Corrigé N°170 :

Exercice : Probabilités – Conditionnelles, loi binômiale, suite – Terminale S

1) P(boules rouges) :

Rédaction :

On a 4 chances sur 6 d’obtenir une rouge au premier tirage (et 2 chances sur 6 d’avoir une noire).
Si on a une rouge et qu’on la remet, on obtient les mêmes chances pour le second tirage.
Par contre, si on a une noire et qu’on ne la remet pas, on aura 4 chances sur 5 d’avoir une rouge et 1 chance sur 5 d’avoir une noire.

J’obtiens l’arbre suivant :
arbre probabilité tirage urne

Les branches de droites forment la colonne des « sachants ».
Les probabilités tout à droite sont les « inter ».

P(boules rouges) = P(R1 inter R2)
= P(R1) × P(R2 sachant R1)
= 4/6 × 4/6
= 2/3 × 2/3
= 4/9

2) P(seconde boule noire) :

Rédaction :

P(seconde boule noire) = P(N2)
On retrouve N2 deux fois sur la colonne de droite donc :

R1 et N1 forment une partition de Ω.
D’après la Formule des Probabilités Totales,
P(N2) = P(R1 inter N2) + P(N1 inter N2)
= 4/6 × 2/6 + 2/6 × 1/5
= 2/3 × 1/3 + 1/3 × 1/5
= 2/9 + 1/15
= 10/45 + 3/45
= 13/45

3) P(première boule rouge sachant seconde noire) :

Rédaction :

P(première boule rouge sachant seconde noire) = P(R1 sachant N2)
= P(R1 inter N2)/P(N2)
= (4/6)/(13/45)
= 4/6 × 45/13
= 4/2 × 15/13 (en simplifiant par 3 en haut et en bas)
= 2×15/13
= 30/13

4) Expression de p en fonction de n :

Rédaction :

p est la probabilité de succès d’une épreuve.
Le succès est d’obtenir une boule rouge lors du tirage.
Il y a 4 boules rouges et n boules noires, soit (4+n) boules au total.
Comme les boules sont indiscernables au toucher, il y a équiprobabilité.
La probabilité d’obtenir une boule rouge (le succès) est donc le nombre de cas favorables divisé par le nombre total de cas.
Soit p = 4/(4 + n)

5) P(l’une au moins des quatre boules tirées soit noire) :

Rédaction :

On a du « au moins une », on doit donc raisonner en contraire.
Le contraire de « l’une au moins des quatre boules tirées soit noire » est « toutes les boules sont rouges » donc :

qn = P(l’une au moins des quatre boules tirées soit noire)
= 1 – P(X = 4)
= 1 – (Combinaison(n ; k) × pk × (1 – p)n-k)
= 1 – (Combinaison(4 ; 4) × p4 × (1 – p)4-4)
= 1 – (1 × p4 × (1 – p)0)
= 1 – (p4 × 1)
= 1 – p4
= 1 – (4/(4 + n))4

6) Plus petit entier naturel n, qn ≥ 0,9999 :

Rédaction :

qn ≥ 0,9999
⇔ 1 – (4/(4 + n))4 ≥ 0,9999
⇔ – (4/(4 + n))4 ≥ 0,9999 – 1
⇔ – (4/(4 + n))4 ≥ -0,0001
⇔ (4/(4 + n))4 ≤ 0,0001
⇔ (4/(4 + n)) ≤ 0,0001(1/4)
Comme tout est positif là, on enlève le puissance 4 à gauche, en faisant puissance 1/4 à droite.
4/(4 + n) ≤ 0,1
⇔ 4 ≤ 0,1 × (4 + n)
⇔ 4/0,1 ≤ 4 + n
⇔ 40 – 4 ≤ n
⇔ 36 ≤ n
⇔ n ≥ 36

36 est le plus petit entier naturel tel que qn ≥ 0,9999

Bonne compréhension,
Sylvain

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Corrigé N°151 :

Exercice : Probabilités – Tirage urne, expérience aléatoire et loi – Seconde

1) Quel est l’univers des issues possibles :

Les issues possible sont 1, 2, 3 et 4. Donc l’univers est
U = {1 ; 2 ; 3 ; 4}.

