Exercice N°569 :

Pierre et Élodie débutent dans une entreprise au 1er janvier.

Le salaire mensuel de Pierre est de 1500€, et il est prévu dans son contrat une augmentation mensuelle de 7€ à partir du 2ème mois.

Le salaire mensuel de Élodie est de 1200€, et il est prévu dans son contrat une augmentation mensuelle de 5% à partir du 2ème mois.

On note :

a0 le salaire d’embauche de Pierre et an son salaire au bout du n-ième mois pour n supérieur ou égal à zéro.

b0 le salaire d’embauche de Élodie et bn son salaire au bout du n-ième mois pour n supérieur ou égal à zéro.

1) Exprimer an+1 en fonction de an.

2) En déduire la nature de la suite (an).

3) Déterminer l’expression de an en fonction de n.

4) Exprimer bn+1 en fonction de bn.

5) En déduire la nature de la suite (bn).

6) Déterminer l’expression de bn en fonction de n.

7) Calculer a3 et b3.

8) Donner a10 et b10.

9) En utilisant la calculatrice, déterminer à partir de quel mois Élodie sera mieux payée que Pierre.
Expliquer la démarche.

Bon courage,
Sylvain

astuces exercices maths

Exercice précédent : Dérivation – Nombre dérivé, fonctions, tangentes – Première S

2 commentaires

Corrigé N°316 :

Exercice : Fonctions – Rationnelle, affine, graphique, antécédent – Première ES

f(q) = 0.5q

g(q) = (78 – 6q)/(q + 8)

1) Déterminer si demande excédentaire si prix d’1 euro ?

Rédaction :

Pour un prix de 1 euros (en ordonnée), si on trace la droite horizontale de hauteur 1 (d’équation y = 1), la courbe de demande indique une abscisse de 10 millions car le point d’intersection a pour coordonnées (10 ; 1).

Pour un prix de 1 euros (en ordonnée), si on trace la droite horizontale de hauteur 1 (d’équation y = 1), la courbe d’offre indique une abscisse de 2 millions car le point d’intersection a pour coordonnées (2 ; 1).

La demande étant de 10 millions contre une offre de 2 millions, elle est excédentaire.

2) Quantité d’articles offerte pour 4.50 euros :

Rédaction :

Le prix est de 4.5 euros, donc l’image est de 4.5 euros. Je vais donc déterminer l’antécédent q tel que f(q) = 4.5.
Soit 0.5q = 4.5
0.5q/0.5 = 4.5/0.5
⇔ q = 9

Pour un prix de 4.5, la quantité offerte est de 9 millions.

3) Quantité d’articles demandée pour 4.50 euros :

Rédaction :

Le prix est de 4.5 euros, donc l’image est de 4.5 euros. Je vais donc déterminer l’antécédent q tel que g(q) = 4.5.
Soit (78 – 6q)/(q + 8) = 4.5,
⇔ 78 – 6q = 4.5 × (q + 8)
(en multipliant, par (q + 8) positif de chaque côté),
⇔ 78 – 6q – (4.5 × (q + 8)) = 0,
Dans ce cas,
⇔ 78 – 6q – (4.5q + 4,5 × 8) = 0,
⇔ 78 – 6q – 4.5q – 4,5 × 8 = 0,
⇔ 78 – 10.5q – 36 = 0
⇔ 42 – 10.5q = 0
⇔ q = 42/10.5 = 4.

Si on traces y = 4.5 et on regarde l’intersection avec Cg, on trouve bien un antécédent q qui vaut 4.

Pour un prix de 4.5, la quantité demandée est de 4 millions.

4) Problème :

Rédaction :

Pour un prix de 4.5 euros, il y a trop d’offre par rapport à la demande.

