Exercice N°569 :

Pierre et Élodie débutent dans une entreprise au 1er janvier.

Le salaire mensuel de Pierre est de 1500€, et il est prévu dans son contrat une augmentation mensuelle de 7€ à partir du 2ème mois.

Le salaire mensuel de Élodie est de 1200€, et il est prévu dans son contrat une augmentation mensuelle de 5% à partir du 2ème mois.

On note :

a0 le salaire d’embauche de Pierre et an son salaire au bout du n-ième mois pour n supérieur ou égal à zéro.

b0 le salaire d’embauche de Élodie et bn son salaire au bout du n-ième mois pour n supérieur ou égal à zéro.

1) Exprimer an+1 en fonction de an.

2) En déduire la nature de la suite (an).

3) Déterminer l’expression de an en fonction de n.

4) Exprimer bn+1 en fonction de bn.

5) En déduire la nature de la suite (bn).

6) Déterminer l’expression de bn en fonction de n.

7) Calculer a3 et b3.

8) Donner a10 et b10.

9) En utilisant la calculatrice, déterminer à partir de quel mois Élodie sera mieux payée que Pierre.
Expliquer la démarche.

Bon courage,
Sylvain

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Corrigé N°210 :

Exercice : Suites – Arithmétique, géométrique, algorithme – Terminale ES

1) (un) arithmétique de raison 6000 et expression :

Rédaction :

Au début du compte U, celui-ci est vide. Chaque année, l’épargnant y ajoute 6000 euros pour obtenir le solde l’année suivante. D’une année sur l’autre, on a donc un+1 = un + 6000.
(un) est donc une suite arithmétique de raison 6000 et son premier terme est 0.
Comme la suite est arithmétique :

suite arithmétique formule explicite

On commence à u0 = 0 et r = 6000.
Donc pour tout n, un = 0 + 6000 × (n – 0)
= 6000n.

2) Expliquer in :

Chaque année n, le client ajoute 6000 à son compte en banque.
A la fin de la première année, il y a donc u1 = 6000 euros dans son compte. Comme les intérêts sont de 5%,
cela fait i1 = 5/100 × u1
= 0,05 × u1.

L’année 2, le client ajoute 6000€ à son compte, il y a donc
u2 = u1 + 6000 dans le compte.
Pas d’intérêts car ceux-ci sont dans un compte à part.
A la fin de l’année, les intérêts de 5% sont donc pris sur u2 qu’on ajoute à ceux d’avant, soit :
i2 = i1 + 0,05 × u2
= 0,05 × u1 + 0,05 × u2
= 0,05 × (u1 + u2).

L’année 3, le client ajoute 6000€ à son compte, il y a donc
u3 = u2 + 6000.
Pas d’intérêts car ceux-ci sont dans un compte à part.
A la fin de l’année, les intérêts de 5% sont donc pris sur u3, soit :
i3 = 0,05 × u3 + i2
= 0,05 × u3 + × (u1 + u2)
= 0,05*(u1 + u2 + u3).

Et ainsi de suite…..

L’année n, le client ajoute 6000€ à son compte, il y a donc
un = un-1 + 6000.
Pas d’intérêts car ceux-ci sont dans un compte à part.
A la fin de l’année, les intérêts de 5% sont donc pris sur un, soit :
in = 0,05 × un + in-1
= 0,05 × un + 0,05 × (u1 + u2 + u3 + … + un-1)
= 0,05 × (u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un)

Donc in = 0,05 × (6000 + 6000 × 2 + 6000 × 3 + … + 6000 × n).
Je factorise par 6000 :
in = 0,05 × (6000(1 + 2 + 3 + … + n))
= 300 × (1 + 2 + 3 + … + n).

Or d’après le cours :

somme arithmétique suite

donc in = 300 × n(n+1)/2
= 150n(n+1).