2) Définir une loi de probabilité modélisant cette expérience aléatoire :

Une loi de probabilité est bien souvent un tableau avec les valeurs concernées sur la première lignes (les xi) et les probabilités associées sur la seconde ligne
: les pi = P(X = xi).

Rédaction :
Il y a autant de chance de piocher chaque jeton car ils sont indiscernables au toucher.
On est donc dans une situation d’équiprobabilité.
La formule de la probabilité d’une issue (résultat) est donc :

formule équiprobabilité

Par exemple, pour la valeur 3, il y a 3 jetons donc le nombre de cas favorables est 3 et le nombre total de cas est 1+2+3+4 = 10.

Du coup, P(X = 3) = 3/10 = 0,3.
De même, P(X = 1) = 1/10 = 0,1 car il y a un seul jeton marqué 1.
P(X = 2) = 0,2.
P(X = 4) = 0,4.

La loi de probabilité est :

loi probabilité tableau

3) Probabilité de A : le jeton porte un numéro pair :

Rédaction :
Le jeton porte un numéro pair s’il a le numéro 2 ou le numéro 4, donc j’additionne les probabilités du tableau.
P(A) = P(X = 2) + P(X = 4) = 0,2 + 0,4 = 0,6.

4) Probabilité de B : le jeton porte un numéro supérieur ou égal à trois:

Rédaction :
Le jeton porte un numéro supérieur ou égal à trois, s’il a le numéro 3 ou 4, donc j’additionne les probabilités du tableau.
P(B) = P(X = 3) + P(X = 4) = 0,3 + 0,4.

5) Probabilité de (A inter B) :

Rédaction :

A inter B, c’est avoir A « et à la fois » B. Le jeton doit être pair et à la fois supérieur ou égal à 3. Seul 4 fonctionne.
P(A inter B) = P(X = 4) = 0,4.

6) Probabilité de (A U B) :

Rédaction :

Comme on a A, B, et A inter B, je peux utiliser la formule de l’union A U B qui est :

formule union probabilité

P(A U B) = 0,6 + 0,7 – 0,4 = 0,9.

Autre méthode :

Cela revient à vouloir « soit » A (les pairs 2 et 4), « soit » B (3 et 4), « soit » les deux cas en même temps (le pair 4).
Du coup, on accepte 2, 3 et 4 et on additionne les probabilités
0,2 + 0,3 + 0,4 = 0,9. Ce qui revient au même.

Bonne compréhension,
Sylvain

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Corrigé N°091 :

Exercice : Probabilités – Calculs, loi, tableau, espérance, coût – Première S

1) Calculer P(G U W) :

Dans cette situation, il y a deux paramètres à propos des téléphones. Le premier est la présence du Wifi W (ou non) et le second est la présence du GPS G (ou non). Pour représenter cette situation, je te suggère de faire un tableau à double entrées.

Sur les lignes, tu peux séparer W (avec Wifi) et W (sans Wifi). Sur les colonnes, tu peux séparer G (avec GPS) et G (sans GPS).

La ligne du dessous est le sous-total de G et celui de G, la colonne de droite est le sous-total de W et celui de W.

Les quatre cases centrales sont les intersections qui prennent en compte à la fois la présence (ou non) de W et la présence (ou non) de G. Enfin en bas à droite, il y a le total. Ici, on travaille en pourcentage donc on met 100%.

Voici le premier tableau avec ce que l’on cherche en rouge (l’union veut dire qu’on veut au moins G ou W). Les données de l’exercice sont en vert.

probabilite tableau intersection union

Pour compléter les cases, tu dois faire des soustractions sur les lignes et les colonnes.
70 – 24 = 46 ;
40 – 24 = 16 ;
100 – 70 = 30 ;
100 – 40 = 60 ;
30 – 16 ou 60 – 46 = 14
De cette manière, toutes les cases du tableau sont remplies et tu obtiens la répartition des options avec les intersections. Ces résultats sont en bleu foncé ci-dessous.

tableau probabilité union intersection

Pour l’union G U W, on reprend ce qu’il y a en rouge (avec la présence de « soit G, soit W, soit les deux ») et on additionne :
24 + 46 + 16 = 86%.
Donc P(G U W) = 0,86.

