Exercice N°568 :

On considère la fonction f définie par :
f(x) = 1/(1 – x)
pour tout x ≠ 1.

1) A l’aide du taux d’accroissement, étudier la dérivabilité de la fonction f en a = 3. Si possible, donner le nombre dérivé.

On considère la fonction g définie sur [1 ; +∞[ par :
g(x) = √(x – 1).

2) Cette fonction g est-elle dérivable en a = 5 ? On répondra à l’aide du taux d’accroissement et, s’il existe, on donnera le nombre dérivée.

On considère la fonction h définie par :
h(x) = 3x2 + 5x – 2
pour tout x de R.
3) Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de h au point d’abscisse (-3).

On a représenté la courbe d’une fonction k et certaines de ses tangentes.

dérivation, courbe, fonction, tangente

Généré par graphsketch.com

4) Lire k'(-1) et k'(1).

567) Pour chaque fonction, justifier qu’elle est dérivable et donner sa fonction dérivée sur l’intervalle I.

5) p(x) = (x – 1)√x sur ]2 ; +∞[,

6) q(x) = 1/(2x2 – 8) sur ]-2 ; 2[,

7) r(x) = (2x – 5)/(x2 + 6) sur R.

Bon courage,
Sylvain

astuces exercices maths

Exercice précédent : Probabilités – Arbre, tirage sans remise, indiscernable – Seconde

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Corrigé N°141 :

f : x -> 1/(3x2 + 4)

1) MQ f est strictement croissante sur [−2 ; 0]
et strictement décroissante sur [0 ; 2] :

Rédaction :

Je commence sur [−2 ; 0].

On prend -2 ≤ a < b ≤ 0 car on est sur [−2 ; 0]. Je prends en compte les bornes de l'intervalle qui vont me donner des informations.

-2 ≤ a < b ≤ 0

⇔ (-2)2 ≥ a2 > b2 ≥ 02

(on change le sens des inégalités

car la fonction « carré » est décroissante sur [−2 ; 0])

⇔ 3×4 ≥ 3×a2 > 3×b2 ≥ 3×0

(on garde le sens des inégalités quand on multiplie (ou divise) par un nombre positif, ici 3)

⇔ 12 + 4 ≥ 3×a2 + 4 > 3×b2 + 4 ≥ 0 + 4

(on garde le sens des inégalités car on ajoute (ou soustrait) un nombre)

1/161/(3×a2 + 4) < 1/(3×b2 + 4)1/4

(on change le sens des inégalités car la fonction « inverse » est strictement décroissante sur [−2 ; 0])

1/16 ≤ f(a) < f(b) ≤ 1/4



a < b donne f(a) < f(b) donc f est strictement croissante sur [−2 ; 0].

De même, sur [0 ; 2] :

On prend -2 ≤ a < b ≤ 0 car on est sur [0 ; 2]. Je prends en compte les bornes de l'intervalle qui vont me donner des informations.

-2 ≤ a < b ≤ 0

⇔ 02 ≥ a2 < b2 ≥ 22

(on garde le sens des inégalités car la fonction « carré » est croissante sur [0 ; 2])

⇔ 3×0 ≤ 3×a2 < 3×b2 ≤ 3×4

(on garde le sens des inégalités quand on multiplie (ou divise) par un nombre positif, ici 3)

⇔ 0 + 4 ≤ 3×a2 + 4 < 3×b2 + 4 ≤ 12 + 4

(on garde le sens des inégalités car on ajoute (ou soustrait) un nombre)

1/41/(3×a2 + 4) > 1/(3×b2 + 4)1/16

(on change le sens des inégalités car la fonction « inverse » est strictement décroissante sur [0 ; 2])

1/4 ≥ f(a) > f(b) ≥ 1/16



a < b donne f(a) > f(b) donc f est strictement décroissante sur [0 ; 2].



Pour résumer, voici le tableau de variation de la fonction f :
variation fonction carré inverse

g(x) = √f(x) + 1/2.
2) Tableau de variations de g sur [−2 ; 2] :

Rédaction :

On peut rédiger de la même manière avec a < b donne f(a) < f(b) ou f(a) > f(b) mais je vais choisir la méthode des tableaux de variation.

