Corrigé N°083 :

Exercice : Vecteurs et Géométrie 2D – Parallélogramme, points alignés – Seconde

A(-1 ; 4), B(-2 ; -4), D(2 ; -2) et E(5 ; 2).
1) C tel que ABCD parallélogramme :

Rédaction :

On veut ABCD parallélogramme.
Or :

vecteurs égaux parallélogramme

Donc on veut ->AB = ->DC

Comme on a les coordonnées des points A et B, on peut déjà calculer les coordonnées du vecteur ->AB avec la formule :

formule coordonnées vecteur

On peut mettre les parenthèses en ligne horizontale :
->AB(xB – xA ; yB – yA)
soit ->AB(-2 – (-1) ; -4 – 4)
soit ->AB(-2 + 1 ; -8)
soit ->AB(-1 ; -8)

De même pour ->DC :
->DC(xC – xD ; yC – yD)
soit ->DC(xC – 2 ; yC – (-2))
soit ->DC(xC – 2 ; yC + 2)

Comme les vecteurs sont égaux, leurs coordonnées sont égales. On a donc :

Pour les abscisses x :
-1 = xC – 2
⇔ xC – 2 = -1
⇔ xC = -1 + 2
⇔ xC = 1

Pour les ordonnées y :
-8 = yC + 2
⇔ yC + 2 = -8
⇔ yC = -8 – 2
⇔ yC = -10

Le point C a donc pour coordonnées (1 ; -10).
En recalculant les coordonnées du vecteur ->CD, on vérifie qu’elles valent bien
(-1 ; -8) et qu’elles sont égalent à celles de ->AB.

2) Centre I de ABCD :

Rédaction :
Comme I est le centre du parallélogramme ABCD, c’est le milieu des deux diagonales. En calculant les coordonnées du milieu de l’une ou l’autre des diagonales, on détermine le point I.

La formule du milieu d’un segment [AB] est :
géométrie formule milieu segment

Attention! Sur ton parallélogramme, les diagonales sont [AC] et [BD].
Calculons les coordonnées de I milieu de [BD] :

xI = (xB + xD)/2
= (-2 + 2)/2
= 0/2
= 0

yI = (yB + yD)/2
= (-4 – 2)/2
= -6/2
= -3

Les coordonnées du milieu I sont donc (0 ; -3). C’est le centre du parallélogramme.

3) J tel que ->JA = 3->JE :

Rédaction :

Pour déterminer les coordonnées du point J, il faut utiliser les coordonnées de vecteurs.

D’une part :
->JA(xA – xJ ; yA – yJ)
soit ->JA(-1 – xJ ; 4 – yJ)

D’autre part :
3->JE( 3×(xE – xJ) ; 3×(yE – yJ))
soit 3->JE(3×(5 – xJ) ; 3×(2 – yJ))
soit 3->JE(15 – 3xJ ; 6 – 3yJ)

Comme les deux membres de l’égalité sont égaux, les coordonnées en x et y sont égales.

Pour les x :
-1 – xJ = 15 – 3xJ
⇔ -1 + 2xJ = 15
⇔ -1 + 2xJ + 1 = 15 + 1
⇔ 2xJ = 16
⇔ xJ = 16/2 = 8

Pour les y :
4 – yJ = 6 – 3yJ
⇔ 4 + 2yJ = 6
⇔ 4 + 2yJ – 4 = 6 – 4
⇔ 2yJ = 2
⇔ yJ = 2/2 = 1

Les coordonnées de J sont donc (8 ; 1).

4) B, D et J alignés :

Rédaction :

B, D et J sont alignés si et seulement si les deux vecteurs ->BD et ->BJ sont colinéaires. (ou deux autres avec ces trois points)

Calculons ->BD :
->BD(xD – xB ; yD – yB)
soit ->BD(2 – (-2) ; -2 – (-4))
soit ->BD(2 + 2 ; -2 + 4)
soit ->BD(4 ; 2)
On a donc : x = 4 et y = 2.

Calculons ->BJ :
->BJ(xJ – xB ; yJ – yB)
soit ->BJ(8 – (-2) ; 1 – (-4))
soit ->BJ(8 + 2 ; 1 + 4)
soit ->BJ(10 ; 5)
On a donc : x’ = 10 et y’ = 5.

