Corrigé N°244 :

Exercice : Limites – Fonctions, produit, quotient, sinus, infini – Terminale S

1) limx->+∞(f.g)(x) :

Rédaction :

Je vais essayer de trouver un contre-exemple. La fonction qui emmène la plupart des produits vers 0 en +∞, c’est e-x.

C’est la limite d’un produit donc l’un des facteurs tend vers +∞.
Prenons g(x) = x car x tend vers +∞ en +∞.
Prenons f(x) = e-x car un exponentiel est toujours strictement positif.
Je fais le produit e-x × x et on essaie de déterminer sa limite.

Or d’après le cours sur les fonctions exponentielles :
exponentiel moins dénominateur

f(x)g(x) = 1/ex × x
= x/ex.

C’est l’inverse de ex/x.
D’après le cours, pour tout n entier naturel :

limite croissance comparée exponentielle x puissance n

Donc par inverse pour n = 1, la limite de x/ex en +∞ vaut 0+.

Donc je réponds Non avec ce contre-exemple.

2) f(x)/x > 1 pour tout x > 0
et limx->+∞f(x) :

Rédaction :

f(x)/x > 1
donc f(x) > x (car on multiplie chaque membre par x qui est strictement positif).

Or la limite de x vaut +∞ quand x tend vers +∞.
D’après le théorème de comparaison,
comme f(x) est supérieur à x, et que x tend vers +∞,
alors f(x) tend vers +∞.

Alors Oui.

3) limx->+∞f(x) = -∞,
limx->+∞g(x) = -∞
et limx->+∞f(x)/g(x) = 1 :

Rédaction :

Là aussi, on va utiliser un contre-exemple avec -x3 et -x2.
Si -x3 est au-dessus de -x2, alors les « moins s’annulent » et la fraction vaut x : la limite est +∞.

Si -x3 est en dessous de -x2, alors les « moins s’annulent » et la fraction vaut 1/x : la limite est 0+.

Donc Non avec ce contre-exemple dessus-dessous.

4) f(x) = (sin 5x)/3x
et limite de f en 0 :

Rédaction :

Tiens, on a là du sinus en numérateur et du x en dénominateur . De plus, on cherche la limite en 0.

Cela nous ramène à une limite du cours :

limite fraction sinus numérateur

Dans le X du haut, c’est-à-dire dans le sinus, on a 5x. Donc X = 5x. Pour obtenir le (sin X)/X, il faut obtenir 5x au lieu de 3x au dénominateur.

Du coup, 3x = 5/5 × 3 × x
= 3/5 × 5 × x
= 3/5 × 5x.

sin(5x)/(3x)
= sin(5x)/(3/5 × 5x)
= 5/3 × sin(5x)/(5x) (diviser par une fraction, c’est multiplier par son inverse).

Or quand x tend vers 0, 5x tend aussi vers 0.
De plus, comme vu plus haut, la limite de sin(X)/X = 1.
Donc par composition, sin(5x)/(5x) tend vers 1.
Et par produit, la limite de 5/3 × sin(5x)/(5x) vaut 5/3 en 0.
Ce qui est la limite demandée.

Bonne compréhension,
Sylvain

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Corrigé N°170 :

Exercice : Probabilités – Conditionnelles, loi binômiale, suite – Terminale S

1) P(boules rouges) :

Rédaction :

On a 4 chances sur 6 d’obtenir une rouge au premier tirage (et 2 chances sur 6 d’avoir une noire).
Si on a une rouge et qu’on la remet, on obtient les mêmes chances pour le second tirage.
Par contre, si on a une noire et qu’on ne la remet pas, on aura 4 chances sur 5 d’avoir une rouge et 1 chance sur 5 d’avoir une noire.

J’obtiens l’arbre suivant :
arbre probabilité tirage urne

Les branches de droites forment la colonne des « sachants ».
Les probabilités tout à droite sont les « inter ».