Je reprends le tableau de variation de f et je lui applique la fonction « racine » car f(x) subit l’effet de la racine en premier lieu.
Les valeurs des fractions sont mises à la racine. Les 1 restent 1, 16 devient 4 et 4 devient 2. Les variations ne changent pas car la fonction « racine » est strictement croissante sur R+. On note que les contenus de la racine sont positifs : 1/4 et 1/16.

variation fonction racine

En second lieu, le nombre √f(x) est multiplié par (-1) en témoigne le « moins » devant lui. Comme on multiplie par un nombre négatif, les variations changent et les images sont aussi multipliées par (-1). Cela donne le tableau :

variation fonction multiplication nombre négatif

Enfin pour obtenir g, on ajoute 1/2 à l’ensemble. Comme on ajoute un nombre, les variations ne changent pas. Seules les valeurs se voient augmentées de 1/2 ci-dessous :

variation fonction addition

3) Encadrement de g(x) sur [−2 ; 2] :

On voit d’après la tableau de signe que 0 ≤ g(x) ≤ 1/4. Comme quoi dès le début, j’ai bien fait de calculer toutes les images des bornes des intervalles.

Bonne compréhension,
Sylvain

astuces exercices maths corrigé

Corrigé précédent : Corrigé N°074 – Variation, fonction, carré, racine, inverse – Première S

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Corrigé N°074 :

Exercice précédent : Variations de fonctions – Carré, racine, inverse – Première S

1) f : x → -3x2 sur ]-∞ ; 0] :

Rédaction :

On prend a < b ≤ 0 car on est sur ]-∞ ; 0].

a < b ≤ 0

⇔ a2 > b2 ≥ 02

(on change le sens des inégalités car la fonction « carré » est strictement décroissante sur ]-∞ ; 0])

⇔ -3a2 < -3b2 ≤ -3×0

(on change le sens des inégalités car on multiplie par un nombre négatif)

⇔ f(a) < f(b) ≤ 0



a < b donne f(a) < f(b) donc f est strictement croissante sur ]-∞ ; 0].


2) g : x → 2√(x) – 3 sur [0 ; +∞[ :

Rédaction :

On prend 0 ≤ a < b car on est sur [0 ; +∞[.

0 ≤ a < b

⇔ √(0) < √(a) ≤ √(b)

(on garde le sens des inégalités car la fonction « racine » est strictement croissante sur [0 ; +∞[)

⇔ 2√(0) < 2√(a) ≤ 2√(b)

(on garde le sens des inégalités car on multiplie par un nombre positif, ici 2)

⇔ 0 – 3 < 2√(a) - 3 ≤ 2√(b) - 3

(on garde le sens des inégalités quand on ajoute ou on soustrait)

-3 < f(a) ≤ f(b)



a < b donne f(a) < f(b) donc f est strictement croissante sur [0 ; +∞[.


3) h : x → 1/|x| sur R* :

Rédaction :

Ici, je vais faire avec une autre méthode vue en cours.
La fonction que l’on a là est l’inverse de la fonction absolue. Donc je représente les variations de la fonction « valeur absolue » ci-dessous.
D’après le cours, on obtient la première ligne :

variation valeur absolue inverse

Comme la fonction « inverse » est strictement décroissante sur R et sur R+. On change le sens des variations de la valeur absolue pour obtenir celles de h ci-dessus.


4) l : x → -1 + ( 1/(2x + 4) ) sur ]-2 ; +∞[ :

Rédaction :

On prend 0 ≤ a < b car on est sur [-2 ; +∞[.

-2 ≤ a < b

⇔ 2×(-2) < 2a ≤ 2b

(on garde le sens des inégalités car on multiplie par un nombre positif, ici 2)

⇔ -4 + 4 < 2a + 4 ≤ 2b + 4

(on garde le sens des inégalités quand on ajoute ou on soustrait)

⇔ 0 < 2a + 4 ≤ 2b + 4

(ici on a zéro à gauche, la partie gauche va disparaître quand on va passer à l’inverse)

1/(2a + 4)1/(2b + 4)

(on change le sens des inégalités car la fonction « inverse » est strictement décroissante sur ]0 ; +∞[. Ici on s’aperçoit que nos valeurs sont strictement au-dessus de zéro)

⇔ -1 + 1/(2a + 4) ≥ -1 + 1/(2b + 4)

(on garde le sens des inégalités quand on ajoute ou on soustrait)

⇔ f(a) ≥ f(b)



a < b donne f(a) > f(b) donc f est strictement décroissante sur [-2 ; +∞[.

