Corrigé N°306 :

Exercice : Convexité – Fonction, courbe, dérivée, inflexion – Terminale ES

1) f ‘(x) = 0 par lecture graphique et variation de f :

Rédaction :

La courbe représentée est celle de f ‘ (et non celle de f, attention !).
Pour savoir quand f ‘(x) = 0, il faut regarder quand la courbe de f ‘ coupe l’axe des abscisses.
On voit que la courbe coupe l’axe des abscisses quand x = -2.
Quand x < -2, la courbe de f ' est en dessous de l'axe des abscisse donc f '(x) < 0. Quand x > -2, la courbe de f ‘ est en dessous de l’axe des abscisse donc f ‘(x) > 0.

Pour obtenir les variations de f, faisons donc le tableau de signe de f ‘(x) avec ces informations.

signe fonction dérivée  variation

2) Variations de f ‘ et signe de f ‘ ‘(x) :

Rédaction :

Pour avoir les variations de f ‘ avec le graphique, on regarde quand sa courbe monte (soit f ‘ croissante) et quand sa courbe descend (soit f ‘ décroissante).
On peut voir que f ‘ est croissante jusqu’à x = -1 et que f ‘ est décroissante ensuite. Soit le tableau de variation suivant :

variation dérivé signe dérivée seconde

Le signe de f ‘ ‘(x) dépend directement de la variation de f ‘ comme indiqué dans le tableau ci-dessus.

3) f convexe et concave :

Rédaction :

Pour déterminer la convexité de f, on doit déterminer le signe de f ‘ ‘(x) (que l’on a déjà ici) et faire une ligne en dessous avec les mots concaves / convexe / point d’inflexion.

signe dérivée seconde convexité fonction

4) f ‘ ‘(0) :

Rédaction :

La seule donnée que l’on a dans l’énoncé, c’est la courbe de f ‘. Or, les f ‘ ‘(x) sont les nombres dérivées de la fonction f ‘ : ce sont donc les coefficients directeurs des tangentes à la courbe de f ‘.

Pour calculer f ‘ ‘(0), il faut donc tracer la tangente à la courbe de f’ au point d’abscisse 0 (c’est T).
Prenons deux points de T pour calculer le coefficient directeur qui est f ‘ ‘(0).

Par exemple A(0 ; 1) et B(2 ; 0).

On utilise la formule du coefficient directeur :

f ‘ ‘(0) = m = (0 – 1)/(2 – 0)
= –1/2

5) Courbes qui représente f et f ‘ ‘.

Rédaction :

Pour la courbe de f, d’après les tableaux, on sait que la fonction est décroissante jusqu’à -2 puis croissante. De plus, il y a un point d’inflexion en -1. C’est clairement la courbe C1 qui convient car on voit que la pente diminue (les tangentes sont au-dessus) à partir de l’abscisse -1.

Pour la courbe de f’, d’après les tableaux, on sait que
f ‘ ‘(0) = –1/2 et que f ‘ ‘(x) est positif avant -1 puis négatif après -1. C’est clairement C3 qui convient, elle coupe même l’axe des ordonnées en -0.5.

6) Point d’inflexion de Cf et équation de la tangente :

Rédaction :

On a vu dans le tableau de la convexité de f que le point d’inflexion est atteint en x = -1. Le seul moyen de connaître f(-1) ici est la courbe C1.
Donc f(-1) = 0 car la courbe coupe l’axe des abscisses en x = -1.

L’équation d’une tangente au point d’abscisse a est :

equation tangente courbe fonction point abscisse a

Ici a = -1.

Donc y = f'(-1) × (x – (-1)) + f(-1)
y = 1.35 × (x + 1) + 0
y = 1.35x + 1.35.

1.35 est une valeur approchée avec la précision permise par le graphique de la courbe de f ‘. C’est l’image de -1 par f ‘.

Bonne compréhension,
Sylvain

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Exercice N°573 :

1) Dresser le tableau de variations de la fonction inverse.

2) A l’aide de la question précédente, compléter :

Si 2 ≤ x ≤ 5 alors
…. ≤ 1/x ≤ ….

Si -1 ≤ x ≤ 3
alors …. ≤ 1/x ≤ ….

Si -4 ≤ x ≤ 1
alors …. ≤ 1/x ≤ ….

Si 4 ≤ x ≤ 8
alors …. ≤ 1/x ≤ ….

3) Résoudre 1/x ≥ 2.

4) Si x ∈ [4 ; +∞[, à quel intervalle appartient 1/x ?

5) Soit x ≥ 0, comparer soigneusement
1/(x + 5)
et
1/(x + 7).

On veut dans ces deux questions 6 et 7, résoudre l’équation
1/x = x – 1.
6) En utilisant la représentation graphique de la fonction inverse, faire une conjecture sur les solutions de cette équation.

7) Prouver cette conjecture (piste : on pourra utiliser les variations d’une fonction polynôme du second degré).

Bon courage,
Sylvain

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Exercice précédent : Inverse – Domaine, variation, encadrement, comparaison – Seconde

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Exercice N°572 :

1) Donner l’ensemble de définition de la fonction inverse Di.

2) Dresser le tableau de variations de la fonction inverse sur Di.

3) A l’aide de la question précédente, compléter :

Si 1 ≤ x ≤ 3 alors
…. ≤ 1/x ≤ ….

Si 2 ≤ x ≤ 9
alors …. ≤ 1/x ≤ ….

Si -3 ≤ x ≤ -1
alors …. ≤ 1/x ≤ ….

Si -1 ≤ x ≤ 4
alors …. ≤ 1/x ≤ ….

4) Comparer soigneusement
1/(√2 – 2)
et
1/(√2 – 3).

5) Résoudre 1/x < 1/5.

6) Si x ∈ [−10 ; −1], à quel intervalle appartient 1/x ?

Bon courage,
Sylvain

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Exercice précédents : Inverse – Représentation graphique, inéquations, encadrement – Seconde

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Exercice N°571 :

1) Quel est l’ensemble de définition de la fonction inverse ?

2) Dans un repère, tracer la courbe représentative de la fonction inverse sur
[−3 ; 3].

345) En vous aidant du graphique précédent, résoudre les inéquations suivantes. Vous justifierez votre réponse.

3) 1/x ≥ −4/9

4) 1/x ≥ 1

5) 1/x < 3/4

On pose f(x) = -2/(3 − x)
avec x ∈ [−4 ; −1].
6) Déterminer un encadrement de f(x).

Bon courage,
Sylvain

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Exercice précédent : Inverse – Fonction, inéquation, courbe, comparaison – Seconde

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Exercice N°570 :

12) En utilisant les variations de la fonction inverse, comparer les nombres suivants sans calculatrice. Justifier soigneusement le raisonnement.

1) 1/(√5 + 2)
et
1/(√5 – 3)

2) 1/(x2 + 2)
et
1/(x2 + 1)

345) En s’aidant de la courbe de la fonction inverse, résoudre les inéquations suivantes.

3) 1/x3/4

4) 1/x ≤ -3

5) 1/x > -2

Bon courage,
Sylvain

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Exercice précédent : Suites – Comparaison, arithmétique, géométrique – Première ES

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