3) vn+1 et vn :

Rédaction :

L’année suivante, pour calculer vn+1, on prend le solde de l’année précédente vn. Sur ces vn euros, on gagne 4 pourcents d’intérêts. Du coup, le solde provenant de vn subit une augmentation de 4 pourcent : on multiplie donc vn par (1 + 4/100) = 1,04.
De plus, l’épargnant ajoute 6000 euros dans l’année. A la fin de l’année, les intérêts de 4 pourcents sont donc comptabilisés sur ces 6000 soit 6000 × 1.04 = 6240.
Du coup, vn+1 est la somme de ces deux montants.
vn+1 = 1.04vn + 6240.

wn = vn + 156000
4) Mq (wn) géométrique :

Rédaction :

Pour tout n, wn+1 = vn+1 + 156000
= 1.04vn + 6240 + 156000
= 1.04vn + 162240
= 1.04 × (vn + 162240/1.04)
= 1.04 × (vn + 156000)
= 1.04 × wn.

Donc (wn) est une suite géométrique de raison 1.04 et de première terme
w0 = v0 + 156000
= 0 + 156000 = 156000.

5) Expression de wn et vn :

Rédaction :

La formule explicite d’une suite géométrique est :

formule explicite suite géométrique

Du coup, wn = w0 × 1.04n-0
= 156000 × 1.04n.

D’après les données de l’exercice, wn = vn + 156000.
Donc vn = wn – 156000
= 156000 × 1.04n – 156000.

6) Intérêts jn du placement V :

Rédaction :

Les intérêts du placement V sont la différence entre le solde total et l’argent apporté par l’épargnant qui vaut 6000n car il apporte 6000 euros par an sur n années.

Donc jn = vn – 6000n
= 156000 × 1.04n – 156000 – 6000n.

7) Comparer i10 et j10 :

Rédaction :

i10 = 150 × 10 × (10+1)
= 150 × 11 = 16500 euros.
j10 = 156000 × 1.0410 – 156000 – 6000 × 10
= 14918.11 euros.

Sur 10 ans, il faut choisir le placement U car i10 > j10.

8) Pour un placement sur 20 ans :

Rédaction :

On calcule pour n = 20.
i20 = 150 × 20 × (20+1)
= 3000 × 21 = 63000 euros.
j20 = 156000 × 1.0420 – 156000 – 6000 × 20
= 65815.21 euros.

Sur 20 ans, il faut choisir le placement V car i20 < j20

9) Comment interpréter ce résultat de l’algorithme ?

Rédaction :

Dans le test du TantQue, la condition est que l’algorithme continue de tourner tant que les intérêts de V sont inférieurs ou égaux aux intérêts de U
(on reconnait jn ≤ in).
Du coup, la boucle va s’arrêter dès que les intérêts totaux de V vont strictement dépasser ceux de U. C’est le résultat voulu.
L’algorithme retourne N, c’est-à-dire le nombre d’étapes ou années quand le placement V devient plus intéressant que le placement U.
Il retourne N = 18, donc le placement V devient plus intéressant à partir d’un placement de 18 ans.

Bonne compréhension,
Sylvain

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Corrigé N°170 :

Exercice : Probabilités – Conditionnelles, loi binômiale, suite – Terminale S

1) P(boules rouges) :

Rédaction :

On a 4 chances sur 6 d’obtenir une rouge au premier tirage (et 2 chances sur 6 d’avoir une noire).
Si on a une rouge et qu’on la remet, on obtient les mêmes chances pour le second tirage.
Par contre, si on a une noire et qu’on ne la remet pas, on aura 4 chances sur 5 d’avoir une rouge et 1 chance sur 5 d’avoir une noire.

J’obtiens l’arbre suivant :
arbre probabilité tirage urne

Les branches de droites forment la colonne des « sachants ».
Les probabilités tout à droite sont les « inter ».

P(boules rouges) = P(R1 inter R2)
= P(R1) × P(R2 sachant R1)
= 4/6 × 4/6
= 2/3 × 2/3
= 4/9

2) P(seconde boule noire) :

Rédaction :

P(seconde boule noire) = P(N2)
On retrouve N2 deux fois sur la colonne de droite donc :

R1 et N1 forment une partition de Ω.
D’après la Formule des Probabilités Totales,
P(N2) = P(R1 inter N2) + P(N1 inter N2)
= 4/6 × 2/6 + 2/6 × 1/5
= 2/3 × 1/3 + 1/3 × 1/5
= 2/9 + 1/15
= 10/45 + 3/45
= 13/45

3) P(première boule rouge sachant seconde noire) :

Rédaction :