Bonne compréhension,
Sylvain

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Corrigé précédent : Corrigé N°280 – Exponentiel, fonction, limite, continuité – Terminale S

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Corrigé N°063 :

Exercice : Vecteurs et Droites – Points alignés, équation, variable – Première S

1) Mq C, I et J sont alignés :

Rédaction :

C, I et J sont alignés, si et seulement si, les vecteurs ->CI et ->IJ sont colinéaires. J’ai donc besoin des coordonnées de ces vecteurs, donc je dois calculer les coordonnées de C, I et J avant.

Cette figure est composé de trois carrés dont celui de gauche ABGH. Comme ->AB et ->AH ne sont pas colinéaires (côtés du carré), on peut introduire le repère (A ; ->AB ; ->AH).

Cela veut dire que le point A a pour coordonnées (0 ; 0), B(1 ; 0) et H(0 ; 1).
Du coup, on a C(2 ; 0), D(3 ; 0), E(3 ; 1), F(2 ; 1) et G(1 ; 1).

Calculons les coordonnées du point I :

I est le milieu de [AG].
Les coordonnées d’un milieu pour deux points A et B sont :

géométrie formule milieu segment

Du coup, je calcule ceci pour [AG].

xI = (xA + xG)/2
= (0 + 1)/2
= 1/2

yI = (yA + yG)/2
= (0 + 1)/2
= 1/2

Du coup, les coordonnées de I sont (1/2 ; 1/2).

Calculons les coordonnées du point J :

L’abscisse de J est 1 car J est sur [BG] et [BG] relie deux points d’abscisses 1.
L’ordonnée de J est la distance qui le sépare de B, c’est à dire BJ, car l’ordonnée de B est de 0 et car (BJ) est parallèle à la droite (AH) avec ->AH le vecteur « ordonnées » du repère.

Pour calculer (BJ), on utilise le théorème de Thalès dans le triangle ADE avec :
* (DE)//(BJ),
* (BD) et (JE) sécantes en A,
* A,B,D puis A,J,E alignés dans le même sens.

Du coup, le rapport BJ/DE est égale à AB/AD qui est de 1/3 car [AD] c’est trois fois le côté [AB]. Comme DE = 1, on a BJ = 1/3, qui donne l’oordonnée du point J 1/3.

Du coup, J(1 ; 1/2).

Calcul des coordonnées des vecteurs ->CI et ->IJ :

xCI
= xI – xC
= 1/2 – 2
= –3/2

yCI
= yI – yC
= 1/2 – 0
= 1/2

xIJ
= xJ – xI
= 1 – 1/2
= 1/2

yIJ
= yJ – yI
= 1/31/2
= 2/63/6
= –1/6

Les deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées x et x’, puis y et y’ sont proportionnelles.

On a donc le tableau :
3/2 | 1/2
1/2 | –1/6

Les produits en croix sont :
3/2 × –1/6
= +3/12
= 1/4
Et :
1/2 × 1/2
= 1/4

Donc les produits en croix sont égaux, x’y – xy’ = 0, les coordonnées sont proportionnelles, donc les vecteurs ->CI et ->IJ sont colinéaires et les points C, I et J sont alignés.

2) Mq Dm est une droite :

Rédaction :

Quelque soit le m, l’équation mx + (2m – 1)y + 4 = 0
est de la forme ax + by + c = 0 qui est l’équation cartésienne d’une droite.

Du coup, les Dm sont des droites.

3) m tels que Dm parallèle aux axes:

Rédaction :

Dm est parallèle à l’axe des abscisses si l’équation
est de la forme y = constante.
Ce qui équivaut à y – constante = 0 en mode « équation cartésienne ».
Pour cela, il faut que le coefficient devant x, le « a » soit égal à zéro.
Ce coefficient est « m ». Du coup D1 est parallèle à l’axe des abscisses pour m = 0.

D1 est parallèle à l’axe des ordonnées si l’équation
est de la forme x = constante.
Ce qui équivaut à x – constante = 0 en mode « équation cartésienne ».
Pour cela, il faut que le coefficient devant y, le « b » soit égal à zéro.
Ce coefficient est (2m – 1). Du coup Dm est parallèle à l’axe des abscisses pour 2m – 1 = 0 soit m = 1/2.

4) Équation des droites D0 et D1 et point d’intersection :

Rédaction :

L’équation est mx + (2m – 1)y + 4 = 0.

D0 : 0x + (2 × 0 – 1)y + 4 = 0
⇔ – 1y + 4 = 0
⇔ y = 4.

D1 : 1x + (2 × 1 – 1)y + 4 = 0
⇔ x + 1y + 4 = 0.