P(boules rouges) = P(R1 inter R2)
= P(R1) × P(R2 sachant R1)
= 4/6 × 4/6
= 2/3 × 2/3
= 4/9

2) P(seconde boule noire) :

Rédaction :

P(seconde boule noire) = P(N2)
On retrouve N2 deux fois sur la colonne de droite donc :

R1 et N1 forment une partition de Ω.
D’après la Formule des Probabilités Totales,
P(N2) = P(R1 inter N2) + P(N1 inter N2)
= 4/6 × 2/6 + 2/6 × 1/5
= 2/3 × 1/3 + 1/3 × 1/5
= 2/9 + 1/15
= 10/45 + 3/45
= 13/45

3) P(première boule rouge sachant seconde noire) :

Rédaction :

P(première boule rouge sachant seconde noire) = P(R1 sachant N2)
= P(R1 inter N2)/P(N2)
= (4/6)/(13/45)
= 4/6 × 45/13
= 4/2 × 15/13 (en simplifiant par 3 en haut et en bas)
= 2×15/13
= 30/13

4) Expression de p en fonction de n :

Rédaction :

p est la probabilité de succès d’une épreuve.
Le succès est d’obtenir une boule rouge lors du tirage.
Il y a 4 boules rouges et n boules noires, soit (4+n) boules au total.
Comme les boules sont indiscernables au toucher, il y a équiprobabilité.
La probabilité d’obtenir une boule rouge (le succès) est donc le nombre de cas favorables divisé par le nombre total de cas.
Soit p = 4/(4 + n)

5) P(l’une au moins des quatre boules tirées soit noire) :

Rédaction :

On a du « au moins une », on doit donc raisonner en contraire.
Le contraire de « l’une au moins des quatre boules tirées soit noire » est « toutes les boules sont rouges » donc :

qn = P(l’une au moins des quatre boules tirées soit noire)
= 1 – P(X = 4)
= 1 – (Combinaison(n ; k) × pk × (1 – p)n-k)
= 1 – (Combinaison(4 ; 4) × p4 × (1 – p)4-4)
= 1 – (1 × p4 × (1 – p)0)
= 1 – (p4 × 1)
= 1 – p4
= 1 – (4/(4 + n))4

6) Plus petit entier naturel n, qn ≥ 0,9999 :

Rédaction :

qn ≥ 0,9999
⇔ 1 – (4/(4 + n))4 ≥ 0,9999
⇔ – (4/(4 + n))4 ≥ 0,9999 – 1
⇔ – (4/(4 + n))4 ≥ -0,0001
⇔ (4/(4 + n))4 ≤ 0,0001
⇔ (4/(4 + n)) ≤ 0,0001(1/4)
Comme tout est positif là, on enlève le puissance 4 à gauche, en faisant puissance 1/4 à droite.
4/(4 + n) ≤ 0,1
⇔ 4 ≤ 0,1 × (4 + n)
⇔ 4/0,1 ≤ 4 + n
⇔ 40 – 4 ≤ n
⇔ 36 ≤ n
⇔ n ≥ 36

36 est le plus petit entier naturel tel que qn ≥ 0,9999

Bonne compréhension,
Sylvain

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Corrigé précédent : Corrigé N°192 – Suites, limite, variation, algorithme – Terminale S

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Corrigé N°192 :

Exercice : Suites – Géométrique, limite, variation, algorithme – Terminale S

1) Affichage en sortie lorsque N = 3 :

Entrée Saisir le nombre entier naturel non nul N
Traitement Affecter à U la valeur 0 .
Pour k allant de 0 à N−1
Affecter à U la valeur 3U − 2k + 3
Fin Pour
Sortie Afficher U

Rédaction :

Je saisis N = 3.

U = 0.

Boucle pour k = 0 :
U = 3U − 2k + 3 = 3 × 0 – 2×0 + 3
Donc U = 3
FinPour

Boucle pour k = 1 :
U = 3U − 2k + 3 = 3 × 3 – 2×1 + 3
Donc U = 10
FinPour

Boucle pour k = 2 (on a bien N-1=2 là) :
U = 3U − 2k + 3 = 3 × 10 – 2×2 + 3
Donc U = 29
FinPour

Pas de nouvelle boucle

Afficher U : 29.

2) u1 et u2 :

u0 = 0 et
un+1 = 3un – 2n + 3

Rédaction :

u1 = u0+1 = 3u0 – 2×0 + 3
= 3 (ici n = 0).

u2 = u1+1 = 3u1 – 2×1 + 3
= 10 (ici n = 1).

3) Récurrence un ≥ n :

Rédaction :

Initialisation :
u0 = 0 ≥ 0.
La propriété est donc vrai au rang 0.