« Deux vecteurs de coordonnées (x ; y) et (x’ ; y’) sont colinéaires
si et seulement si
x’ × y – x × y’ = 0. »

Calculons x’ × y – x × y’
= 10 × 2 – 4 × 5
= 20 – 20
= 0.
Le résultat vaut 0, donc les vecteurs ->BD et ->BJ sont égaux
donc les points B, D et J sont alignés.

5) AB, AD et BD :

Rédaction :

On cherche à calculer des distances. Il y a une formule pour ça, la voici :

formule distance géométrie

AB = √[(xB – xA)2 + (xB – xA)2]
= √[(-2 – (-1))2 + (-4 – 4)2]
= √[(-2 + 1)2 + (-8)2]
= √[(-1)2 + (-8)2]
= √[1 + 64]
= √65

AD = √[(xD – xA)2 + (xD – xA)2]
= √[(2 – (-1))2 + (-2 – 4)2]
= √[(2 + 1)2 + (-6)2]
= √[(3)2 + (-6)2]
= √[9 + 36]
= √45

BD = √[(xD – xB)2 + (xD – xB)2]
= √[(2 – (-2))2 + (-2 – (-4))2]
= √[(2 + 2)2 + (-2 + 4)2]
= √[(4)2 + (2)2]
= √[16 + 4]
= √20

6) Nature du triangle ABD :

Rédaction :

On sait que AB = √65,
AD = √45
et BD = √20.

AB est le plus grand côté.
D’une part :
AB2 = (√65)2 = 65.
D’autre part :
AD2 + BD2
= (√45)2 + (√20)2
= 45 + 20
= 65.

On a bien AB2 = AD2 + BD2.

D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABD est rectangle en D avec [AB] comme hypoténuse.

7) Aire du parallélogramme ABCD :

Rédaction :

géométrie, vecteurs, milieux, triangles, parallèlogramme, triangle

Un parallélogramme est composé de deux triangles en surface. Ici le triangle ABD et le triangle BCD qui sont de même surface. On peut dire que l’aire de ABCD est le double de l’aire de ABD.
Or ABD est un triangle rectangle en D, la base et la hauteur sont donc les côtés qui bordent l’angle droit en D. On va dire que la base est AD et la hauteur BD. En effet, la base et la hauteur sont toujours perpendiculaires.

AireABD = (base × hauteur)/2
= (AD × BD)/2
= (√45 × √20)/2
= (√(9×5) × √(4×5))/2
= (√9 × √5 × √4 × √5)/2
= (3 × √5 × 2 × √5)/2
= (6 × √5 × √5)/2
= (6 × 5)/2
= (30)/2
= 15.

C’est l’aire des triangles, donc l’aire du parallélogramme ABCD est le double soit 30.

Bonne compréhension,
Sylvain

astuces exercices maths corrigé

Exercice précédent : Corrigé N°346 – Inéquations, factorisation, tableau de signe – Seconde

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Corrigé N°271 :

Exercice : Géométrie 3D – Pyramide, intersection, plan, parallèle – Seconde

->SI = 1/3->SA
->SJ = 1/3->SD

1) Intersection du plan (CIJ) et du plan de base :

Rédaction :

Je découpe le segment [SA] en trois et je place I à 1/3 du segment en partant de S vers A.
Je découpe le segment [SD] en trois et je place J à 1/3 du segment en partant de S vers D.

(AI) et (DJ) sont sécantes en S. A,I,S et D,J,S sont alignés dans le même ordre. Les rapports SI/SA et SJ/SD sont égaux (1/3).
D’après la réciproque du théorème de Thalès, (IJ) et (AD) sont parallèles.

géométrie espace points droite face

(ABCD) et (CIJ) sont deux plans sécants qui contiennent respectivement (AD) et (IJ) qui sont deux droites parallèles.

Voici le Théorème du toit : Si on a deux droites parallèles d1 et d2, un plan P1 contenant d1, un plan P2 contenant d2 et P1 et P2 sécants, alors l’intersection d des deux plans est une droite parallèle aux droites d1 et d2.

géométrie espace théorème toit

Donc l’intersection de (ABCD) et (CIJ) est une droite parallèle à (IJ) et (AD).

Or le point C appartient à la fois aux deux plans, il est donc sur la droite d’intersection qu’on peut tracer à partir de C en suivant une parallèle à (IJ) et (AD).

