Corrigé N°083 :

Exercice : Vecteurs et Géométrie 2D – Parallélogramme, points alignés – Seconde

A(-1 ; 4), B(-2 ; -4), D(2 ; -2) et E(5 ; 2).
1) C tel que ABCD parallélogramme :

Rédaction :

On veut ABCD parallélogramme.
Or :

vecteurs égaux parallélogramme

Donc on veut ->AB = ->DC

Comme on a les coordonnées des points A et B, on peut déjà calculer les coordonnées du vecteur ->AB avec la formule :

formule coordonnées vecteur

On peut mettre les parenthèses en ligne horizontale :
->AB(xB – xA ; yB – yA)
soit ->AB(-2 – (-1) ; -4 – 4)
soit ->AB(-2 + 1 ; -8)
soit ->AB(-1 ; -8)

De même pour ->DC :
->DC(xC – xD ; yC – yD)
soit ->DC(xC – 2 ; yC – (-2))
soit ->DC(xC – 2 ; yC + 2)

Comme les vecteurs sont égaux, leurs coordonnées sont égales. On a donc :

Pour les abscisses x :
-1 = xC – 2
⇔ xC – 2 = -1
⇔ xC = -1 + 2
⇔ xC = 1

Pour les ordonnées y :
-8 = yC + 2
⇔ yC + 2 = -8
⇔ yC = -8 – 2
⇔ yC = -10

Le point C a donc pour coordonnées (1 ; -10).
En recalculant les coordonnées du vecteur ->CD, on vérifie qu’elles valent bien
(-1 ; -8) et qu’elles sont égalent à celles de ->AB.

2) Centre I de ABCD :

Rédaction :
Comme I est le centre du parallélogramme ABCD, c’est le milieu des deux diagonales. En calculant les coordonnées du milieu de l’une ou l’autre des diagonales, on détermine le point I.

La formule du milieu d’un segment [AB] est :
géométrie formule milieu segment

Attention! Sur ton parallélogramme, les diagonales sont [AC] et [BD].
Calculons les coordonnées de I milieu de [BD] :

xI = (xB + xD)/2
= (-2 + 2)/2
= 0/2
= 0

yI = (yB + yD)/2
= (-4 – 2)/2
= -6/2
= -3

Les coordonnées du milieu I sont donc (0 ; -3). C’est le centre du parallélogramme.

3) J tel que ->JA = 3->JE :

Rédaction :

Pour déterminer les coordonnées du point J, il faut utiliser les coordonnées de vecteurs.

D’une part :
->JA(xA – xJ ; yA – yJ)
soit ->JA(-1 – xJ ; 4 – yJ)

D’autre part :
3->JE( 3×(xE – xJ) ; 3×(yE – yJ))
soit 3->JE(3×(5 – xJ) ; 3×(2 – yJ))
soit 3->JE(15 – 3xJ ; 6 – 3yJ)

Comme les deux membres de l’égalité sont égaux, les coordonnées en x et y sont égales.

Pour les x :
-1 – xJ = 15 – 3xJ
⇔ -1 + 2xJ = 15
⇔ -1 + 2xJ + 1 = 15 + 1
⇔ 2xJ = 16
⇔ xJ = 16/2 = 8

Pour les y :
4 – yJ = 6 – 3yJ
⇔ 4 + 2yJ = 6
⇔ 4 + 2yJ – 4 = 6 – 4
⇔ 2yJ = 2
⇔ yJ = 2/2 = 1

Les coordonnées de J sont donc (8 ; 1).

4) B, D et J alignés :

Rédaction :

B, D et J sont alignés si et seulement si les deux vecteurs ->BD et ->BJ sont colinéaires. (ou deux autres avec ces trois points)

Calculons ->BD :
->BD(xD – xB ; yD – yB)
soit ->BD(2 – (-2) ; -2 – (-4))
soit ->BD(2 + 2 ; -2 + 4)
soit ->BD(4 ; 2)
On a donc : x = 4 et y = 2.

Calculons ->BJ :
->BJ(xJ – xB ; yJ – yB)
soit ->BJ(8 – (-2) ; 1 – (-4))
soit ->BJ(8 + 2 ; 1 + 4)
soit ->BJ(10 ; 5)
On a donc : x’ = 10 et y’ = 5.

« Deux vecteurs de coordonnées (x ; y) et (x’ ; y’) sont colinéaires
si et seulement si
x’ × y – x × y’ = 0. »

Calculons x’ × y – x × y’
= 10 × 2 – 4 × 5
= 20 – 20
= 0.
Le résultat vaut 0, donc les vecteurs ->BD et ->BJ sont égaux
donc les points B, D et J sont alignés.