Hérédité :
On suppose que la propriété est vrai au rang k, soit uk ≥ k.
Montrons qu’elle est vraie au rang k+1, soit que uk+1 ≥ k+1.

Je fais « par construction ».
uk ≥ k
⇔ 3uk ≥ 3k
⇔ 3uk – 2k ≥ 3k – 2k
⇔ 3uk – 2k + 3 ≥ k + 3
⇔ uk+1 ≥ k + 3 ≥ k + 1 (car 3 ≥ 1)
⇔ uk+1 ≥ k + 1
La propriété est donc vraie au rang k+1.

Conclusion : L’initialisation et l’hérédité ont été prouvées donc la propriété
« un ≥ n » est vraie pour tout n entier plus grand ou égal à 0.

4) Limite de (un) :

Rédaction :

En regardant les données, on sait que un ≥ n.
La limite de n est +∞ quand n tend vers +∞, et tous les un sont plus grands ou égaux que n.
En utilisant le théorème de comparaison, comme la petit suite (n) tend vers +∞, alors la grande suite (un) tend aussi vers +∞.

5) MQ (un) est croissante :

Rédaction :

Pour déterminer la variation de (un), j’étudie le signe de un+1 – un.

Donc un+1 – un = 3un – 2n + 3 – un
= 2un – 2n + 3
De plus, un ≥ n.
Donc 2un – 2n + 3 ≥ 2n – 2n + 3
Donc un+1 – un ≥ 3 > 0.
Comme un+1 – un est strictement positif, la suite (un) est strictement croissante.

6) (vn) géométrique :

vn = un − n + 1

Rédaction :

Je dois montrer qu’il existe q réel tel que :
vn+1 = q × vn.

Alors je commence par :
Pour tout n, vn+1 = un+1 − (n+1) + 1
= 3un – 2n + 3 – (n+1) + 1
= 3un – 2n + 3 – n – 1 + 1
= 3un – 3n + 3
On voit le nombre 3 plusieurs fois.
= 3 × (un – n + 1)
= 3 × vn.

Il existe q réel (q = 3), tel que pour tout n entier, vn+1 = q × vn. Donc (vn) est une suite géométrique de raison 3 et de premier terme v0 = u0 – 0 + 1 = 1.

Donc vn = v0×qn
= 1 × 3n = 3n.

7) MQ un = 3n + n − 1 :

Rédaction :

vn = 3n et
vn = un − n + 1

Donc 3n = un − n + 1
Donc 3n + n – 1 = un.

8) N tel que un ≥ 10p :

Rédaction :

C’est la définition de la limite en +∞.
Pour tout A > 0, il existe un N0,
tel que pour tout n ≥ N0,
un > A.

Ici ce A est 10p et ce N0 est N.

9) MQ le plus petit N ≤ 3p :

Rédaction :

10 < 27 donc

10 < 33 donc
10p < (33)p
10p < 33p
10p < 33p + 3p – 1 (avec p non nul, 3p-1>0)
10p < u3p
On a déjà dépassé 10p avec 3p donc N ≤ 3p.

10) Déterminer, à l’aide de la calculatrice, cet entier N pour la valeur p = 3.

Rédaction :

1 + 0 – 1 = 0 < 1000

3 + 1 – 1 = 3 < 1000

9 + 2 – 1 = 10 < 1000

27 + 3 – 1 = 29 < 1000

81 + 4 – 1 = 94 < 1000

243 + 5 – 1 = 247 < 1000

729 + 6 – 1 = 734 < 1000

2187 + 7 – 1 = 2193 > 103

L’entier N est 7.

11) Algorithme :

Rédaction :

On veut comme résultat : La suite est égale ou dépasse 10p.
Donc on continue la boucle de calcul tant que ce n’est pas le cas.
Le Test du TantQue est donc le contraire de ≥.
On continue à augmenter le N et recalculer un
tant qu’il est < que 10p.

Entrée Saisir le nombre entier naturel non nul p
Traitement Affecter à N la valeur 0.
Tant que (3N + N – 1 < 10p)
N prend la valeur N+1
Fin Tant que
Sortie Afficher N

Bonne compréhension,
Sylvain

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Corrigé précédent : Corrigé N°234 – Algorithmique, tableau, boucle; tant que – Terminale S

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Corrigé N°234 :

Exercice : Algorithmique – Polynôme, tableau, boucle tant que – Terminale S

1) Faire fonctionner l’algorithme :

Rédaction :

On prend f(x) = x2 – 2.