5) Prix d’équilibre et quantité associée :

Rédaction :

Pour avoir le prix d’équilibre, il faut que l’offre soit égale à la demande soit :
f(q) = g(q)
⇔ 0.5q = (78 – 6q)/(q + 8)
⇔ 0.5q × (q + 8) = 78 – 6q
(en multipliant, par (q + 8) positif de chaque côté),
⇔ 0.5q × q + 0.5q × 8 – 78 + 6q = 0
⇔ 0.5q2 + 10q – 78 = 0
⇔ q2 + 20q – 156 = 0
(en multipliant, par 2 de chaque côté pour enlever le 0.5)

C’est un polynôme du second degré.
Δ = b2 – 4ac
= 202 – 4 × 1 × (-156)
= 400 + 624
= 1024 > 0 soit deux racines :

x1 = (-b – √Δ)/(2a)
= (-20 – √1024)/(2 × 1)
= (-20 – 32)/2
= -52/2
= -26

x2 = (-b + √Δ)/(2a)
= (-20 + √1024)/(2 × 1)
= (-20 + 32)/2
= 12/2
= 6

Comme les quantités vont de 1 à 12, on retient ici q = 6 millions pour quantité d’équilibre.
Le prix d’équilibre est donc g(q) = f(q) = 0.5 × 6 = 3 euros.

Bonne compréhension,
Sylvain

astuces exercices maths corrigé

Corrigé précédent : Corrigé N°301 – Statistiques, moyenne, quartiles, échantillon – Seconde

Ecris le premier commentaire

Corrigé N°286 :

Exercice : Dérivation – Fonction, courbe, rationnelle, variation – Première ES

1) f(1) et de f'(1) :

Rédaction :

a est l’abscisse du point, sa « largeur ».
Donc je prends 1 sur l’axe des abscisses.

f(a) est l’image, soit l’ordonnée du point, sa « hauteur ».
La courbe est en bas, donc je descends verticalement vers la courbe et je note l’ordonnée du point : c’est -4.
Donc f(1) = -4.

f ‘(a) est la pente de la tangente de la courbe. On détermine la droite-tangente que l’on pose sur la courbe et on regarde le coefficient directeur.

Je prends le même point d’abscisse et je vois que la tangente est horizontale car on a un replat (un minimum ici) de la courbe. Donc le coefficient directeur vaut 0 car la tangente à Cf est parallèle à l’axe des abscisses (horizontale).
Donc f'(1) = 0.

2) Représentation graphique de la fonction f’ :

Rédaction :

Quand la pente est positive, c’est-à-dire quand f'(x) > 0, f est strictement croissante (et vice-versa).
Quand la pente est négative, c’est-à-dire quand f'(x) < 0, f est strictement croissante (et vice-versa). Quand f'(x) = 0, on a un replat de Cf.

Grâce au graphique, on peut faire le tableau de variation de f, puis en déduire le signe de f'(x).

tableau variation fonction signe dérivée

Comme f ‘(x) est positive et devient négative après l’abscisse x = 1, seule la courbe C2 convient.

f(x) = (x2 – 6x – 7)/(x + 2)

3) Calcul de f'(x) :

Rédaction :

f(x) = u(x)/v(x)
avec u(x) = x2 – 6x – 7
donc u'(x) = 2x – 6 – 0
avec v(x) = x + 2
donc v'(x) = 1 + 0

La formule de la dérivée d’un quotient est :

formule dérivée quotient

Donc Numérateur = (2x – 6) × (x + 2) – [ (x2 – 6x – 7) × 1 ]
= 2x2 + 4x – 6x – 12 – x2 + 6x + 7
= x2 + 4x – 5

Donc f ‘(x) = (x2 + 4x – 5)/(x + 2)2

4) Variations de f :

Rédaction :

Pour étudier les variations de f, on détermine le signe de f'(x) dans un tableau de signe. Je mets ici une ligne pour le numérateur et une ligne pour le dénominateur.

Pour le signe de x2 + 4x – 5,
on fait Δ = b2 – 4ac
= 42 – 4 × 1 × (-5)
= 16 + 20 = 36 > 0 soit deux racines :

x1 = (-b – √Δ)/(2a)
= (-4 – √36)/(2 × 1)
= (-4 – 6)/2
= -10/2
= -5

x2 = (-b + √Δ)/(2a)
= (-4 + √36)/(2 × 1)
= (-4 + 6)/2
= 2/2
= 1

Un polynôme du second degré est du signe de a à l’extérieur des racines.
Comme a = 1 > 0, il est positif avant -5 et après 1. Il est négatif entre -5 et 1. Puis nul en -5 et 1.