Le point d’intersection, que j’appelle I, est à la fois sur D0 et D1 donc les coordonnées de I respectent à la fois les deux équations, donc le système suivant :

{ y = 4
{ x + y + 4 = 0
(Les deux petites accolades sont en fait une seule grande accolade)


{ y = 4
{ x + 4 + 4 = 0


{ y = 4
{ x + 8 = 0


{ y = 4
{ x = -8

Les coordonnées du point d’intersection I sont (4 ; -8).

5) Mq que Dm passe par un point fixe :

Rédaction :

Si toutes les droites Dm passent par un point fixe, c’est le point fixe qu’on vient de trouver juste au dessus. C’est à dire I(4 ; -8).

Je dois donc prouver que ce point I appartient à toutes les droites Dm. Donc que ses coordonnées vérifient l’équation-égalité Dm quel que soit le m.

Du coup, quel que soit m,
Gauche = mx + (2m – 1)y + 4
= m × (-8) + (2m – 1) × 4 + 4
= -8m + 8m – 4 + 4
= 0m + 0
= 0 = Droite.

Donc l’équation des droites Dm est vérifiée par ce point. Donc toutes les droites appartiennent à un point fixe quel que soit m.

Bonne compréhension,
Sylvain

Corrigé précédent : Corrigé N°062 – Vecteurs, droites, équation cartésienne – Première S

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Correction N°062 :

Exercice : Vecteurs et Droites – Équations cartésiennes droites – Première S

1) (d), A et ->v :

Rédaction :

Comme ->v est un vecteur, on peut le placer n’importe où sur le repère. Je prends un point de départ et je vais de 2 vers la droite (x = 2) et de 3 vers le bas (y = -3).

Pour tracer la droite, on choisit deux abscisses espacés et on calcule y.
Je choisis x = 6 et x = -6.

Pour x = 6 :
L’équation de droite est : 2x – 3y + 6 = 0
⇔ 2 × 6 – 3y + 6 = 0
⇔ 12 – 3y + 6 = 0
⇔ 18 – 3y = 0
⇔ 18 = 3y
⇔ 6 = y
Les coordonnées de B, premier point de la droite (d) sont (6 ; 6).

Pour x = -6 :
2x – 3y + 6 = 0
⇔ 2 × (-6) – 3y + 6 = 0
⇔ -12 – 3y + 6 = 0
⇔ -6 – 3y = 0
⇔ -6 = 3y
⇔ -2 = y
Les coordonnées de C, second point de la droite (d) sont (-6 ; -2).

Je place ces deux points sur le graphique. Et je trace l’unique droite qui passe par ces deux points. Pour vérifier, je remplace x par 0 pour voir qu’elle est l’ordonnée à l’origine.
∈ 2 × 0 – 3y + 6 = 0
∈ –3y + 6 = 0
∈ 6 = 3y
∈ 2 = y
C’est bon car on voit bien que la droite passe par l’ordonnée 2 sur l’axe des ordonnées. Il n’y a pas de contradiction.

droite cartésienne vecteur point

2) Vecteur ->u directeur de (d) :

Rédaction :

Les coordonnées d’un des vecteurs directeurs d’une droite sont :

droite vecteur directeur équation

Comme l’équation de droite est 2x – 3y + 6 = 0,
a = 2 et b = (-3).
Le vecteur directeur (le plus simple) est donc ->u(-b ; a) donc ->u(-(-3) ; 2). Du coup, le vecteur directeur de (d) ->u a pour coordonnées (3 ; 2).

3) ->w = 2->u – 1/2->v :

Rédaction :

Je place un point de départ sur la partie basse à droite. A partir de ce point, je fais deux fois le vecteur ->u puis la moitié de ->v à l’envers. J’obtiens un point d’arrivée. Du coup, j’ai le déplacement vecteur ->w.

vecteur coordonnées

4) Calculer ensuite les coordonnées de ->w.

Rédaction :

Cette question dépend du résultat trouvé à la question précédente.

Comme ->w = 2->u – 1/2->v,
l’abscisse x->w = 2x->u1/2x->v
= 2 × 3 – 1/2 × 2
= 6 – 1 = 5.
Et l’ordonnée y->w = 2y->u1/2y->v
= 2 × 2 – 1/2 × (-3)
= 4 + 1,5 = 5,5 = 11/2.

Donc ->w(5 ; 11/2).