J’applique l’algorithme à la main :

Entrées :

Lire a : a = 1
Lire b : b = 2
Lire b : p = 0.1

Traitement :

Test du tant que b-a>p soit 2-1>0.1 soit 1>0.1 : Vrai
On fait donc un tour de boucle.

c prend la valeur (a+b)/(2)
= (1+2)/(2)
= 3/(2)
= 1.5
donc c = 1.5

Test du si f(a)×f(c)<0 soit f(1)×f(1.5)<0 soit (-1)×0.5<0 : Vrai
Donc on va dans le alors
b prend la valeur c : b = 1.5
On sort du si et on remonte en début de boucle tant que.

Dans la ligne du tableau, on obtient a = 1, b = 1.5, c = 1.5

Test du tant que b-a>p soit 1.5-1>0.1 soit 0.5>0.1 : Vrai
On fait donc un tour de boucle.

c prend la valeur (a+b)/(2)
= (1+1.5)/(2)
= 2.5/(2)
= 1.25
donc c = 1.25

Test du si f(a)×f(c)<0 soit f(1)×f(1.25)<0 soit (-1)×(-0.4375)<0 : Faux
Donc on va dans le sinon
a prend la valeur c : a = 1.25
On sort du si et on remonte en début de boucle tant que.

Dans la ligne du tableau, on obtient a = 1.25, b = 1.5, c = 1.25

Test du tant que b-a>p soit 1.5-1.25>0.1 soit 0.25>0.1 : Vrai
On fait donc un tour de boucle.

c prend la valeur (a+b)/(2)
= (1.25+1.5)/(2)
= 2.75/(2)
= 1.375
donc c = 1.375

Test du si f(a)×f(c)<0 soit f(1.25)×f(1.375)<0 soit (-0.4375)×(-0.109375)<0 : Faux
Donc on va dans le sinon
a prend la valeur c : a = 1.375
On sort du si et on remonte en début de boucle tant que.

Dans la ligne du tableau, on obtient a = 1.375, b = 1.5, c = 1.375

Test du tant que b-a>p soit 1.5-1.375>0.1 soit 0.125>0.1 : Vrai
On fait donc un tour de boucle.

c prend la valeur (a+b)/(2)
= (1.375+1.5)/(2)
= 2.875/(2)
= 1.4375
donc c = 41.375

Test du si f(a)×f(c)<0 soit f(1.375)×f(1.4375)<0 soit (-0.4375)×(0.06640625)<0 : Vrai
Donc on va dans le alors
b prend la valeur c : b = 1.4375
On sort du si et on remonte en début de boucle tant que.

Dans la ligne du tableau, on obtient a = 1.375, b = 1.4375, c = 1.4375

Test du tant que b-a>p soit 1.4375-1.375>0.1 soit 0.0625>0.1 : Faux
On ne fait pas de tour de boucle et on va après.

Affichage :

« a =  » : 1.375
« b =  » : 1.4375
« c =  » : 1.4375
« p =  » : 0.1

2) Objectif de l’algorithme :

Rédaction :

A chaque fois, on coupe l’intervalle [a ; b] en deux et on calcule c au milieu. On sait qu’il y a un f(α) = 0 avec α dans cet intervalle.

Si le f(a) et le f(c) sont de même signe (f(a)×f(c)≥0), le f(α) = 0 n’est pas ici, donc le α est entre c et b. Du coup, on prend le nouvel intervalle est celui de droite [c ; b]. C’est pour ça que a prend la valeur c.

Si le f(a) et le f(c) sont de signes différents (f(a)×f(c)<0), le f(α) = 0 est pas ici, donc le α est entre a et c. Du coup, on prend le nouvel intervalle est celui de gauche [a ; c]. C'est pour ça que b prend la valeur c.

A chaque fois, l’intervalle est coupé en deux donc deux fois plus petit. On recommence tant que la taille de celui-ci est strictement plus grand que la précision p. Donc on s’arrête quand b-a≥p.

Quand on a un tout petit intervalle, on connait la valeur du α tel que f(α) = 0. La marge d’erreur est la taille de l’intervalle [a ; b].

