Corrigé N°331 :

Exercice : Exponentielle – Coûts, dérivée, inéquations, variation – Terminale ES

CT(x) = 2x2 + xe-2x + 3

1) Fonction coût marginal Cm :

Rédaction :

Pour avoir le coût marginal Cm(x), on fait la fonction dérivé du coût total CT(x).

CT(x) = 2x2 + u(x) × v(x)
avec u(x) = x,
donc u'(x) = 1,
avec v(x) = e-2x + 3,
donc v'(x) = -2 × e-2x + 3 avec la dérivée de l’exponentielle :

fonction dérivée exponentielle

Donc C’T(x) = 2 × 2x + (u'(x) × v(x) + u(x) × v'(x))
= 4x + 1 × e-2x + 3 + x × (-2 × e-2x + 3)
On obtient en factorisant par l’exponentielle :
Cm(x) = 4x + (1 – 2x) × e-2x + 3

2) Coût marginal pour 150 articles :

Rédaction :

On calcule Cm(1.5) = 4 × 1.5 + (1 – 2 × 1.5) × e-2 × 1.5 + 3
= 6 – 2 × e-2 × 1.5 + 3
= 6 – 2 × e0
= 6 – 2 × 1
= 4 milliers d’euros.

CM(x) = CT(x)/x
3) Expression de CM(x) :

Rédaction :

CM(x) = (2x2 + xe-2x + 3)/x
= (x × [2x + e-2x + 3])/x
(en factorisant par x au numérateur)
= 2x + e-2x + 3
(en simplifiant x/x = 1).

4) Déterminer C’M(x) :

Rédaction :

CM(x) = 2x + e-2x + 3
On utilise à nouveau la formule de la dérivée de l’exponentielle vue au-dessus.
C’M(x) = 2 + (-2) × e-2x + 3
= 2 – 2e-2x + 3
= 2 × (1 – e-2x + 3)
(comme je vois 2 et 2, je factorise par 2)

5) Résoudre l’équation 1 – e-2x + 3 = 0 :

Rédaction :

1 – e-2x + 3 = 0
⇔ 1 = e-2x + 3
⇔ e0 = e-2x + 3
⇔ 0 = -2x + 3
⇔ 2x = 3
⇔ x = 3/2

S = {3/2}

6) Résoudre l’équation 1 – e-2x + 3 > 0 :

Rédaction :

1 – e-2x + 3 > 0 (expression positive)
⇔ 1 > e-2x + 3
⇔ e0 > e-2x + 3
⇔ 0 > -2x + 3
(car exp est strictement croissante, on ne change pas le sens de l’inégalité)
⇔ 2x > 3
⇔ x > 3/2
(x à droite de 3/2)

S = ]3/2 ; +∞[

7) Variation de CM :

Rédaction :

Pour obtenir les variations de CM, il nous faut le signe de C’M(x) qui est un produit. On fait le tableau suivant :

tableau signe dérivée variation fonction

8) Production q quand l’entreprise a un coût moyen minimal et coût :

Rédaction :

D’après le tableau de variation de CM, on voit que le coût moyen est minimal pour une quantité de 1.5 centaines d’articles.

Donc CM(1.5) = 2 × 1.5 + e-2 × 1.5 + 3
= 3 + e0
= 3 + 1 = 4.

Le coût moyen minimal est de 4 milliers d’euros.

R(x) = 7x,
B(x) = R(x) − CT(x).
Par lecture graphique déterminer :

9) Intervalle avec rendement marginal est croissant (coût marginal est décroissant) :

Rédaction :

Le coût marginal est décroissant, soit Cm décroissante. Or Cm est la dérivée de CT donc cela équivaut à C’T décroissante.
Or C’T décroissante
⇔ C ‘ ‘T(x) négatif
⇔ CT concave
⇔ C’est quand les tangentes à la courbe sont au-dessus de cette même courbe, c’est-à-dire avant le point d’inflexion de la courbe qui est proche du point d’abscisse 0.7.
L’intervalle de rendement marginal croissant est de [0 ; 0.7].

10) Coût moyen minimal :

Rédaction :

Le coût moyen est atteint en x = 1.5, donc on regarde le coût total qui vaut 6.
Pour obtenir ce coût moyen, on peut rediviser ce coût total par la quantité.
6/1.5 = 4.
On retrouve le coût moyen calculé plus haut.

11) Intervalle de x avec bénéfice positif :

Rédaction :

Le bénéfice est positif quand la recette est supérieure au coût. Il faut déterminer les abscisses des points des courbes quand la droite des recettes est au-dessus de la droite du coût.
On remarque que le bénéfice est positif pour des quantités allant de 0.6 à 3.5 centaines d’articles.