Cette droite est sur la base (ABCD), elle atteint le segment [AB].

pyramide tracer droite parallèle face

2) Section de la pyramide par le plan (CIJ) :

Pour tracer cette section, on relie les points qui sont à la fois sur (CIJ) et sur la pyramide : il s’agit de I, J et C. On a tracé le segment de la face du dessous grâce au théorème du toit dans le 1).
On obtient donc un second point de (CIJ) sur la face arrière (SAB) en plus du point I. On relie ces deux points pour obtenir la droite d’intersection de (CIJ) et (SAB).

tracer droite intersection plan

Autre pyramide SABCD telle que (AB) et (CD) se coupent en E.

géométrie espace pyramide intersection droites

3) Intersection des plans (SAB) et (SDC) :

Rédaction :

L’intersection de deux plans sécants est une droite.
Je vais trouver deux points qui sont à la fois sur les plans (SAB) et (SDC).

Le point S est cité deux fois, donc il appartient à l’intersection des deux plans (SAB) et (SDC).

Par construction, E est à la fois sur la droite (AB) et la droite (DC). Il appartient donc à la fois au plan (SAB) et au plan (SDC).

Comme S et E appartiennent à l’intersection des deux plans, alors la droite (SE) est l’intersection des deux plans (SAB) et (SDC).

géométrie dans l'espace, droite d'intersection

Un plan P parallèle à (ES) coupe (SA) en I, (SB) en J, (SC) en K, (SD) en L.
4) Montrer que (IJ) et (KL) sont parallèles :

Rédaction :

Là encore on utilise le théorème du toit dans une formulation un peu différente avec comme premier plan (SAB) et comme second plan P qui est parallèle à (ES).

Théorème du toit version 2 : Si une droite (d’) est parallèle à deux plans sécants P1 et P2 , alors elle est parallèle à leur droite d’intersection (d).

On sait que (ES) est parallèle à P d’après l’énoncé, et (ES) est parallèle à (SAB) car elle est incluse dedans. Donc (ES) est parallèle à la droite d’intersection de P et de (SAB) qui est la droite (IJ) car P coupe (SA) en I et (SB) en J.

De la même manière avec (SDC) et (ES), on prouve que (ES) est parallèle à (KL), K et L étant les points d’intersection de P et de (SDC).

Or deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles entre elles, donc (IJ) et (KL) sont parallèles.

Bonne compréhension,
Sylvain

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Corrigé précédent : Corrigé N°305 – Convexité, fonction, inflexion, tangente – Terminale ES

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Corrigé N°063 :

Exercice : Vecteurs et Droites – Points alignés, équation, variable – Première S

1) Mq C, I et J sont alignés :

Rédaction :

C, I et J sont alignés, si et seulement si, les vecteurs ->CI et ->IJ sont colinéaires. J’ai donc besoin des coordonnées de ces vecteurs, donc je dois calculer les coordonnées de C, I et J avant.

Cette figure est composé de trois carrés dont celui de gauche ABGH. Comme ->AB et ->AH ne sont pas colinéaires (côtés du carré), on peut introduire le repère (A ; ->AB ; ->AH).

Cela veut dire que le point A a pour coordonnées (0 ; 0), B(1 ; 0) et H(0 ; 1).
Du coup, on a C(2 ; 0), D(3 ; 0), E(3 ; 1), F(2 ; 1) et G(1 ; 1).

Calculons les coordonnées du point I :

I est le milieu de [AG].
Les coordonnées d’un milieu pour deux points A et B sont :

géométrie formule milieu segment

Du coup, je calcule ceci pour [AG].

xI = (xA + xG)/2
= (0 + 1)/2
= 1/2

yI = (yA + yG)/2
= (0 + 1)/2
= 1/2

Du coup, les coordonnées de I sont (1/2 ; 1/2).

Calculons les coordonnées du point J :

L’abscisse de J est 1 car J est sur [BG] et [BG] relie deux points d’abscisses 1.
L’ordonnée de J est la distance qui le sépare de B, c’est à dire BJ, car l’ordonnée de B est de 0 et car (BJ) est parallèle à la droite (AH) avec ->AH le vecteur « ordonnées » du repère.

Pour calculer (BJ), on utilise le théorème de Thalès dans le triangle ADE avec :
* (DE)//(BJ),
* (BD) et (JE) sécantes en A,
* A,B,D puis A,J,E alignés dans le même sens.

Du coup, le rapport BJ/DE est égale à AB/AD qui est de 1/3 car [AD] c’est trois fois le côté [AB]. Comme DE = 1, on a BJ = 1/3, qui donne l’oordonnée du point J 1/3.