5) AB, AD et BD :

Rédaction :

On cherche à calculer des distances. Il y a une formule pour ça, la voici :

formule distance géométrie

AB = √[(xB – xA)2 + (xB – xA)2]
= √[(-2 – (-1))2 + (-4 – 4)2]
= √[(-2 + 1)2 + (-8)2]
= √[(-1)2 + (-8)2]
= √[1 + 64]
= √65

AD = √[(xD – xA)2 + (xD – xA)2]
= √[(2 – (-1))2 + (-2 – 4)2]
= √[(2 + 1)2 + (-6)2]
= √[(3)2 + (-6)2]
= √[9 + 36]
= √45

BD = √[(xD – xB)2 + (xD – xB)2]
= √[(2 – (-2))2 + (-2 – (-4))2]
= √[(2 + 2)2 + (-2 + 4)2]
= √[(4)2 + (2)2]
= √[16 + 4]
= √20

6) Nature du triangle ABD :

Rédaction :

On sait que AB = √65,
AD = √45
et BD = √20.

AB est le plus grand côté.
D’une part :
AB2 = (√65)2 = 65.
D’autre part :
AD2 + BD2
= (√45)2 + (√20)2
= 45 + 20
= 65.

On a bien AB2 = AD2 + BD2.

D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABD est rectangle en D avec [AB] comme hypoténuse.

7) Aire du parallélogramme ABCD :

Rédaction :

géométrie, vecteurs, milieux, triangles, parallèlogramme, triangle

Un parallélogramme est composé de deux triangles en surface. Ici le triangle ABD et le triangle BCD qui sont de même surface. On peut dire que l’aire de ABCD est le double de l’aire de ABD.
Or ABD est un triangle rectangle en D, la base et la hauteur sont donc les côtés qui bordent l’angle droit en D. On va dire que la base est AD et la hauteur BD. En effet, la base et la hauteur sont toujours perpendiculaires.

AireABD = (base × hauteur)/2
= (AD × BD)/2
= (√45 × √20)/2
= (√(9×5) × √(4×5))/2
= (√9 × √5 × √4 × √5)/2
= (3 × √5 × 2 × √5)/2
= (6 × √5 × √5)/2
= (6 × 5)/2
= (30)/2
= 15.

C’est l’aire des triangles, donc l’aire du parallélogramme ABCD est le double soit 30.

Bonne compréhension,
Sylvain

astuces exercices maths corrigé

Exercice précédent : Corrigé N°346 – Inéquations, factorisation, tableau de signe – Seconde

Ecris le premier commentaire

Corrigé N°063 :

Exercice : Vecteurs et Droites – Points alignés, équation, variable – Première S

1) Mq C, I et J sont alignés :

Rédaction :

C, I et J sont alignés, si et seulement si, les vecteurs ->CI et ->IJ sont colinéaires. J’ai donc besoin des coordonnées de ces vecteurs, donc je dois calculer les coordonnées de C, I et J avant.

Cette figure est composé de trois carrés dont celui de gauche ABGH. Comme ->AB et ->AH ne sont pas colinéaires (côtés du carré), on peut introduire le repère (A ; ->AB ; ->AH).

Cela veut dire que le point A a pour coordonnées (0 ; 0), B(1 ; 0) et H(0 ; 1).
Du coup, on a C(2 ; 0), D(3 ; 0), E(3 ; 1), F(2 ; 1) et G(1 ; 1).

Calculons les coordonnées du point I :

I est le milieu de [AG].
Les coordonnées d’un milieu pour deux points A et B sont :

géométrie formule milieu segment

Du coup, je calcule ceci pour [AG].

xI = (xA + xG)/2
= (0 + 1)/2
= 1/2

yI = (yA + yG)/2
= (0 + 1)/2
= 1/2

Du coup, les coordonnées de I sont (1/2 ; 1/2).

Calculons les coordonnées du point J :

L’abscisse de J est 1 car J est sur [BG] et [BG] relie deux points d’abscisses 1.
L’ordonnée de J est la distance qui le sépare de B, c’est à dire BJ, car l’ordonnée de B est de 0 et car (BJ) est parallèle à la droite (AH) avec ->AH le vecteur « ordonnées » du repère.

Pour calculer (BJ), on utilise le théorème de Thalès dans le triangle ADE avec :
* (DE)//(BJ),
* (BD) et (JE) sécantes en A,
* A,B,D puis A,J,E alignés dans le même sens.

Du coup, le rapport BJ/DE est égale à AB/AD qui est de 1/3 car [AD] c’est trois fois le côté [AB]. Comme DE = 1, on a BJ = 1/3, qui donne l’oordonnée du point J 1/3.

Du coup, J(1 ; 1/2).

Calcul des coordonnées des vecteurs ->CI et ->IJ :

xCI
= xI – xC
= 1/2 – 2
= –3/2

yCI
= yI – yC
= 1/2 – 0
= 1/2

xIJ
= xJ – xI
= 1 – 1/2
= 1/2

yIJ
= yJ – yI
= 1/31/2
= 2/63/6
= –1/6

Les deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées x et x’, puis y et y’ sont proportionnelles.

