Exercice N°582 :

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Exercice N°582 :

Un protocole de traitement d’une maladie, chez l’enfant, comporte une perfusion longue durée d’un médicament adapté. La concentration dans le sang du médicament au cours du temps est modélisée par la fonction C définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par :

C(t) = (d/a)(1 – e-(a/80)t)


– C désigne la concentration du médicament dans le sang, exprimée en micromole par litre,
– t le temps écoulé depuis le début de la perfusion, exprimé en heure,
– d le débit de la perfusion, exprimé en micromole par heure,
– a un ^paramètre réel strictement positif, appelé clairance, exprimé en litre par heure.

Le paramètre a est spécifique à chaque patient.
En médecine, on appelle « plateau » la limite en +∞ de la fonction C.

Partie A : Étude d’un cas particulier

La clairance a d’un certain patient vaut 7, et on choisit un débit d égal à 84.
Dans cette partie, la fonction C est donc définie sur [0 ; +∞[ par :

C(t) = 12(1 – e-(7/80)t).

1) Étudier le sens de variation de la fonction C sur [0 ; +∞[.

2) Pour être efficace, le plateau doit être égal à 15. Le traitement de ce patient est-il efficace ?

Partie B : Étude de fonctions

Soit f la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par :

f(x) = (105/x)(1 – e-(3/40)x).

3) Démontrer que, pour tout réel x de ]0 ; +∞[,

f ‘(x) = 105g(x)/x2,

où g est la fonction définie sur ][0 ; +∞[ par :

g(x) = (3x/40)(e-(3/40)x) + e-(3/40)x – 1.

4) Déterminer la limite de g en +∞.

On donne le tableau de variation de la fonction g :

tableau variation fonction

5) En déduire le sens de variation de la fonction f (pas besoin des limites).

6) Montrer que l’équation f(x) = 5.9 admet une unique solution sur l’intervalle [1 ; 80].
En déduire que cette équation admet une unique solution sur l’intervalle
]0 ; +∞[. Donner une valeur approchée de cette solution au dixième près.

Partie C : Détermination d’un traitement adéquat

Le but de cette partie est de déterminer, pour un patient donné, la valeur du débit de la perfusion qui permette au traitement d’être efficace, c’est-à-dire au plateau d’être égal à 15.
Au préalable, il faut pouvoir déterminer la clairance a de ce patient. A cette fin, on règle provisoirement le débit d à 105, avant de calculer le débit qui rende le traitement efficace.
On rappelle que la fonction C définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par :

C(t) = (d/a)(1 – e-(a/80)t).

On cherche à déterminer la clairance a d’un patient. Le débit est provisoirement réglé à 105.

7) Exprimer, en fonction de a, la concentration du médicament 6 heures après le début de la perfusion.

Au bout de 6 heures, des analyses permettent de connaître la concentration du médicament dans le sang ; elle est égale à 5.9 micromole par litre.

8) Déterminer une valeur approchée, au dixième de litre par heure, de la clairance de ce patient.

9) Déterminer la valeur du débit d de la perfusion garantissant l’efficacité du traitement.

Bon courage,
Sylvain

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Exercice précédent : Limites – Valeur absolue, racine, puissance, cos, sin – Terminale S

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Corrigé N°331 :

Exercice : Exponentielle – Coûts, dérivée, inéquations, variation – Terminale ES

CT(x) = 2x2 + xe-2x + 3

1) Fonction coût marginal Cm :

Rédaction :

Pour avoir le coût marginal Cm(x), on fait la fonction dérivé du coût total CT(x).

CT(x) = 2x2 + u(x) × v(x)
avec u(x) = x,
donc u'(x) = 1,
avec v(x) = e-2x + 3,
donc v'(x) = -2 × e-2x + 3 avec la dérivée de l’exponentielle :

fonction dérivée exponentielle

Donc C’T(x) = 2 × 2x + (u'(x) × v(x) + u(x) × v'(x))
= 4x + 1 × e-2x + 3 + x × (-2 × e-2x + 3)
On obtient en factorisant par l’exponentielle :
Cm(x) = 4x + (1 – 2x) × e-2x + 3

2) Coût marginal pour 150 articles :

Rédaction :

On calcule Cm(1.5) = 4 × 1.5 + (1 – 2 × 1.5) × e-2 × 1.5 + 3
= 6 – 2 × e-2 × 1.5 + 3
= 6 – 2 × e0
= 6 – 2 × 1
= 4 milliers d’euros.