Pour le (x + 2)2, un carré est toujours positif ou nul. Ici, il est nul en -2. Comme la fonction n’est pas définie en -2, il sera ici toujours strictement positif : on met un + dans la ligne.

Cela donne le tableau suivant :

fonction tableau signe dérivée variation

Petit rappel pour la variation de f :
Quand la pente est positive, c’est-à-dire quand f'(x) > 0, f est strictement croissante. Quand la pente est négative, c’est-à-dire quand f'(x) < 0, f est strictement croissante.

Bonne compréhension,
Sylvain

astuces exercices maths corrigé

Corrigé précédent : Dérivation – Fonction, courbe, rationnelle, variation – Première ES

Ecris le premier commentaire

Corrigé N°256 :

Exercice : Second degré – Fonction, parabole, delta, maximum – Première ES

f du second degré, le maximum de la fonction f soit égal à 0.
*) Propositions suivantes exactes ou fausses :

1) a > 0 et Δ < 0 :

a > 0 signifie que l’ambiance « a » ou l’atmosphère « a » est positive. Du coup, tout le monde sourit et la parabole aussi. Elle est donc ouverte vers le haut et la fonction admet un minimum. Elle ne peut donc pas avoir un maximum.

Faux.

2) a < 0 et Δ = 0 :

a < 0 signifie que l’ambiance « a » ou l’atmosphère « a » est négative. Du coup, personne ne sourit et la parabole ne sourit pas. Elle est donc ouverte vers le bas et la fonction admet un maximum.
C’est cohérent.

Quand Δ = 0, cela signifie qu’il n’y a qu’un seul point de contact entre la parabole et l’axe de abscisses : c’est le minimum ou le maximum qui vaut 0. Comme la fonction admet un maximum en 0, c’est cohérent.

Exact.

3) a < 0 et Δ < 0 :

a < 0 signifie que l’ambiance « a » ou l’atmosphère « a » est négative. Du coup, personne ne sourit et la parabole ne sourit pas. Elle est donc ouverte vers le bas et la fonction admet un maximum.

Quand Δ < 0, la parabole ne touche jamais l’axe des abscisses, dont le maximum ne peut pas être égal à zéro car cela signifierait que la parabole touche l’axe des abscisse en son maximum.

Faux.

4) La courbe représentative de la fonction f coupe l’axe des abscisses en deux points :

Pour qu’une parabole coupe l’axe des abscisses en deux points, il est nécessaire que Delta > 0 c’est à dire que le maximum (ou le minimum) soit différent de 0. Ce qui n’est pas le cas.

Faux.

5) L’équation f(x) = 0 admet une seule solution :

Un maximum ou un minimum en zéro indique que la parabole est posée sur l’axe des abscisses en un unique point (dans le cas d’un a > 0), ou touche l’axe des abscisses en mode « plafond » en un unique point (dans le cas d’un a < 0). Du coup, il n'y a qu'une seule solution à f(x) = 0 et c'est x = -b/2a.

Exact.

6) À partir des informations données sur le signe de a et sur le discriminant (énoncé), associer à chaque fonction sa courbe représentative (énoncé) :

second degré parabole et delta

C1 coupe deux fois l’axe des abscisses (donc D > 0) et ne sourit pas, elle est donc ouverte vers le bas (donc a < 0). Elle est la courbe représentative de la fonction f4.

C2 ne touche pas l’axe des abscisses (donc D < 0) et sourit, elle est donc ouverte vers le haut (donc a > 0). Elle est la courbe représentative de la fonction f1.

Second degré parabole delta

C3 coupe deux fois l’axe des abscisses (donc D > 0) et sourit, elle est donc ouverte vers le haut (donc a > 0). Elle est la courbe représentative de la fonction f2.