P(première boule rouge sachant seconde noire) = P(R1 sachant N2)
= P(R1 inter N2)/P(N2)
= (4/6)/(13/45)
= 4/6 × 45/13
= 4/2 × 15/13 (en simplifiant par 3 en haut et en bas)
= 2×15/13
= 30/13

4) Expression de p en fonction de n :

Rédaction :

p est la probabilité de succès d’une épreuve.
Le succès est d’obtenir une boule rouge lors du tirage.
Il y a 4 boules rouges et n boules noires, soit (4+n) boules au total.
Comme les boules sont indiscernables au toucher, il y a équiprobabilité.
La probabilité d’obtenir une boule rouge (le succès) est donc le nombre de cas favorables divisé par le nombre total de cas.
Soit p = 4/(4 + n)

5) P(l’une au moins des quatre boules tirées soit noire) :

Rédaction :

On a du « au moins une », on doit donc raisonner en contraire.
Le contraire de « l’une au moins des quatre boules tirées soit noire » est « toutes les boules sont rouges » donc :

qn = P(l’une au moins des quatre boules tirées soit noire)
= 1 – P(X = 4)
= 1 – (Combinaison(n ; k) × pk × (1 – p)n-k)
= 1 – (Combinaison(4 ; 4) × p4 × (1 – p)4-4)
= 1 – (1 × p4 × (1 – p)0)
= 1 – (p4 × 1)
= 1 – p4
= 1 – (4/(4 + n))4

6) Plus petit entier naturel n, qn ≥ 0,9999 :

Rédaction :

qn ≥ 0,9999
⇔ 1 – (4/(4 + n))4 ≥ 0,9999
⇔ – (4/(4 + n))4 ≥ 0,9999 – 1
⇔ – (4/(4 + n))4 ≥ -0,0001
⇔ (4/(4 + n))4 ≤ 0,0001
⇔ (4/(4 + n)) ≤ 0,0001(1/4)
Comme tout est positif là, on enlève le puissance 4 à gauche, en faisant puissance 1/4 à droite.
4/(4 + n) ≤ 0,1
⇔ 4 ≤ 0,1 × (4 + n)
⇔ 4/0,1 ≤ 4 + n
⇔ 40 – 4 ≤ n
⇔ 36 ≤ n
⇔ n ≥ 36

36 est le plus petit entier naturel tel que qn ≥ 0,9999

Bonne compréhension,
Sylvain

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Corrigé précédent : Corrigé N°192 – Suites, limite, variation, algorithme – Terminale S

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Corrigé N°192 :

Exercice : Suites – Géométrique, limite, variation, algorithme – Terminale S

1) Affichage en sortie lorsque N = 3 :

Entrée Saisir le nombre entier naturel non nul N
Traitement Affecter à U la valeur 0 .
Pour k allant de 0 à N−1
Affecter à U la valeur 3U − 2k + 3
Fin Pour
Sortie Afficher U

Rédaction :

Je saisis N = 3.

U = 0.

Boucle pour k = 0 :
U = 3U − 2k + 3 = 3 × 0 – 2×0 + 3
Donc U = 3
FinPour

Boucle pour k = 1 :
U = 3U − 2k + 3 = 3 × 3 – 2×1 + 3
Donc U = 10
FinPour

Boucle pour k = 2 (on a bien N-1=2 là) :
U = 3U − 2k + 3 = 3 × 10 – 2×2 + 3
Donc U = 29
FinPour

Pas de nouvelle boucle

Afficher U : 29.

2) u1 et u2 :

u0 = 0 et
un+1 = 3un – 2n + 3

Rédaction :

u1 = u0+1 = 3u0 – 2×0 + 3
= 3 (ici n = 0).

u2 = u1+1 = 3u1 – 2×1 + 3
= 10 (ici n = 1).

3) Récurrence un ≥ n :

Rédaction :

Initialisation :
u0 = 0 ≥ 0.
La propriété est donc vrai au rang 0.

Hérédité :
On suppose que la propriété est vrai au rang k, soit uk ≥ k.
Montrons qu’elle est vraie au rang k+1, soit que uk+1 ≥ k+1.