12) Production x0 avec bénéfice maximal :

Rédaction :

Pour obtenir le x0 avec le bénéfice maximal, il faut regarder à quel endroit l’écart entre la droite de la recette et la courbe du coût est le plus grand. D’après le graphique, je dirais que x0 = 2.2 centaines d’articles.

13) Avec calculatrice, intervalle (à un article près) pour avoir un bénéfice positif :

Rédaction :

Pour cela, on a besoin de la formule du bénéfice B(x) qui est égale à
R(x) – CT(x)
= 7x – (2x2 + xe-2x + 3)

Je rentre cette formule dans le tableur de la calculatrice.

D’abord de 0 à 1, ensuite de 3 à 4 car nous avions vu dans une question précédente que les bornes étaient environ de 0.6 et de 3.5.

Je commence par mettre le pas (step) à 0.1, la fonction B(x) change de signe entre 0.6 et 0.7, puis entre 3.4 et 3.5.

Puis j’affine le pas au centième pour arriver à l’article près (x étant en centaines d’articles). On a :

B(0.62) = -0.0325 (au dix-millième près)
B(0.63) = 0.0269 (au dix-millième près)

B(3.49) = 0.0046 (au dix-millième près)
B(3.50) = -0.0064 (au dix-millième près)

On conserve les valeurs où les images sont positives.
Donc l’entreprise fait un bénéfice positif
sur l’intervalle [0.63 ; 3.49].

Bonne compréhension,
Sylvain

astuces exercices maths corrigé

Corrigé précédent : Corrigé N°316 – Fonction, rationnelle, affine, graphique – Première ES

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Corrigé N°337 :

Exercice : Exponentielle – Convexité, signe, variations, inflexion – Terminale ES

f(x) = (2x + 1)ex

1) Signe de la fonction f :

Rédaction :

f(x) a deux facteurs donc on fait un tableau de signe avec chacun de ceux-ci.
Un exponentiel est toujours strictement positif quelque soit son contenu.
On met un « + » pour 2x + 1
⇔ 2x + 1 ≥ 0
⇔ 2x ≥ -1
⇔ x ≥ –1/2
⇔ on est à droite de –1/2 dans la première ligne du tableau de signe.
Donc on met le « + » à droite du « 0 » en dessous de –1/2.

On obtient donc le tableau suivant :

tableau signe fonction exponentielle

2) Variations de la fonction f :

Rédaction :

Pour déterminer les variations d’une fonction, on détermine d’abord le signe de la fonction dérivée.

f(x) = (2x + 1)ex
= u(x) × v(x)

avec
u(x) = 2x + 1,
u'(x) = 2,
v(x) = ex,
v'(x) = ex.

La dérivée du produit f(x) est donc la formule :
f'(x) = u'(x) × v(x) + u(x) × v'(x)

Du coup, f'(x) = 2×ex + (2x + 1)×ex
= ex × (2 + (2x + 1)) (en factorisant par l’exponentiel)
= ex × (2x + 3)

f'(x) a deux facteurs donc on fait un tableau de signe avec chacun de ceux-ci.
Un exponentiel est toujours strictement positif quelque soit son contenu.
On met un « + » pour 2x + 3
⇔ 2x + 3 ≥ 0
⇔ 2x ≥ -3
⇔ x ≥ –3/2
⇔ on est à droite de –3/2 dans la première ligne du tableau de signe.
Donc on met le « + » à droite du « 0 » en dessous de –3/2.

On obtient donc le tableau suivant :

variation derivée exponentielle fonction

Le minimum est atteint en –3/2.
On calcule f(-3/2) en remplaçant x par –3/2dans l’expression de f(x).

3) Convexité de la fonction f :

Pour déterminer la convexité du fonction f, on fait le tableau de signe de f »(x) comme celui-ci dessous (attention ce n’est qu’un cours, pas le signe de f »(x) de cet exercice) :
convexite fonction signe dérivée seconde

Rédaction :

Je dois déterminer f »(x) :

f'(x) = (2x + 3) × ex
= u(x) × v(x)

avec
u(x) = 2x + 3,
u'(x) = 2,
v(x) = ex,
v'(x) = ex.

La dérivée du produit f(x) est donc la formule :
f »(x) = u'(x) × v(x) + u(x) × v'(x)

Du coup, f »(x) = 2×ex + (2x + 3)×ex
= ex × (2 + (2x + 3)) (en factorisant par l’exponentiel)
= ex × (2x + 5)

f »(x) a deux facteurs donc on fait un tableau de signe avec chacun de ceux-ci.
Un exponentiel est toujours strictement positif quelque soit son contenu.
On met un « + » pour 2x + 5
⇔ 2x + 3 ≥ 0
⇔ 2x ≥ -5
⇔ x ≥ –5/2
⇔ on est à droite de –5/2 dans la première ligne du tableau de signe.
Donc on met le « + » à droite du « 0 » en dessous de –5/2.