C4 touche une seule fois l’axe des abscisses (donc D = 0) et ne sourit pas, elle est donc ouverte vers le bas (donc a < 0). Elle est la courbe représentative de la fonction f3.

Bonne compréhension,

Sylvain

astuces exercices maths corrigé

Corrigé précédent : Corrigé N°317 – Fonctions, second degré, coût, recette – Première ES

Ecris le premier commentaire

Corrigé N°196 :

Exercice : Pourcentages – Calculs, hausse, baisse, valeurs – Première ES

1) Si un prix augmente de 4 %, puis baisse de 5 %, alors globalement ce prix a baissé :

Rédaction :

Pour faire des calculs de hausse et de baisse avec les pourcentages, on utilise les coefficients multiplicateurs.

coefficient multiplicateur pourcentages

Avec le dessin, on voit qu’on multiplie la valeur initiale par le coefficient multiplicateur de hausse (1 + 4/100) = 1,04. Puis on multiplie la valeur obtenue par le coefficient multiplicateur de baisse (1 – 5/100) à 0,95 pour obtenir la valeur finale.
Cela revient à une multiplication finale de 1,04 × 0,95 = 0,988. J’obtiens un coefficient multiplicateur (CM) plus petit que 1 dont c’est une baisse. Vrai.

2) Une hausse de 25% est compensée par une baisse de 20 % :

Rédaction :

On fait comme à la question précédente.
(1 + 25/100) × (1 – 20/100)
= 1,25 × 0,8 = 1.
La hausse de 25% est donc bien compensée par la baisse de 20%. Vrai.

3) Si on diminue le côté d’un carré de 10 %, alors son périmètre diminue de 40 % :

Rédaction :

Cela revient à multiplier le côté par (1 – 10/100) = 0,9.
Le périmètre, c’est quatre fois le côté donc le nouveau périmètre sera
4 × 0,9 × côté initial
= 4 × côté initial × 0,9
= périmètre initial × 0,9.
Ce qui représente une baisse de 10% là aussi.
En gros, si un côté diminue de taille, toutes les distances diminuent de la même taille. Ici, c’est 10%.

4) Si après une réduction de 20% un jeu coûte 28 €, alors son prix avant réduction était de 33,60 euros :

Rédaction :

Pour trouver la valeur finale à partir d’une valeur initiale connue, on multiplie par le coefficient multiplicateur.

coefficient multiplicateur inverse pourcentages

Au contraire, pour retrouver la valeur initiale à partir de la valeur finale, on divise par le même coefficient multiplicateur.

Comme la réduction est de 20%, le CM (coefficient multiplicateur) est de (1 – 20/100) = 0,8.

Donc pour retrouver la valeur initiale, on fait
valeur_finale divisée par CM
= 28 / 0,8 = 35€.
Ce qui est différent de 33,6 euros. Faux.

5) 28 baisses successives de 1% correspondent à une baisse de 25% environ :

Rédaction :

Je fais le schéma habituel avec les flèches et les CM pour indiquer les 28 baisses de 1%.
CM = (1 – 1/100) = 0,99.

baisses sucessives coefficient multiplicateur

Cela revient donc à calculer le CM global
= 0,99 × 0,99 × 0,99 × … 0,99 × 0,99 (28 fois)
= 0,9928
= 0,7547 (je prends 4 chiffres après la virgule pour la précision)

Comme le CM est plus petit que 1, c’est une baisse dont la formule est (1 – p/100).

Je vais retrouver le pourcentage :
1 – p/100 = 0,7547
p/100 = 0,7547 – 1 (on fait -1 de chaque côté)
p/100 = -0,2453
-p = -0,2453 × 100 (on fait ×100 de chaque côté)
-p = -24,53
p = 24,53 (on enlève les « moins-« )

La baisse est de 24,53% donc est bien proche de 25% en arrondissant. Vrai.