Du coup, J(1 ; 1/2).

Calcul des coordonnées des vecteurs ->CI et ->IJ :

xCI
= xI – xC
= 1/2 – 2
= –3/2

yCI
= yI – yC
= 1/2 – 0
= 1/2

xIJ
= xJ – xI
= 1 – 1/2
= 1/2

yIJ
= yJ – yI
= 1/31/2
= 2/63/6
= –1/6

Les deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées x et x’, puis y et y’ sont proportionnelles.

On a donc le tableau :
3/2 | 1/2
1/2 | –1/6

Les produits en croix sont :
3/2 × –1/6
= +3/12
= 1/4
Et :
1/2 × 1/2
= 1/4

Donc les produits en croix sont égaux, x’y – xy’ = 0, les coordonnées sont proportionnelles, donc les vecteurs ->CI et ->IJ sont colinéaires et les points C, I et J sont alignés.

2) Mq Dm est une droite :

Rédaction :

Quelque soit le m, l’équation mx + (2m – 1)y + 4 = 0
est de la forme ax + by + c = 0 qui est l’équation cartésienne d’une droite.

Du coup, les Dm sont des droites.

3) m tels que Dm parallèle aux axes:

Rédaction :

Dm est parallèle à l’axe des abscisses si l’équation
est de la forme y = constante.
Ce qui équivaut à y – constante = 0 en mode « équation cartésienne ».
Pour cela, il faut que le coefficient devant x, le « a » soit égal à zéro.
Ce coefficient est « m ». Du coup D1 est parallèle à l’axe des abscisses pour m = 0.

D1 est parallèle à l’axe des ordonnées si l’équation
est de la forme x = constante.
Ce qui équivaut à x – constante = 0 en mode « équation cartésienne ».
Pour cela, il faut que le coefficient devant y, le « b » soit égal à zéro.
Ce coefficient est (2m – 1). Du coup Dm est parallèle à l’axe des abscisses pour 2m – 1 = 0 soit m = 1/2.

4) Équation des droites D0 et D1 et point d’intersection :

Rédaction :

L’équation est mx + (2m – 1)y + 4 = 0.

D0 : 0x + (2 × 0 – 1)y + 4 = 0
⇔ – 1y + 4 = 0
⇔ y = 4.

D1 : 1x + (2 × 1 – 1)y + 4 = 0
⇔ x + 1y + 4 = 0.

Le point d’intersection, que j’appelle I, est à la fois sur D0 et D1 donc les coordonnées de I respectent à la fois les deux équations, donc le système suivant :

{ y = 4
{ x + y + 4 = 0
(Les deux petites accolades sont en fait une seule grande accolade)


{ y = 4
{ x + 4 + 4 = 0


{ y = 4
{ x + 8 = 0


{ y = 4
{ x = -8

Les coordonnées du point d’intersection I sont (4 ; -8).

5) Mq que Dm passe par un point fixe :

Rédaction :

Si toutes les droites Dm passent par un point fixe, c’est le point fixe qu’on vient de trouver juste au dessus. C’est à dire I(4 ; -8).

Je dois donc prouver que ce point I appartient à toutes les droites Dm. Donc que ses coordonnées vérifient l’équation-égalité Dm quel que soit le m.

Du coup, quel que soit m,
Gauche = mx + (2m – 1)y + 4
= m × (-8) + (2m – 1) × 4 + 4
= -8m + 8m – 4 + 4
= 0m + 0
= 0 = Droite.

Donc l’équation des droites Dm est vérifiée par ce point. Donc toutes les droites appartiennent à un point fixe quel que soit m.

Bonne compréhension,
Sylvain

Corrigé précédent : Corrigé N°062 – Vecteurs, droites, équation cartésienne – Première S

Ecris le premier commentaire

Correction N°062 :

Exercice : Vecteurs et Droites – Équations cartésiennes droites – Première S

1) (d), A et ->v :

Rédaction :

Comme ->v est un vecteur, on peut le placer n’importe où sur le repère. Je prends un point de départ et je vais de 2 vers la droite (x = 2) et de 3 vers le bas (y = -3).

Pour tracer la droite, on choisit deux abscisses espacés et on calcule y.
Je choisis x = 6 et x = -6.