On obtient donc le tableau suivant :

convexité exponentielle fonction signe

4) Points d’inflexion éventuels et tangente à la courbe en ces points :

Rédaction :

D’après la question précédente, le point d’inflexion est atteint en x = –5/2.
L’ordonnée de point est f(-5/2).
f(-5/2) = (2 × –5/2 + 1)e5/2
= (-5 + 1)e5/2
= -4e5/2.

Les coordonnées du point d’inflexion sont donc (-5/2 ; -4e5/2).

L’équation d’une tangente à une courbe Cf au point d’abscisse a est :

equation tangente courbe fonction point abscisse a

Ici, a = –5/2.
f(a) = -4e5/2
De plus,
f'(a) = (2 × –5/2 + 3)e5/2
= (-5 + 3)e5/2
= -2e5/2.

Du coup, l’équation de la tangente au point d’inflexion est :

y = -2e5/2(x – (-5/2)) + (-4e5/2)
= -2e5/2 × x + (-2) × e5/2 × 5/2 – 4e5/2
= -2e5/2 × x – 5e5/2 – 4e5/2
= -2e5/2 × x – 9e5/2

g(x) = xex.
5) Convexité de g :

Rédaction :

Pour trouver la convexité de g, il faut dériver deux fois et déterminer le signe de g »(x).

g(x) = x × ex
= u(x) × v(x)

avec
u(x) = x,
u'(x) = 1,
v(x) = ex,
v'(x) = ex.

La dérivée du produit g(x) est donc la formule :
g'(x) = u'(x) × v(x) + u(x) × v'(x)
= 1 × ex + x × ex
= ex × (1 + x).
= a(x) × b(x)

avec a(x) = ex
a'(x) = ex
b(x) = 1 + x
b'(x) = 1

g »(x) = a'(x) × b(x) + a(x) × b'(x)
= ex × (1 + x) + ex × 1
= ex × (1 + x + 1)
= ex × (x + 2)

g »(x) a deux facteurs donc on fait un tableau de signe avec chacun de ceux-ci.
Un exponentiel est toujours strictement positif quelque soit son contenu.
On met un « + » pour x + 2
⇔ x + 2 ≥ 0
⇔ x ≥ -2
⇔ x ≥ -2
⇔ on est à droite de -2 dans la première ligne du tableau de signe.
Donc on met le « + » à droite du « 0 » en dessous de -2.

On obtient donc le tableau suivant :

convexité fonction signe dérivée seconde

g n’est pas convexe sur R, pas concave sur R, mais admet un point d’inflexion.

6) Calculer h'(x) :

h(x) = ex/(x – 1)
= u(x)/v(x)

avec u(x) = ex,
u'(x) = ex,
v(x) = x – 1,
v'(x) = 1.

dérivée quotient

h'(x) = (ex× (x – 1) – ex × 1)/(x – 1)2
= (ex(x – 2))/(x – 1)2

k(x) = 0,9x
7) k croissante, concave, positive :

Rédaction :

0,9 est positif, donc n’importe quelle puissance de 0,9 est positive, donc k positive sur R.
0,9 < 1 donc k (0,9x) est strictement décroissante sur R.
Tout fonction ax est convexe sur R (a > 0), k aussi.

Bonne compréhension,
Sylvain

astuces exercices maths corrigé

Corrigé précédent : Corrigé N°170 – Probabilités, loi binômiale, suite – Terminale S

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Corrigé N°280 :

Exercice : Exponentielle – Fonction, dérivées, limite, continuité – Terminale S

1) f’ et f ‘ ‘ :

Rédaction :

f(x) = x + 1 + xe-x
= x + 1 + u(x) × v(x)
avec u(x) = x
donc u'(x) = 1
avec v(x) = e-x
donc v'(x) = -e-x

f'(x) = 1 + 0 + u'(x) × v(x) + u(x) × v'(x)
= 1 + 1 × e-x + x × (-e-x)
= 1 + e-x – xe-x

f'(x) = 1 + e-x – u(x) × v(x)
avec les mêmes u(x) et v(x).

Donc f  »(x) = 0 – e-x – (u'(x) × v(x) + u(x) × v'(x))
= – e-x – (1 × e-x – xe-x)
= -2e-x + xe-x
= (x – 2)e-x.

2) Variation de f’ :

Rédaction :

x – 2 est négatif avant 2, puis positif après 2.
Un exponentiel est toujours strictement positif.

correction_280_a

car f'(0) = 1 + e-0 – 0e-0
= 1 + 1 + 0
= 2

et f'(2) = 1 + e-2 – 2e-2
= 1 – e-2.