6) Le nombre d’habitants d’une ville était 157500 en 2002 et 139860 en 2006. Quel est le taux d’évolution du nombre d’habitants de cette ville de 2002 à 2006 ? :

Rédaction :

Je dessine le dessin habituel avec les valeurs initiale et finale.
coefficient multiplicateur pourcentage

Du coup, 157500 × CM = 139860
CM = 139860/157500 (en divisant de chaque coté par 157500)
CM = 0,888 (le coefficient multiplicateur est bien le taux d’évolution)

Le taux d’évolution de la population de 2002 à 2006 est de 0,888.

7) On admet que le chiffre d’affaire d’une entreprise augmentera régulièrement de 3,2% par an. Sur une période de 10 ans, quel sera son pourcentage d’augmentation ? :

Rédaction :

Je dessine les hausses successives de 3,2% avec le CM associé.
CM = (1 + 3,2/100) = 1,032

hausses successives pourcentages

Cela revient donc à calculer le CM global
= 1,032 × 1,032 × 1,032 × … 1,032 × 1,032 (10 fois)
= 1,03210
= 1,3702 (je prends 4 chiffres après la virgule pour la précision)

Je vais retrouver le pourcentage :
1 + p/100 = 1,3702 (je mets « plus+ » car c’est une hausse)
p/100 = 1,3702 – 1 (on fait -1 de chaque côté)
p/100 = 0,3702
p = 0,3702 × 100 (on fait ×100 de chaque côté)
p = 37,02

L’augmentation est de 37,02% sur une période de 10 ans.

8) Avec quel pourcentage de hausse est compensée une baisse de 25 % ? :

Rédaction :

Je fais le schéma de la baisse de 25% suivi de l’opération inverse (la hausse qui compense).
CM = (1 – 25/100) = 0,75.

coefficient multiplicateur inverse pourcentages

Pour effectuer l’opération inverse d’une baisse ou d’une hausse, on prend le coefficient multiplicateur inverse. Multiplier par l’inverse 1/CM, c’est la même chose que diviser par CM.

1/CM = 1/0,75
= 1,3333 (CM de l’opération inverse).

Je vais retrouver le pourcentage :
1 + p/100 = 1,3333 (je mets « plus+ » car c’est une hausse)
p/100 = 1,3333 – 1 (on fait -1 de chaque côté)
p/100 = 0,3333
p = 0,3333 × 100 (on fait ×100 de chaque côté)
p = 33,33

La baisse de 25% est compensé avec une hausse de 33,33%.

9) La population d’une ville a augmenté de 7% en 2004, de 5% en 2005 et de 6% en 2006. A quel pourcentage est égale l’augmentation de la population de cette ville sur la période 2004-2006 ? :

Rédaction :

Je fais le dessin des trois hausses ci-dessous.

coefficient multiplicateur global pourcentages

Je calcule le CM global en faisant le produit
1,07 × 1,05 × 1,06
= 1,19091.

En soustrayant 1 et en multipliant par 100
, cela donne une hausse globale de 19% sur 3 ans.

10) D’une année sur l’autre, un produit perd 10 % de sa valeur. Au bout de combien d’années le produit a-t-il perdu au moins 70 % de sa valeur initiale ? :

Rédaction :

Perdre 10% de sa valeur, c’est arriver à un CM de (1 – 10/100) = 0,90.

Perdre 70% de sa valeur, c’est arriver à un CM de (1 – 70/100) = 0,30.

0,9 = 0,9 (un an de baisse à 10%)
0,9 × 0,9 = 0,81 (deux ans)
0,81 × 0,9 = 0,729 (trois ans)
0,729 × 0,9 = 0,6561 (quatre ans)
0,59049 (cinq)
0,531441 (six)
0,478 environ (sept)
0,43 environ (huit)
0,387 environ (neuf)
0,349 environ (dix)
0,314 environ (onze)
0,282 environ (douze).

On arrive en dessous du CM 0,3 après 12 ans. C’est à partir de là qu’on a perdu 70%.

Bonne compréhension,
Sylvain

astuces exercices maths corrigé

Corrigé précédent : Corrigé N°180 – Suites, somme, limite, récurrence – Terminale S

Ecris le premier commentaire