5) Colinéarité :

Rédaction :

Là encore, cela dépend du vecteur directeur ->u trouvé au départ. Regardons si les coordonnées de ->v et de ->w sont proportionnelles.

x = 2 et y = -3.
x’ = 5 et y’ = 11/2.

On a donc le tableau :
2 | -3
5 | 11/2

Les produits en croix sont :
2 × 11/2 = 11
Et :
5 × -3 = -15
Donc les produits en croix sont différent, x’y – xy’ est différent de 0, les coordonnées ne sont pas proportionnelles, donc les vecteurs ->v et ->w ne sont pas colinéaires.

6) Équation de (d’) passant par A et de vecteur ->v :

Rédaction :

On veut une équation cartésienne donc du type ax + by + c = 0.
Comme ->v est un vecteur directeur. Ses coordonnées 2 et -3 sont -b et a. Du coup, -b = 2 (b = -2) et a = -3.

L’équation s’écrit donc -3x – 2y + c = 0.

Pour déterminer le nombre c, on remplace x et y par les coordonnées de A car ce point est sur la droite.
-3xA – 2yA + c = 0
⇔ -3xA – 2yA + c = 0
⇔ -3 × 1 – 2 × 7 + c = 0
⇔ -3 – 14 + c = 0
⇔ -17 + c = 0
⇔ c = 17.

Donc une équation cartésienne de droite est -3x – 2y + 17 = 0.

On sait que (d’) passe par A. Je choisis un autre abscisse x pour trouver un second point de la droite pour la tracer.
Je prends x = 6.

-3x – 2y + 17 = 0
⇔ -3 × 6 – 2y + 17 = 0
⇔ -18 – 2y + 17 = 0
⇔ -1 – 2y = 0
⇔ -1 = 2y
-1/2 = y

Le second point de la droite, E, a pour coordonnées (6 ; -1/2).

droite équation cartésienne

Si on remplace x par 0, on peut calculer que y = 8,5. Ce qui correspond à l’ordonnée à l’origine que l’on peut voir sur le dessin.

7) Intersection de (d) et (d’) :

Rédaction :

Pour déterminer les coordonnées x et y du point d’intersection de deux droites, on utilise les équations de ces deux droites. En effet, les coordonnées du point d’intersection respecte à la fois ces deux égalités. Cela fait donc un système à résoudre pour trouver le x et le y.

{ 2x – 3y + 6 = 0 pour (d)
{ -3x – 2y + 17 = 0 pour (d’)

Ces deux accolades sont en fait une seule grande accolade.
La première étape pour résoudre un système est d’obtenir le même nombre de x (ou de y) sur chaque ligne.
Ici j’ai 2x et -3x, donc je multiplie la première ligné par 3 et la second par -2 pour obtenir 6x et 6x.


{ 6x – 9y + 18 = 0
{ 6x + 4y – 34 = 0

Ensuite, j’isole les x à gauche et j’envoie le reste à droite du égal.


{ 6x = 9y – 18
{ 6x = -4y + 34

Comme 6x = 6x, cela veut dire que 9y – 18 = -4y + 34.


{ 9y – 18 = -4y + 34
{ 6x = 9y – 18
{ 6x = -4y + 34

Du coup, je résous cette équation.
9y – 18 = -4y + 34 équivaut à 13y = 52 et donc y = 4 (en divisant par 13).

Revenons au système :

{ y = 4
{ 6x = 9 × 4 – 18 = 18
{ 6x = -4 × 4 + 34 = 18


{ y = 4
{ x = 18/6 = 3.


Le point d’intersection I a pour coordonnées (4 ; 3).

8) Équation cartésienne de la droite (d ») :

Rédaction :

Lorsqu’on veut une droite parallèle, il suffit de garder le même « a » et le même « b ».
Comme (d) a pour équation 2x – 3y + 6 = 0, on peut aussi choisir 2 et -3 pour (d »).
Du coup, (d ») a pour équation 2x – 3y + c = 0.
Pour déterminer le c, on peut remplacer par un point de la droite, ici A(1 ; 7).

Donc 2 × 1 – 3 × 7 + c = 0.
⇔ 2 – 21 + c = 0.
⇔ -19 + c = 0
⇔ c = 19
L’équation de (d ») est donc 2x – 3y + 19 = 0.

Je trace la parallèle à (d) passant par A.

droite parallèle point

Bonne compréhension,
Sylvain

astuces exercices maths corrigé

Corrigé précédent : Corrigé N°064 – Vecteurs, droites, formules, géométrie – Première S

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