CM(x) = CT(x)/x
3) Expression de CM(x) :

Rédaction :

CM(x) = (2x2 + xe-2x + 3)/x
= (x × [2x + e-2x + 3])/x
(en factorisant par x au numérateur)
= 2x + e-2x + 3
(en simplifiant x/x = 1).

4) Déterminer C’M(x) :

Rédaction :

CM(x) = 2x + e-2x + 3
On utilise à nouveau la formule de la dérivée de l’exponentielle vue au-dessus.
C’M(x) = 2 + (-2) × e-2x + 3
= 2 – 2e-2x + 3
= 2 × (1 – e-2x + 3)
(comme je vois 2 et 2, je factorise par 2)

5) Résoudre l’équation 1 – e-2x + 3 = 0 :

Rédaction :

1 – e-2x + 3 = 0
⇔ 1 = e-2x + 3
⇔ e0 = e-2x + 3
⇔ 0 = -2x + 3
⇔ 2x = 3
⇔ x = 3/2

S = {3/2}

6) Résoudre l’équation 1 – e-2x + 3 > 0 :

Rédaction :

1 – e-2x + 3 > 0 (expression positive)
⇔ 1 > e-2x + 3
⇔ e0 > e-2x + 3
⇔ 0 > -2x + 3
(car exp est strictement croissante, on ne change pas le sens de l’inégalité)
⇔ 2x > 3
⇔ x > 3/2
(x à droite de 3/2)

S = ]3/2 ; +∞[

7) Variation de CM :

Rédaction :

Pour obtenir les variations de CM, il nous faut le signe de C’M(x) qui est un produit. On fait le tableau suivant :

tableau signe dérivée variation fonction

8) Production q quand l’entreprise a un coût moyen minimal et coût :

Rédaction :

D’après le tableau de variation de CM, on voit que le coût moyen est minimal pour une quantité de 1.5 centaines d’articles.

Donc CM(1.5) = 2 × 1.5 + e-2 × 1.5 + 3
= 3 + e0
= 3 + 1 = 4.

Le coût moyen minimal est de 4 milliers d’euros.

R(x) = 7x,
B(x) = R(x) − CT(x).
Par lecture graphique déterminer :

9) Intervalle avec rendement marginal est croissant (coût marginal est décroissant) :

Rédaction :

Le coût marginal est décroissant, soit Cm décroissante. Or Cm est la dérivée de CT donc cela équivaut à C’T décroissante.
Or C’T décroissante
⇔ C ‘ ‘T(x) négatif
⇔ CT concave
⇔ C’est quand les tangentes à la courbe sont au-dessus de cette même courbe, c’est-à-dire avant le point d’inflexion de la courbe qui est proche du point d’abscisse 0.7.
L’intervalle de rendement marginal croissant est de [0 ; 0.7].

10) Coût moyen minimal :

Rédaction :

Le coût moyen est atteint en x = 1.5, donc on regarde le coût total qui vaut 6.
Pour obtenir ce coût moyen, on peut rediviser ce coût total par la quantité.
6/1.5 = 4.
On retrouve le coût moyen calculé plus haut.

11) Intervalle de x avec bénéfice positif :

Rédaction :

Le bénéfice est positif quand la recette est supérieure au coût. Il faut déterminer les abscisses des points des courbes quand la droite des recettes est au-dessus de la droite du coût.
On remarque que le bénéfice est positif pour des quantités allant de 0.6 à 3.5 centaines d’articles.

12) Production x0 avec bénéfice maximal :

Rédaction :

Pour obtenir le x0 avec le bénéfice maximal, il faut regarder à quel endroit l’écart entre la droite de la recette et la courbe du coût est le plus grand. D’après le graphique, je dirais que x0 = 2.2 centaines d’articles.