2) Déduisez-en la probabilité qu’un téléphone n’ait aucune des deux options :

Aucune des deux options, c’est ni G, ni W, soit « G inter W », c’est la case avec 14%.
P(aucune des deux options)= 0,14.

3) Montrer que P(X = 6) = 0,46 :

6 euros correspond à prendre l’option Wifi sans prendre celle du GPS. Dans le tableau, cela revient à prendre « G inter W » qui vaut 46%.
Donc P(X = 6) = 0,46.

4) Déterminer la loi de probabilité de X, puis compléter le tableau :

Une loi de probabilité revient (presque toujours) à faire un tableau avec les valeurs en haut et les probabilités sur la ligne du dessous. Ici, il s’agit de faire la loi de probabilité du gain qui est liée à celle des options (car le gain dépend des options).

On va reprendre le précédent tableau, mais en plus « aplati ».

loi probabilités gains valeurs

La première ligne rappelle les options, la deuxième indique le gain, puis la troisième met les probabilités. La loi de probabilité du gain concerne les deux dernières lignes. C’est pour ça que j’ai mis la première ligne entre parenthèses.

5) Calculer l’espérance mathématique E(X) :

La formule de l’espérance est :
E(X) = Valeur1 × Proba1 + Valeur2 × Proba2 + Valeur3 × Proba3 + Valeur4 × Proba4
= 0 × 0,14 + 6 × 0,46 + 12 × 0,16 + 18 × 0,24
= 9.

L’espérance est de 9. Cela veut dire qu’en moyenne, la marque va payer 9 euros pour les options.

6) Déduisez-en une estimation du coût de revient total de l’équipement de 200 000 appareils dans les mêmes conditions :
On fait en moyenne 9 × 200000 = 1,8 millions d’euros.

Bonne compréhension,
Sylvain

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Corrigé précédent : Corrigé N°076 – Variations, fonctions, rationnelle – Première S

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Exercice N°567 :

Un sac opaque contient les boules indiscernables au toucher numérotées de 1 à 5.
On tire deux boules successivement et sans remise.
On tire donc au hasard une boule et on lit son numéro puis sans remettre la première boule dans le sac, on prend une seconde boule et on note son numéro.
On obtient un nombre à deux chiffres dont le chiffre des dizaines correspond au numéro de la première boule tirée et le chiffre des unités à celui de la seconde boule.

1) Faire un arbre de probabilités illustrant la situation (premier tirage suivi du second tirage).

2) Combien y-a-t-il de cas possibles ?

3) Calculer la probabilité de l’événement A « obtenir un multiple de 5 ».

4) En déduire la probabilité de l’événement B : « obtenir au moins 20 ».

5) Calculer la probabilité de l’événement A inter B. veut dire « barre » et « inter » est le petit U à l’envers.

Bon courage,
Sylvain

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Exercice précédent : Probabilités – Arbre, équiprobabilité, urne, contraire – Seconde

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Exercice N°566 :

Un sac contient des jetons carrés, ronds ou triangulaires, de couleur noire ou verte.
Il y a 10 jetons ronds dont 4 noirs, 5 des 15 jetons carrés sont verts, 6 des 25 jetons triangulaires sont noirs.

1) Utiliser un arbre (ou un tableau au pire) pour donner le nombre de jetons de chaque sorte.

On tire un jeton au hasard : on suppose qu’il y a équiprobabilité. Soit A l’événement : « le jeton est rond », B l’événement : « le jeton est de couleur verte » et C l’événement : « le jeton est de couleur noire et n’est pas rond ».

2) Calculer les probabilités respectives de A, de B et de C.

3) Calculer les probabilités des événements contraires de A, de B et de C.

4) Exprimer par une phrase l’événement contraire de C.

Bon courage,
Sylvain

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Exercice précédent : Algorithmique – Boucle pour, variable locale, segments – Seconde

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