3) Rôle de p :

Rédaction :

p est la précision du α. On fait tourner la boucle du tant que la largeur b-a de l’intervalle [a ; b] est strictement plus grande que p, et on termine l’algorithme quand la largeur de l’intervalle [a ; b] est plus petite ou égale à p.

Bonne compréhension,
Sylvain

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Corrigé précédent : Corrigé N°141 – Fonctions, variations, inverse, racine – Première S

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Corrigé N°280 :

Exercice : Exponentielle – Fonction, dérivées, limite, continuité – Terminale S

1) f’ et f ‘ ‘ :

Rédaction :

f(x) = x + 1 + xe-x
= x + 1 + u(x) × v(x)
avec u(x) = x
donc u'(x) = 1
avec v(x) = e-x
donc v'(x) = -e-x

f'(x) = 1 + 0 + u'(x) × v(x) + u(x) × v'(x)
= 1 + 1 × e-x + x × (-e-x)
= 1 + e-x – xe-x

f'(x) = 1 + e-x – u(x) × v(x)
avec les mêmes u(x) et v(x).

Donc f  »(x) = 0 – e-x – (u'(x) × v(x) + u(x) × v'(x))
= – e-x – (1 × e-x – xe-x)
= -2e-x + xe-x
= (x – 2)e-x.

2) Variation de f’ :

Rédaction :

x – 2 est négatif avant 2, puis positif après 2.
Un exponentiel est toujours strictement positif.

correction_280_a

car f'(0) = 1 + e-0 – 0e-0
= 1 + 1 + 0
= 2

et f'(2) = 1 + e-2 – 2e-2
= 1 – e-2.

3) Signe de f’ :

Rédaction :

D’après le tableau de variation, on voit que le minimum de la fonction est
1 – e-2 qui est strictement positif.
Donc f'(x) > 0 sur les réels positifs.

4) Limite de f en +∞ :

Rédaction :

f(x) = x + 1 + xe-x

lim[x → +∞] (x + 1) = +∞

Comme xe-x est positif sur R+, peu importe sa limite (0, une constante ou +∞), additionnée à la limite +∞ de (x + 1), on aura :

lim[x → +∞] f(x) = +∞

5) Variation de f :

Rédaction :

On sait que f'(x) est toujours positif sur R+, donc f est strictement croissante.
f(0) = 0 + 1 + 0e-0
= 1.

tableau signe dérivée variation fonction

6) Équation de la tangente (T) en 1 :

Rédaction :

L’équation d’une tangente est :

equation tangente courbe fonction point abscisse a

Donc ici y = f'(1)(x – 1) + f(1).

f'(1) = 1 + e-1 – 1e-1
= 1.

f(1) = 1 + 1 + 1e-1
= 2 + e-1.

Donc y = 1(x – 1) + 2 + e-1
y = x + 1 + e-1.

7) f(x) = 2, solution unique, valeur :

Rédaction :

* f est continue sur R+
* f est strictement croissante sur R+

f(0) = 1
lim[x → +∞] f(x) = +∞

* Donc 2 appartient à l’intervalle image [ 1 ; +∞ ]
soit [ f(0) ; lim[x → +∞] f(x)].

D’après le théorème des valeurs intermédiaire, l’équation f(x) = 2 admet une unique solution α sur R+.

On trouve α à l’aide de la calculatrice avec la tableur.
Tout d’abord, on part de 0 et on monte de 1 en 1 jusqu’à dépasser 2.
Donc 0 < α < 1 car on dépasse 2 dès l'abscisse x = 1.

Maintenant on va de 0.1 en 0.1 :

On dépasse 2 à partir de 0.7 donc 0.6 < α < 0.7



Maintenant on va de 0.01 en 0.01 :

On dépasse 2 à partir de 0.66 donc 0.65 < α < 0.66



Maintenant on va de 0.001 en 0.001 :

On dépasse 2 à partir de 0.659 donc 0.658 < α < 0.659



Je prends 0.659 comme valeur arrondie de α.



8) Cf et (T) :

courbe fonction droite tangente

Graphsketch.com

Cf est la courbe bleue et (T) la droite rouge qui est bien la tangente en 1.

Bonne compréhension,
Sylvain

astuces exercices maths corrigé

Corrigé précédent : Corrigé N°401 – Dérivation, polynômes, rationnelles – Terminale ES

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