Exercice N°582 :

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Exercice N°582 :

Un protocole de traitement d’une maladie, chez l’enfant, comporte une perfusion longue durée d’un médicament adapté. La concentration dans le sang du médicament au cours du temps est modélisée par la fonction C définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par :

C(t) = (d/a)(1 – e-(a/80)t)


– C désigne la concentration du médicament dans le sang, exprimée en micromole par litre,
– t le temps écoulé depuis le début de la perfusion, exprimé en heure,
– d le débit de la perfusion, exprimé en micromole par heure,
– a un ^paramètre réel strictement positif, appelé clairance, exprimé en litre par heure.

Le paramètre a est spécifique à chaque patient.
En médecine, on appelle « plateau » la limite en +∞ de la fonction C.

Partie A : Étude d’un cas particulier

La clairance a d’un certain patient vaut 7, et on choisit un débit d égal à 84.
Dans cette partie, la fonction C est donc définie sur [0 ; +∞[ par :

C(t) = 12(1 – e-(7/80)t).

1) Étudier le sens de variation de la fonction C sur [0 ; +∞[.

2) Pour être efficace, le plateau doit être égal à 15. Le traitement de ce patient est-il efficace ?

Partie B : Étude de fonctions

Soit f la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par :

f(x) = (105/x)(1 – e-(3/40)x).

3) Démontrer que, pour tout réel x de ]0 ; +∞[,

f ‘(x) = 105g(x)/x2,

où g est la fonction définie sur ][0 ; +∞[ par :

g(x) = (3x/40)(e-(3/40)x) + e-(3/40)x – 1.

4) Déterminer la limite de g en +∞.

On donne le tableau de variation de la fonction g :

tableau variation fonction

5) En déduire le sens de variation de la fonction f (pas besoin des limites).

6) Montrer que l’équation f(x) = 5.9 admet une unique solution sur l’intervalle [1 ; 80].
En déduire que cette équation admet une unique solution sur l’intervalle
]0 ; +∞[. Donner une valeur approchée de cette solution au dixième près.

Partie C : Détermination d’un traitement adéquat

Le but de cette partie est de déterminer, pour un patient donné, la valeur du débit de la perfusion qui permette au traitement d’être efficace, c’est-à-dire au plateau d’être égal à 15.
Au préalable, il faut pouvoir déterminer la clairance a de ce patient. A cette fin, on règle provisoirement le débit d à 105, avant de calculer le débit qui rende le traitement efficace.
On rappelle que la fonction C définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par :

C(t) = (d/a)(1 – e-(a/80)t).

On cherche à déterminer la clairance a d’un patient. Le débit est provisoirement réglé à 105.

7) Exprimer, en fonction de a, la concentration du médicament 6 heures après le début de la perfusion.

Au bout de 6 heures, des analyses permettent de connaître la concentration du médicament dans le sang ; elle est égale à 5.9 micromole par litre.

8) Déterminer une valeur approchée, au dixième de litre par heure, de la clairance de ce patient.

9) Déterminer la valeur du débit d de la perfusion garantissant l’efficacité du traitement.

Bon courage,
Sylvain

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Exercice précédent : Limites – Valeur absolue, racine, puissance, cos, sin – Terminale S

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Exercice N°575 :

Pour chaque inégalité, écrire à l’aide d’intervalles les ensembles de réels x vérifiant les inégalités suivantes.

1) L’inégalité est :
x < -2
donc l’intervalle I = ?

2) L’inégalité est :
1 < x ≤ 3
donc l’intervalle I = ?

3) L’inégalité est :
x ≥ -2
donc l’intervalle I = ?

4) L’inégalité est :
-6 < x ≤ -2 ou x ≥ 2
donc l’intervalle I = ?

5) L’inégalité est :
-3 ≤ x ≤ 5 ou x > 4
donc l’intervalle I = ?

6) L’inégalité est :
-3 < x ≤ 5 et x < 1
donc l’intervalle I = ?

Bon courage,
Sylvain

Exercice précédent : Intervalles – Inégalités, ordre, crochets, nombres réels – Seconde

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Exercice N°574 :

Pour chaque inégalité, écrire à l’aide d’intervalles les ensembles de réels x vérifiant les inégalités suivantes.

1) L’inégalité est :
1 < x ≤ 3
donc l’intervalle I = ?

2) L’inégalité est :
x < 8
donc l’intervalle I = ?

3) L’inégalité est :
x ≥ -6
donc l’intervalle I = ?

4) L’inégalité est :
-1 ≤ x ≤ 7 ou x > 4
donc l’intervalle I = ?

5) L’inégalité est :
-6 < x ≤ -2 ou x ≥ 2
donc l’intervalle I = ?

6) L’inégalité est :
-3 < x ≤ 7 et x < 0
donc l’intervalle I = ?