Je fais « par construction ».
uk ≥ k
⇔ 3uk ≥ 3k
⇔ 3uk – 2k ≥ 3k – 2k
⇔ 3uk – 2k + 3 ≥ k + 3
⇔ uk+1 ≥ k + 3 ≥ k + 1 (car 3 ≥ 1)
⇔ uk+1 ≥ k + 1
La propriété est donc vraie au rang k+1.

Conclusion : L’initialisation et l’hérédité ont été prouvées donc la propriété
« un ≥ n » est vraie pour tout n entier plus grand ou égal à 0.

4) Limite de (un) :

Rédaction :

En regardant les données, on sait que un ≥ n.
La limite de n est +∞ quand n tend vers +∞, et tous les un sont plus grands ou égaux que n.
En utilisant le théorème de comparaison, comme la petit suite (n) tend vers +∞, alors la grande suite (un) tend aussi vers +∞.

5) MQ (un) est croissante :

Rédaction :

Pour déterminer la variation de (un), j’étudie le signe de un+1 – un.

Donc un+1 – un = 3un – 2n + 3 – un
= 2un – 2n + 3
De plus, un ≥ n.
Donc 2un – 2n + 3 ≥ 2n – 2n + 3
Donc un+1 – un ≥ 3 > 0.
Comme un+1 – un est strictement positif, la suite (un) est strictement croissante.

6) (vn) géométrique :

vn = un − n + 1

Rédaction :

Je dois montrer qu’il existe q réel tel que :
vn+1 = q × vn.

Alors je commence par :
Pour tout n, vn+1 = un+1 − (n+1) + 1
= 3un – 2n + 3 – (n+1) + 1
= 3un – 2n + 3 – n – 1 + 1
= 3un – 3n + 3
On voit le nombre 3 plusieurs fois.
= 3 × (un – n + 1)
= 3 × vn.

Il existe q réel (q = 3), tel que pour tout n entier, vn+1 = q × vn. Donc (vn) est une suite géométrique de raison 3 et de premier terme v0 = u0 – 0 + 1 = 1.

Donc vn = v0×qn
= 1 × 3n = 3n.

7) MQ un = 3n + n − 1 :

Rédaction :

vn = 3n et
vn = un − n + 1

Donc 3n = un − n + 1
Donc 3n + n – 1 = un.

8) N tel que un ≥ 10p :

Rédaction :

C’est la définition de la limite en +∞.
Pour tout A > 0, il existe un N0,
tel que pour tout n ≥ N0,
un > A.

Ici ce A est 10p et ce N0 est N.

9) MQ le plus petit N ≤ 3p :

Rédaction :

10 < 27 donc

10 < 33 donc
10p < (33)p
10p < 33p
10p < 33p + 3p – 1 (avec p non nul, 3p-1>0)
10p < u3p
On a déjà dépassé 10p avec 3p donc N ≤ 3p.

10) Déterminer, à l’aide de la calculatrice, cet entier N pour la valeur p = 3.

Rédaction :

1 + 0 – 1 = 0 < 1000

3 + 1 – 1 = 3 < 1000

9 + 2 – 1 = 10 < 1000

27 + 3 – 1 = 29 < 1000

81 + 4 – 1 = 94 < 1000

243 + 5 – 1 = 247 < 1000

729 + 6 – 1 = 734 < 1000

2187 + 7 – 1 = 2193 > 103

L’entier N est 7.

11) Algorithme :

Rédaction :

On veut comme résultat : La suite est égale ou dépasse 10p.
Donc on continue la boucle de calcul tant que ce n’est pas le cas.
Le Test du TantQue est donc le contraire de ≥.
On continue à augmenter le N et recalculer un
tant qu’il est < que 10p.