13) Avec calculatrice, intervalle (à un article près) pour avoir un bénéfice positif :

Rédaction :

Pour cela, on a besoin de la formule du bénéfice B(x) qui est égale à
R(x) – CT(x)
= 7x – (2x2 + xe-2x + 3)

Je rentre cette formule dans le tableur de la calculatrice.

D’abord de 0 à 1, ensuite de 3 à 4 car nous avions vu dans une question précédente que les bornes étaient environ de 0.6 et de 3.5.

Je commence par mettre le pas (step) à 0.1, la fonction B(x) change de signe entre 0.6 et 0.7, puis entre 3.4 et 3.5.

Puis j’affine le pas au centième pour arriver à l’article près (x étant en centaines d’articles). On a :

B(0.62) = -0.0325 (au dix-millième près)
B(0.63) = 0.0269 (au dix-millième près)

B(3.49) = 0.0046 (au dix-millième près)
B(3.50) = -0.0064 (au dix-millième près)

On conserve les valeurs où les images sont positives.
Donc l’entreprise fait un bénéfice positif
sur l’intervalle [0.63 ; 3.49].

Bonne compréhension,
Sylvain

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Corrigé précédent : Corrigé N°316 – Fonction, rationnelle, affine, graphique – Première ES

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Corrigé N°337 :

Exercice : Exponentielle – Convexité, signe, variations, inflexion – Terminale ES

f(x) = (2x + 1)ex

1) Signe de la fonction f :

Rédaction :

f(x) a deux facteurs donc on fait un tableau de signe avec chacun de ceux-ci.
Un exponentiel est toujours strictement positif quelque soit son contenu.
On met un « + » pour 2x + 1
⇔ 2x + 1 ≥ 0
⇔ 2x ≥ -1
⇔ x ≥ –1/2
⇔ on est à droite de –1/2 dans la première ligne du tableau de signe.
Donc on met le « + » à droite du « 0 » en dessous de –1/2.

On obtient donc le tableau suivant :

tableau signe fonction exponentielle

2) Variations de la fonction f :

Rédaction :

Pour déterminer les variations d’une fonction, on détermine d’abord le signe de la fonction dérivée.

f(x) = (2x + 1)ex
= u(x) × v(x)

avec
u(x) = 2x + 1,
u'(x) = 2,
v(x) = ex,
v'(x) = ex.

La dérivée du produit f(x) est donc la formule :
f'(x) = u'(x) × v(x) + u(x) × v'(x)

Du coup, f'(x) = 2×ex + (2x + 1)×ex
= ex × (2 + (2x + 1)) (en factorisant par l’exponentiel)
= ex × (2x + 3)

f'(x) a deux facteurs donc on fait un tableau de signe avec chacun de ceux-ci.
Un exponentiel est toujours strictement positif quelque soit son contenu.
On met un « + » pour 2x + 3
⇔ 2x + 3 ≥ 0
⇔ 2x ≥ -3
⇔ x ≥ –3/2
⇔ on est à droite de –3/2 dans la première ligne du tableau de signe.
Donc on met le « + » à droite du « 0 » en dessous de –3/2.

On obtient donc le tableau suivant :

variation derivée exponentielle fonction

Le minimum est atteint en –3/2.
On calcule f(-3/2) en remplaçant x par –3/2dans l’expression de f(x).

3) Convexité de la fonction f :

Pour déterminer la convexité du fonction f, on fait le tableau de signe de f »(x) comme celui-ci dessous (attention ce n’est qu’un cours, pas le signe de f »(x) de cet exercice) :
convexite fonction signe dérivée seconde

Rédaction :

Je dois déterminer f »(x) :

f'(x) = (2x + 3) × ex
= u(x) × v(x)

avec
u(x) = 2x + 3,
u'(x) = 2,
v(x) = ex,
v'(x) = ex.