Pour x = 6 :
L’équation de droite est : 2x – 3y + 6 = 0
⇔ 2 × 6 – 3y + 6 = 0
⇔ 12 – 3y + 6 = 0
⇔ 18 – 3y = 0
⇔ 18 = 3y
⇔ 6 = y
Les coordonnées de B, premier point de la droite (d) sont (6 ; 6).

Pour x = -6 :
2x – 3y + 6 = 0
⇔ 2 × (-6) – 3y + 6 = 0
⇔ -12 – 3y + 6 = 0
⇔ -6 – 3y = 0
⇔ -6 = 3y
⇔ -2 = y
Les coordonnées de C, second point de la droite (d) sont (-6 ; -2).

Je place ces deux points sur le graphique. Et je trace l’unique droite qui passe par ces deux points. Pour vérifier, je remplace x par 0 pour voir qu’elle est l’ordonnée à l’origine.
∈ 2 × 0 – 3y + 6 = 0
∈ –3y + 6 = 0
∈ 6 = 3y
∈ 2 = y
C’est bon car on voit bien que la droite passe par l’ordonnée 2 sur l’axe des ordonnées. Il n’y a pas de contradiction.

droite cartésienne vecteur point

2) Vecteur ->u directeur de (d) :

Rédaction :

Les coordonnées d’un des vecteurs directeurs d’une droite sont :

droite vecteur directeur équation

Comme l’équation de droite est 2x – 3y + 6 = 0,
a = 2 et b = (-3).
Le vecteur directeur (le plus simple) est donc ->u(-b ; a) donc ->u(-(-3) ; 2). Du coup, le vecteur directeur de (d) ->u a pour coordonnées (3 ; 2).

3) ->w = 2->u – 1/2->v :

Rédaction :

Je place un point de départ sur la partie basse à droite. A partir de ce point, je fais deux fois le vecteur ->u puis la moitié de ->v à l’envers. J’obtiens un point d’arrivée. Du coup, j’ai le déplacement vecteur ->w.

vecteur coordonnées

4) Calculer ensuite les coordonnées de ->w.

Rédaction :

Cette question dépend du résultat trouvé à la question précédente.

Comme ->w = 2->u – 1/2->v,
l’abscisse x->w = 2x->u1/2x->v
= 2 × 3 – 1/2 × 2
= 6 – 1 = 5.
Et l’ordonnée y->w = 2y->u1/2y->v
= 2 × 2 – 1/2 × (-3)
= 4 + 1,5 = 5,5 = 11/2.

Donc ->w(5 ; 11/2).

5) Colinéarité :

Rédaction :

Là encore, cela dépend du vecteur directeur ->u trouvé au départ. Regardons si les coordonnées de ->v et de ->w sont proportionnelles.

x = 2 et y = -3.
x’ = 5 et y’ = 11/2.

On a donc le tableau :
2 | -3
5 | 11/2

Les produits en croix sont :
2 × 11/2 = 11
Et :
5 × -3 = -15
Donc les produits en croix sont différent, x’y – xy’ est différent de 0, les coordonnées ne sont pas proportionnelles, donc les vecteurs ->v et ->w ne sont pas colinéaires.

6) Équation de (d’) passant par A et de vecteur ->v :

Rédaction :

On veut une équation cartésienne donc du type ax + by + c = 0.
Comme ->v est un vecteur directeur. Ses coordonnées 2 et -3 sont -b et a. Du coup, -b = 2 (b = -2) et a = -3.

L’équation s’écrit donc -3x – 2y + c = 0.

Pour déterminer le nombre c, on remplace x et y par les coordonnées de A car ce point est sur la droite.
-3xA – 2yA + c = 0
⇔ -3xA – 2yA + c = 0
⇔ -3 × 1 – 2 × 7 + c = 0
⇔ -3 – 14 + c = 0
⇔ -17 + c = 0
⇔ c = 17.

Donc une équation cartésienne de droite est -3x – 2y + 17 = 0.

On sait que (d’) passe par A. Je choisis un autre abscisse x pour trouver un second point de la droite pour la tracer.
Je prends x = 6.

-3x – 2y + 17 = 0
⇔ -3 × 6 – 2y + 17 = 0
⇔ -18 – 2y + 17 = 0
⇔ -1 – 2y = 0
⇔ -1 = 2y
-1/2 = y

Le second point de la droite, E, a pour coordonnées (6 ; -1/2).

droite équation cartésienne

Si on remplace x par 0, on peut calculer que y = 8,5. Ce qui correspond à l’ordonnée à l’origine que l’on peut voir sur le dessin.