Entrée Saisir le nombre entier naturel non nul p
Traitement Affecter à N la valeur 0.
Tant que (3N + N – 1 < 10p)
N prend la valeur N+1
Fin Tant que
Sortie Afficher N

Bonne compréhension,
Sylvain

astuces exercices maths corrigé

Corrigé précédent : Corrigé N°234 – Algorithmique, tableau, boucle; tant que – Terminale S

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Corrigé N°163 :

1) Placer A0, A1, A2, A3, A4, A5 et A6 :

repère points milieu suite

2) Calculer a2, a3, a4, a5, et a6 :

Rédaction :

En utilisant la formule du milieu de seconde :

géométrie formule milieu segment

Pour les abscisses seulement ici :

a2 = (a0 + a1)/2
= (0 + 1)/2
= 1)/2

a3 = (a1 + a2)/2
= (0.5 + 1)/2
= 1.5/2
= 0.75
= 3/4

a4 = (a2 + a3)/2
= (0.5 + 0.75)/2
= 1.25/2
= (5/4)/2
= 5/8

a5 = (a3 + a4)/2
= (3/4 + 5/8)/2
= (6/8 + 5/8)/2
= (11/8)/2
= 11/16

a6 = (a4 + a5)/2
= (5/8 + 11/16)/2
= (10/16 + 11/16)/2
= (21/16)/2
= 21/32

3) Justifier l’égalité an+2 = (an + an+1)/2 :

Rédaction :

C’est la formule du milieu pour les abscisses. An+2 est le milieu de An et An+1 donc on fait la demi-somme (comme la formule de la question 3) avec an et an+1 comme abscisses pour obtenir l’abscisse an+2.

4) Démontrer par récurrence an+1 = (-1/2)an + 1 :

Rédaction :

Initialisation :

D’une part (membre de gauche),
a1 = 1.

D’autre part (membre de droite),
(-1/2)a0 + 1
= (-1/2) × 0 + 1 = 1.

On a bien :
a1 = (-1/2)a0 + 1
La propriété est vraie au rang n = 0.

Hérédité :

On suppose que la propriété est vraie au rang k. On a donc :
ak+1 = (-1/2)ak + 1

Montrons qu’elle est vraie au rang k+1, c’est à dire que
ak+2 = (-1/2)ak+1 + 1.

On sait que ak+2 = (ak + ak+1)/2

J’ai ak+2 en fonction de ak alors que je le veux en fonction de ak+1. Donc il faut remplacer le ak par du ak+1 dans le calcul.

On sait que ak+1 = (-1/2)ak + 1
Donc ak+1 – 1 = (-1/2)ak
Et (-2) × (ak+1 – 1) = ak (en multipliant par -2 de chaque côté).

D’où ak+2 = (ak + ak+1)/2
= ((-2) × (ak+1 – 1) + ak+1)/2
= (-2ak+1 + 2 + ak+1)/2
(en développant le (-2))
= (-1ak+1 + 2)/2
= (-1/2)ak+1 + 1
(en séparant les fractions « diviser par 2 », et comme 2/2 = 1).

La propriété est donc bien vraie au rang k+1. L’hérédité est prouvée.

Comme j’ai prouvé l’initialisation et l’hérédité, la propriété est vraie pour tout n.

Soit (vn) la suite définie, pour tout entier naturel n, par vn = an2/3.

5) Démontrer que (vn) est une suite géométrique de raison –1/2.

Rédaction :

Pour tout n entier naturel,
vn+1 = an+12/3
= (-1/2)an + 1 – 2/3
= (-1/2)an + 1/3
= (-1/2) × [ an + (1/3)/(1/2)]
= (-1/2) × [ an + 1/3 × (-2)]
= (-1/2) × [ an2/3]
= (-1/2) × vn

Il existe q ∈ R (q = –1/2) tel que pour tout n ∈ N :
vn+1 = q × vn,
donc la suite (vn) est géométrique de raison q = –1/2 et de premier terme
v0 = a02/3
= 0 – 2/3 = –2/3.

6) Déterminer la limite de la suite (vn), puis celle de la suite (an).

Rédaction :

La formule explicite d’une suite suite géométrique est :

formule explicite suite géométrique

Donc vn = v0 × qn – 0
= (-2/3) × (-1/2)n

lim[n→+∞] (-1/2)n = 0 car 0 < q < 1.

Par produit, lim[n→+∞] (-2/3) × (-1/2)n = 0 (car –2/3 × 0 = 0).

D’après les données : vn = an2/3.
Donc an = vn + 2/3

Du coup, par somme, lim[n→+∞] an = 2/3 (car 0 + 2/3).

Bonne compréhension,
Sylvain

astuces exercices maths corrigé

Corrigé précédent : Corrigé N°172 – Suites, somme, conjecture, récurrence – Terminale S

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