La dérivée du produit f(x) est donc la formule :
f »(x) = u'(x) × v(x) + u(x) × v'(x)

Du coup, f »(x) = 2×ex + (2x + 3)×ex
= ex × (2 + (2x + 3)) (en factorisant par l’exponentiel)
= ex × (2x + 5)

f »(x) a deux facteurs donc on fait un tableau de signe avec chacun de ceux-ci.
Un exponentiel est toujours strictement positif quelque soit son contenu.
On met un « + » pour 2x + 5
⇔ 2x + 3 ≥ 0
⇔ 2x ≥ -5
⇔ x ≥ –5/2
⇔ on est à droite de –5/2 dans la première ligne du tableau de signe.
Donc on met le « + » à droite du « 0 » en dessous de –5/2.

On obtient donc le tableau suivant :

convexité exponentielle fonction signe

4) Points d’inflexion éventuels et tangente à la courbe en ces points :

Rédaction :

D’après la question précédente, le point d’inflexion est atteint en x = –5/2.
L’ordonnée de point est f(-5/2).
f(-5/2) = (2 × –5/2 + 1)e5/2
= (-5 + 1)e5/2
= -4e5/2.

Les coordonnées du point d’inflexion sont donc (-5/2 ; -4e5/2).

L’équation d’une tangente à une courbe Cf au point d’abscisse a est :

equation tangente courbe fonction point abscisse a

Ici, a = –5/2.
f(a) = -4e5/2
De plus,
f'(a) = (2 × –5/2 + 3)e5/2
= (-5 + 3)e5/2
= -2e5/2.

Du coup, l’équation de la tangente au point d’inflexion est :

y = -2e5/2(x – (-5/2)) + (-4e5/2)
= -2e5/2 × x + (-2) × e5/2 × 5/2 – 4e5/2
= -2e5/2 × x – 5e5/2 – 4e5/2
= -2e5/2 × x – 9e5/2

g(x) = xex.
5) Convexité de g :

Rédaction :

Pour trouver la convexité de g, il faut dériver deux fois et déterminer le signe de g »(x).

g(x) = x × ex
= u(x) × v(x)

avec
u(x) = x,
u'(x) = 1,
v(x) = ex,
v'(x) = ex.

La dérivée du produit g(x) est donc la formule :
g'(x) = u'(x) × v(x) + u(x) × v'(x)
= 1 × ex + x × ex
= ex × (1 + x).
= a(x) × b(x)

avec a(x) = ex
a'(x) = ex
b(x) = 1 + x
b'(x) = 1

g »(x) = a'(x) × b(x) + a(x) × b'(x)
= ex × (1 + x) + ex × 1
= ex × (1 + x + 1)
= ex × (x + 2)

g »(x) a deux facteurs donc on fait un tableau de signe avec chacun de ceux-ci.
Un exponentiel est toujours strictement positif quelque soit son contenu.
On met un « + » pour x + 2
⇔ x + 2 ≥ 0
⇔ x ≥ -2
⇔ x ≥ -2
⇔ on est à droite de -2 dans la première ligne du tableau de signe.
Donc on met le « + » à droite du « 0 » en dessous de -2.

On obtient donc le tableau suivant :

convexité fonction signe dérivée seconde

g n’est pas convexe sur R, pas concave sur R, mais admet un point d’inflexion.

6) Calculer h'(x) :

h(x) = ex/(x – 1)
= u(x)/v(x)

avec u(x) = ex,
u'(x) = ex,
v(x) = x – 1,
v'(x) = 1.

dérivée quotient

h'(x) = (ex× (x – 1) – ex × 1)/(x – 1)2
= (ex(x – 2))/(x – 1)2

k(x) = 0,9x
7) k croissante, concave, positive :

Rédaction :

0,9 est positif, donc n’importe quelle puissance de 0,9 est positive, donc k positive sur R.
0,9 < 1 donc k (0,9x) est strictement décroissante sur R.
Tout fonction ax est convexe sur R (a > 0), k aussi.