7) Intersection de (d) et (d’) :

Rédaction :

Pour déterminer les coordonnées x et y du point d’intersection de deux droites, on utilise les équations de ces deux droites. En effet, les coordonnées du point d’intersection respecte à la fois ces deux égalités. Cela fait donc un système à résoudre pour trouver le x et le y.

{ 2x – 3y + 6 = 0 pour (d)
{ -3x – 2y + 17 = 0 pour (d’)

Ces deux accolades sont en fait une seule grande accolade.
La première étape pour résoudre un système est d’obtenir le même nombre de x (ou de y) sur chaque ligne.
Ici j’ai 2x et -3x, donc je multiplie la première ligné par 3 et la second par -2 pour obtenir 6x et 6x.


{ 6x – 9y + 18 = 0
{ 6x + 4y – 34 = 0

Ensuite, j’isole les x à gauche et j’envoie le reste à droite du égal.


{ 6x = 9y – 18
{ 6x = -4y + 34

Comme 6x = 6x, cela veut dire que 9y – 18 = -4y + 34.


{ 9y – 18 = -4y + 34
{ 6x = 9y – 18
{ 6x = -4y + 34

Du coup, je résous cette équation.
9y – 18 = -4y + 34 équivaut à 13y = 52 et donc y = 4 (en divisant par 13).

Revenons au système :

{ y = 4
{ 6x = 9 × 4 – 18 = 18
{ 6x = -4 × 4 + 34 = 18


{ y = 4
{ x = 18/6 = 3.


Le point d’intersection I a pour coordonnées (4 ; 3).

8) Équation cartésienne de la droite (d ») :

Rédaction :

Lorsqu’on veut une droite parallèle, il suffit de garder le même « a » et le même « b ».
Comme (d) a pour équation 2x – 3y + 6 = 0, on peut aussi choisir 2 et -3 pour (d »).
Du coup, (d ») a pour équation 2x – 3y + c = 0.
Pour déterminer le c, on peut remplacer par un point de la droite, ici A(1 ; 7).

Donc 2 × 1 – 3 × 7 + c = 0.
⇔ 2 – 21 + c = 0.
⇔ -19 + c = 0
⇔ c = 19
L’équation de (d ») est donc 2x – 3y + 19 = 0.

Je trace la parallèle à (d) passant par A.

droite parallèle point

Bonne compréhension,
Sylvain

astuces exercices maths corrigé

Corrigé précédent : Corrigé N°064 – Vecteurs, droites, formules, géométrie – Première S

Ecris le premier commentaire

Corrigé N°064 :

Exercice : Vecteurs et Droites – Formules, vecteurs, géométrie – Première S

1) ->AG = 2/3->AB. Mq 1/3->GA + 2/3->GB = ->0 :

Rédaction :

On part de la gauche pour espérer tomber sur le vecteur nul.

1/3->GA + 2/3->GB
= 1/3(-->AG) + 2/3(->GA + ->AB)
= 1/3(-->AG) + 2/3(-->AG + ->AB)
= –1/3->AG – 2/3->AG + 2/3->AB
= –->AG + 2/3->AB
= –2/3->AB + 2/3->AB
= ->0.

2) -5->HA + 6->HB + 9->HC = ->0. Mq ->AH = 3/5->AB + 9/10->AC :

Rédaction :

-5->HA + 6->HB + 9->HC = ->0
⇔ -5->HA + 6(->HA + ->AB) + 9(->HA + ->AC) = ->0
⇔ -5->HA + 6->HA + 6->AB + 9->HA + 9->AC = ->0
⇔ 10->HA + 6->AB + 9->AC = ->0
⇔ -10->AH + 6->AB + 9->AC = ->0
⇔ 6->AB + 9->AC = 10->AH
⇔ 10->AH = 6->AB + 9->AC
->AH = 6/10->AB + 9/10->AC
->AH = 3/5->AB + 9/10->AC

3) ->KA + 3->KC = ->0. ->AK en fonction de ->AC :

Rédaction :

->KA + 3->KC = ->0
->KA + 3->KC = ->0
->KA + 3(->KA + ->AC) = ->0
->KA + 3->KA + 3->AC = ->0
⇔ 4->KA + 3->AC = ->0
⇔ -4->AK + 3->AC = ->0
⇔ 3->AC = 4->AK
3/4->AC = ->AK
->AK = 3/4->AC