Bon courage,
Sylvain

Exercice précédent : Inverse – Variation, comparaison, encadrement, équation – Seconde

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Corrigé N°306 :

Exercice : Convexité – Fonction, courbe, dérivée, inflexion – Terminale ES

1) f ‘(x) = 0 par lecture graphique et variation de f :

Rédaction :

La courbe représentée est celle de f ‘ (et non celle de f, attention !).
Pour savoir quand f ‘(x) = 0, il faut regarder quand la courbe de f ‘ coupe l’axe des abscisses.
On voit que la courbe coupe l’axe des abscisses quand x = -2.
Quand x < -2, la courbe de f ' est en dessous de l'axe des abscisse donc f '(x) < 0. Quand x > -2, la courbe de f ‘ est en dessous de l’axe des abscisse donc f ‘(x) > 0.

Pour obtenir les variations de f, faisons donc le tableau de signe de f ‘(x) avec ces informations.

signe fonction dérivée  variation

2) Variations de f ‘ et signe de f ‘ ‘(x) :

Rédaction :

Pour avoir les variations de f ‘ avec le graphique, on regarde quand sa courbe monte (soit f ‘ croissante) et quand sa courbe descend (soit f ‘ décroissante).
On peut voir que f ‘ est croissante jusqu’à x = -1 et que f ‘ est décroissante ensuite. Soit le tableau de variation suivant :

variation dérivé signe dérivée seconde

Le signe de f ‘ ‘(x) dépend directement de la variation de f ‘ comme indiqué dans le tableau ci-dessus.

3) f convexe et concave :

Rédaction :

Pour déterminer la convexité de f, on doit déterminer le signe de f ‘ ‘(x) (que l’on a déjà ici) et faire une ligne en dessous avec les mots concaves / convexe / point d’inflexion.

signe dérivée seconde convexité fonction

4) f ‘ ‘(0) :

Rédaction :

La seule donnée que l’on a dans l’énoncé, c’est la courbe de f ‘. Or, les f ‘ ‘(x) sont les nombres dérivées de la fonction f ‘ : ce sont donc les coefficients directeurs des tangentes à la courbe de f ‘.

Pour calculer f ‘ ‘(0), il faut donc tracer la tangente à la courbe de f’ au point d’abscisse 0 (c’est T).
Prenons deux points de T pour calculer le coefficient directeur qui est f ‘ ‘(0).

Par exemple A(0 ; 1) et B(2 ; 0).

On utilise la formule du coefficient directeur :

f ‘ ‘(0) = m = (0 – 1)/(2 – 0)
= –1/2

5) Courbes qui représente f et f ‘ ‘.

Rédaction :

Pour la courbe de f, d’après les tableaux, on sait que la fonction est décroissante jusqu’à -2 puis croissante. De plus, il y a un point d’inflexion en -1. C’est clairement la courbe C1 qui convient car on voit que la pente diminue (les tangentes sont au-dessus) à partir de l’abscisse -1.

Pour la courbe de f’, d’après les tableaux, on sait que
f ‘ ‘(0) = –1/2 et que f ‘ ‘(x) est positif avant -1 puis négatif après -1. C’est clairement C3 qui convient, elle coupe même l’axe des ordonnées en -0.5.

6) Point d’inflexion de Cf et équation de la tangente :

Rédaction :

On a vu dans le tableau de la convexité de f que le point d’inflexion est atteint en x = -1. Le seul moyen de connaître f(-1) ici est la courbe C1.
Donc f(-1) = 0 car la courbe coupe l’axe des abscisses en x = -1.

L’équation d’une tangente au point d’abscisse a est :

equation tangente courbe fonction point abscisse a

Ici a = -1.

Donc y = f'(-1) × (x – (-1)) + f(-1)
y = 1.35 × (x + 1) + 0
y = 1.35x + 1.35.

1.35 est une valeur approchée avec la précision permise par le graphique de la courbe de f ‘. C’est l’image de -1 par f ‘.

Bonne compréhension,
Sylvain

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Corrigé précédent : Corrigé N°083 – Vecteurs, géométrie 2D, parallélogramme – Seconde

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Exercice N°573 :

1) Dresser le tableau de variations de la fonction inverse.

2) A l’aide de la question précédente, compléter :

Si 2 ≤ x ≤ 5 alors
…. ≤ 1/x ≤ ….

Si -1 ≤ x ≤ 3
alors …. ≤ 1/x ≤ ….

Si -4 ≤ x ≤ 1
alors …. ≤ 1/x ≤ ….

Si 4 ≤ x ≤ 8
alors …. ≤ 1/x ≤ ….

3) Résoudre 1/x ≥ 2.

4) Si x ∈ [4 ; +∞[, à quel intervalle appartient 1/x ?

5) Soit x ≥ 0, comparer soigneusement
1/(x + 5)
et
1/(x + 7).

On veut dans ces deux questions 6 et 7, résoudre l’équation
1/x = x – 1.
6) En utilisant la représentation graphique de la fonction inverse, faire une conjecture sur les solutions de cette équation.

7) Prouver cette conjecture (piste : on pourra utiliser les variations d’une fonction polynôme du second degré).

Bon courage,
Sylvain

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Exercice précédent : Inverse – Domaine, variation, encadrement, comparaison – Seconde

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