3) Signe de f’ :

Rédaction :

D’après le tableau de variation, on voit que le minimum de la fonction est
1 – e-2 qui est strictement positif.
Donc f'(x) > 0 sur les réels positifs.

4) Limite de f en +∞ :

Rédaction :

f(x) = x + 1 + xe-x

lim[x → +∞] (x + 1) = +∞

Comme xe-x est positif sur R+, peu importe sa limite (0, une constante ou +∞), additionnée à la limite +∞ de (x + 1), on aura :

lim[x → +∞] f(x) = +∞

5) Variation de f :

Rédaction :

On sait que f'(x) est toujours positif sur R+, donc f est strictement croissante.
f(0) = 0 + 1 + 0e-0
= 1.

tableau signe dérivée variation fonction

6) Équation de la tangente (T) en 1 :

Rédaction :

L’équation d’une tangente est :

equation tangente courbe fonction point abscisse a

Donc ici y = f'(1)(x – 1) + f(1).

f'(1) = 1 + e-1 – 1e-1
= 1.

f(1) = 1 + 1 + 1e-1
= 2 + e-1.

Donc y = 1(x – 1) + 2 + e-1
y = x + 1 + e-1.

7) f(x) = 2, solution unique, valeur :

Rédaction :

* f est continue sur R+
* f est strictement croissante sur R+

f(0) = 1
lim[x → +∞] f(x) = +∞

* Donc 2 appartient à l’intervalle image [ 1 ; +∞ ]
soit [ f(0) ; lim[x → +∞] f(x)].

D’après le théorème des valeurs intermédiaire, l’équation f(x) = 2 admet une unique solution α sur R+.

On trouve α à l’aide de la calculatrice avec la tableur.
Tout d’abord, on part de 0 et on monte de 1 en 1 jusqu’à dépasser 2.
Donc 0 < α < 1 car on dépasse 2 dès l'abscisse x = 1.

Maintenant on va de 0.1 en 0.1 :

On dépasse 2 à partir de 0.7 donc 0.6 < α < 0.7



Maintenant on va de 0.01 en 0.01 :

On dépasse 2 à partir de 0.66 donc 0.65 < α < 0.66



Maintenant on va de 0.001 en 0.001 :

On dépasse 2 à partir de 0.659 donc 0.658 < α < 0.659



Je prends 0.659 comme valeur arrondie de α.



8) Cf et (T) :

courbe fonction droite tangente

Graphsketch.com

Cf est la courbe bleue et (T) la droite rouge qui est bien la tangente en 1.

Bonne compréhension,
Sylvain

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Corrigé précédent : Corrigé N°401 – Dérivation, polynômes, rationnelles – Terminale ES

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Exercice N°477 :

On donne ci-dessous la représentation graphique Cf de la fonction f
définie sur [0 ; 4] par f(x) = (4 − x)e−x.

exo477_a

1) Étudier le signe de f(x) sur [0 ; 4].

On note A l’aire de la zone grise en unités d’aire. Lis la suite »

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Exercice N°476 :

Le plan est muni d’un repère orthonormé (O ; i ; j) d’unité graphique 2 cm.
Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 1] par
f(x) = xex.
On note F la primitive de f qui s’annule en x = 1.
On note C la courbe représentative de la fonction f.
Soit b une constante réelle et g la fonction définie sur [0 ; 1] par
g(x) = (x + b)ex.

exo476_a

On répondra par des considérations graphiques pour les quatre premières seulement.

1) Exprimer, en unités d’aires, l’aire du carré hachuré.

2) Expliquer pourquoi on a :
1/8[de 0 à 0.5] f(x) dx1/4.

3) Expliquer pourquoi F est croissante.

4) Expliquer pourquoi F est convexe.

5) Montrer que pour x ∈ [0 ; 1], on a :
g'(x) = (x + b + 1)ex.

6) Pour quelle valeur de b a-t-on g = f ?

7) Sans recalculer de dérivée, déduire de la question 5 que pour tout x ∈ [0 ; 1] :
f'(x) = (x + 1)ex,

Puis en calculant des dérivées :
f ‘ ‘(x) = (x + 2)ex,
et
F(x) = (x – 1)ex.

8) Vérifier par le calcul que la tangente T à la courbe C en O a pour équation :
y = x.

9) Étudier la convexité de f. En déduire la position relative de la droite T et de la courbe C.

10) Calculer [de 0 à 1] f(x) dx

11) Calculer l’aire grisée unités d’aires puis en centimètres carrés.

Bon courage,
Sylvain

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