4) ->LA + 2->LB + 3->LC = ->0. Mq ->AL = 1/3->AB + 1/2->AC :

Rédaction :

->LA + 2->LB + 3->LC = ->0
->LA + 2(->LA + ->AB) + 3(->LA + ->AC) = ->0
->LA + 2->LA + 2->AB + 3->LA + 3->AC = ->0
⇔ 6->LA + 2->AB + 3->AC = ->0
⇔ -6->AL + 2->AB + 3->AC = ->0
⇔ 2->AB + 3->AC = 6->AL
⇔ 6->AL = 2->AB + 3->AC
->AL = 2/6->AB + 3/6->AC
->AL = 1/3->AB + 1/2->AC

5) Mq L milieu de [GC] :

Rédaction :

vecteur formule milieu demi-vecteur

L’idée est d’exprimer les vecteurs ->GL (à gauche) et 1/2->GC (à droite) en fonction des vecteurs non colinéaires ->AB et ->AC.

D’une part, ->GL = ->GA + ->AL
= –->AG + ->AL
= –2/3->AB + 1/3->AB + 1/2->AC
= –1/3->AB + 1/2->AC

D’autre part, 1/2->GC
= 1/2(->GA + ->AC)
= 1/2->GA + 1/2->AC
= 1/2->GA + 1/2->AC
= 1/2(-->AG) + 1/2->AC
= 1/2(-->AG) + 1/2->AC
= 1/2(-2/3->AB) + 1/2->AC
= –1/3->AB + 1/2->AC

Les coefficients devant ->AB et ->AC sont les même donc on a bien ->GL = 1/2->GC.

Du coup, L est bien le milieu de [GC].

6) Mq L, A, H alignés :

Rédaction :

L, A et H sont alignés si et seulement si les vecteurs ->AL et ->AH sont colinéaires.
Ils sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées x et x’, puis y et y’ sont proportionnelles.

Comme ces vecteurs sont exprimés en fonction des vecteurs non colinéaires ->AB et ->AC, on peut utiliser le repère (A ; ->AB ; ->AC). Les coordonnées x et y, puis x’ et y’ sont les coefficients devant ces vecteurs.

D’une part, ->AL = 1/3->AB + 1/2->AC.

Donc x = 1/3 et y = 1/2.

D’autre part, ->AH = 3/5->AB + 9/10->AC.

Donc x’ = 3/5 et y’ = 9/10.

On a donc le tableau :
1/3 | 1/2
3/5 | 9/10

Les produits en croix sont :
1/3 × 9/10
= 9/30 = 3/10
Et :
3/5 × 1/2
= 3/10.

Donc les produits en croix sont égaux, x’y – xy’ = 0, les coordonnées sont proportionnelles, donc les vecteurs ->AL et ->AH sont colinéaires et les points A, L et H sont alignés.

7) Mq L ∈ (KB) :

Rédaction :

L ∈ (KB)
si et seulement si, L, K et B sont alignés.

La lettre K se trouve dans la formule ->AK = 3/4->AC donc insérons un A dans ->BK avec la relation de Chasles.
Comme on a aussi ->AL, insérons un A dans ->BL.

L, K et B sont alignés si et seulement si ->BK et ->BL sont colinéaires. Regardons si leurs coordonnées dans le repère (A ; ->AB ; ->AC) sont proportionnelles.

D’une part, ->BK = ->BA + ->AK
= -1->AB + 3/4->AC.
Les coordonnées x et y sont -1 et 3/4.

D’autre part, ->BL = ->BA + ->AL
= -1->AB + 1/3->AB + 1/2->AC
= –2/3->AB + 1/2->AC.
Les coordonnées x’ et y’ sont –2/3 et 1/2.

Le tableau est :
-1 ; 3/4
2/3 ; 1/2

Les produits en croix sont :
-1 × 1/2
= –1/2
Et :
3/4 × –2/3
= –1/2.

Donc les produits en croix sont égaux, x’y – xy’ = 0, les coordonnées sont proportionnelles, donc les vecteurs ->BK et ->BL sont colinéaires et les points B, K et L sont alignés. Du coup, L appartient à (KB).

8) Que peut-on dire des droites (GC), (HA) et (KB) :

L appartient à (GC), à (HA) et à (KB) donc les trois droites se coupent en un même point L. Elles sont concourantes.

Bonne compréhension,
Sylvain

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