il y a une barre de fraction (soit diviser) et un produit en bas (soit multiplier).

On peut donc refaire les mini-inéquations.

On a le signe « + »
quand -4x + 3 ≥ 0
quand -4x ≥ -3
quand -4x/-4-3/-4
(on change le sens de l’inégalité car on divise par un nombre négatif de chaque côté)
quand x ≤ 3/4
Cela veut dire que c’est à gauche de 3/4 dans le tableau.

On mettra donc le signe « + » à gauche de 3/4.

On a le signe « + »
quand 5x – 1 ≥ 0
quand 5x ≥ 1
quand 5x/51/5
(on garde le sens de l’inégalité car on divise par un nombre positif de chaque côté)
quand x ≥ 1/5
Cela veut dire que c’est à droite de 1/5 dans le tableau.

On mettra donc le signe « + » à droite de 1/5.

On a le signe « + »
quand x + 2 ≥ 0
quand x ≥ -2
Cela veut dire que c’est à droite de -2 dans le tableau.

On mettra donc le signe « + » à droite de -2.

Ce qui donne le tableau de signe suivant :

tableau signe quotient

Pour conclure sur l’inéquation, comme on veut un membre de gauche ≤ 0, on sélectionne les « – » et les « 0 » du tableau. Soit des x appartenant à

S = ] -2; ; 1/5 [ U [ 3/4 ; +∞ [.

On sélectionne les valeurs de x au-dessus du 0 (inégalité large) donc on met des crochets fermés sur 3/4. Toujours des crochets ouverts aux infinis et on les mets aussi aux valeurs exclues -2 et 1/5 (là où il y a les doubles-barres).

Bonne compréhension,
Sylvain

astuces exercices maths corrigé

Corrigé précédent : Corrigé N°331 – Exponentielle, coût, dérivée, variation – Terminale ES

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