Bonne compréhension,
Sylvain

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Corrigé précédent : Corrigé N°170 – Probabilités, loi binômiale, suite – Terminale S

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Corrigé N°280 :

Exercice : Exponentielle – Fonction, dérivées, limite, continuité – Terminale S

1) f’ et f ‘ ‘ :

Rédaction :

f(x) = x + 1 + xe-x
= x + 1 + u(x) × v(x)
avec u(x) = x
donc u'(x) = 1
avec v(x) = e-x
donc v'(x) = -e-x

f'(x) = 1 + 0 + u'(x) × v(x) + u(x) × v'(x)
= 1 + 1 × e-x + x × (-e-x)
= 1 + e-x – xe-x

f'(x) = 1 + e-x – u(x) × v(x)
avec les mêmes u(x) et v(x).

Donc f  »(x) = 0 – e-x – (u'(x) × v(x) + u(x) × v'(x))
= – e-x – (1 × e-x – xe-x)
= -2e-x + xe-x
= (x – 2)e-x.

2) Variation de f’ :

Rédaction :

x – 2 est négatif avant 2, puis positif après 2.
Un exponentiel est toujours strictement positif.

correction_280_a

car f'(0) = 1 + e-0 – 0e-0
= 1 + 1 + 0
= 2

et f'(2) = 1 + e-2 – 2e-2
= 1 – e-2.

3) Signe de f’ :

Rédaction :

D’après le tableau de variation, on voit que le minimum de la fonction est
1 – e-2 qui est strictement positif.
Donc f'(x) > 0 sur les réels positifs.

4) Limite de f en +∞ :

Rédaction :

f(x) = x + 1 + xe-x

lim[x → +∞] (x + 1) = +∞

Comme xe-x est positif sur R+, peu importe sa limite (0, une constante ou +∞), additionnée à la limite +∞ de (x + 1), on aura :

lim[x → +∞] f(x) = +∞

5) Variation de f :

Rédaction :

On sait que f'(x) est toujours positif sur R+, donc f est strictement croissante.
f(0) = 0 + 1 + 0e-0
= 1.

tableau signe dérivée variation fonction

6) Équation de la tangente (T) en 1 :

Rédaction :

L’équation d’une tangente est :

equation tangente courbe fonction point abscisse a

Donc ici y = f'(1)(x – 1) + f(1).

f'(1) = 1 + e-1 – 1e-1
= 1.

f(1) = 1 + 1 + 1e-1
= 2 + e-1.

Donc y = 1(x – 1) + 2 + e-1
y = x + 1 + e-1.

7) f(x) = 2, solution unique, valeur :

Rédaction :

* f est continue sur R+
* f est strictement croissante sur R+

f(0) = 1
lim[x → +∞] f(x) = +∞

* Donc 2 appartient à l’intervalle image [ 1 ; +∞ ]
soit [ f(0) ; lim[x → +∞] f(x)].

D’après le théorème des valeurs intermédiaire, l’équation f(x) = 2 admet une unique solution α sur R+.

On trouve α à l’aide de la calculatrice avec la tableur.
Tout d’abord, on part de 0 et on monte de 1 en 1 jusqu’à dépasser 2.
Donc 0 < α < 1 car on dépasse 2 dès l'abscisse x = 1.

Maintenant on va de 0.1 en 0.1 :

On dépasse 2 à partir de 0.7 donc 0.6 < α < 0.7



Maintenant on va de 0.01 en 0.01 :

On dépasse 2 à partir de 0.66 donc 0.65 < α < 0.66



Maintenant on va de 0.001 en 0.001 :

On dépasse 2 à partir de 0.659 donc 0.658 < α < 0.659



Je prends 0.659 comme valeur arrondie de α.



8) Cf et (T) :

courbe fonction droite tangente

Graphsketch.com

Cf est la courbe bleue et (T) la droite rouge qui est bien la tangente en 1.

Bonne compréhension,
Sylvain

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Corrigé précédent : Corrigé N°401 – Dérivation, polynômes, rationnelles – Terminale ES

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Exercice N°477 :

On donne ci-dessous la représentation graphique Cf de la fonction f
définie sur [0 ; 4] par f(x) = (4 − x)e−x.

exo477_a

1) Étudier le signe de f(x) sur [0 ; 4].

On note A l’aire de la zone grise en unités d’aire. Lis la suite »

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