On a donc le tableau :
3/2 | 1/2
1/2 | –1/6

Les produits en croix sont :
3/2 × –1/6
= +3/12
= 1/4
Et :
1/2 × 1/2
= 1/4

Donc les produits en croix sont égaux, x’y – xy’ = 0, les coordonnées sont proportionnelles, donc les vecteurs ->CI et ->IJ sont colinéaires et les points C, I et J sont alignés.

2) Mq Dm est une droite :

Rédaction :

Quelque soit le m, l’équation mx + (2m – 1)y + 4 = 0
est de la forme ax + by + c = 0 qui est l’équation cartésienne d’une droite.

Du coup, les Dm sont des droites.

3) m tels que Dm parallèle aux axes:

Rédaction :

Dm est parallèle à l’axe des abscisses si l’équation
est de la forme y = constante.
Ce qui équivaut à y – constante = 0 en mode « équation cartésienne ».
Pour cela, il faut que le coefficient devant x, le « a » soit égal à zéro.
Ce coefficient est « m ». Du coup D1 est parallèle à l’axe des abscisses pour m = 0.

D1 est parallèle à l’axe des ordonnées si l’équation
est de la forme x = constante.
Ce qui équivaut à x – constante = 0 en mode « équation cartésienne ».
Pour cela, il faut que le coefficient devant y, le « b » soit égal à zéro.
Ce coefficient est (2m – 1). Du coup Dm est parallèle à l’axe des abscisses pour 2m – 1 = 0 soit m = 1/2.

4) Équation des droites D0 et D1 et point d’intersection :

Rédaction :

L’équation est mx + (2m – 1)y + 4 = 0.

D0 : 0x + (2 × 0 – 1)y + 4 = 0
⇔ – 1y + 4 = 0
⇔ y = 4.

D1 : 1x + (2 × 1 – 1)y + 4 = 0
⇔ x + 1y + 4 = 0.

Le point d’intersection, que j’appelle I, est à la fois sur D0 et D1 donc les coordonnées de I respectent à la fois les deux équations, donc le système suivant :

{ y = 4
{ x + y + 4 = 0
(Les deux petites accolades sont en fait une seule grande accolade)


{ y = 4
{ x + 4 + 4 = 0


{ y = 4
{ x + 8 = 0


{ y = 4
{ x = -8

Les coordonnées du point d’intersection I sont (4 ; -8).

5) Mq que Dm passe par un point fixe :

Rédaction :

Si toutes les droites Dm passent par un point fixe, c’est le point fixe qu’on vient de trouver juste au dessus. C’est à dire I(4 ; -8).

Je dois donc prouver que ce point I appartient à toutes les droites Dm. Donc que ses coordonnées vérifient l’équation-égalité Dm quel que soit le m.

Du coup, quel que soit m,
Gauche = mx + (2m – 1)y + 4
= m × (-8) + (2m – 1) × 4 + 4
= -8m + 8m – 4 + 4
= 0m + 0
= 0 = Droite.

Donc l’équation des droites Dm est vérifiée par ce point. Donc toutes les droites appartiennent à un point fixe quel que soit m.

Bonne compréhension,
Sylvain

Corrigé précédent : Corrigé N°062 – Vecteurs, droites, équation cartésienne – Première S

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Corrigé N°064 :

Exercice : Vecteurs et Droites – Formules, vecteurs, géométrie – Première S

1) ->AG = 2/3->AB. Mq 1/3->GA + 2/3->GB = ->0 :

Rédaction :

On part de la gauche pour espérer tomber sur le vecteur nul.

1/3->GA + 2/3->GB
= 1/3(-->AG) + 2/3(->GA + ->AB)
= 1/3(-->AG) + 2/3(-->AG + ->AB)
= –1/3->AG – 2/3->AG + 2/3->AB
= –->AG + 2/3->AB
= –2/3->AB + 2/3->AB
= ->0.

2) -5->HA + 6->HB + 9->HC = ->0. Mq ->AH = 3/5->AB + 9/10->AC :

Rédaction :

-5->HA + 6->HB + 9->HC = ->0
⇔ -5->HA + 6(->HA + ->AB) + 9(->HA + ->AC) = ->0
⇔ -5->HA + 6->HA + 6->AB + 9->HA + 9->AC = ->0
⇔ 10->HA + 6->AB + 9->AC = ->0
⇔ -10->AH + 6->AB + 9->AC = ->0
⇔ 6->AB + 9->AC = 10->AH
⇔ 10->AH = 6->AB + 9->AC
->AH = 6/10->AB + 9/10->AC
->AH = 3/5->AB + 9/10->AC

3) ->KA + 3->KC = ->0. ->AK en fonction de ->AC :

Rédaction :

->KA + 3->KC = ->0
->KA + 3->KC = ->0
->KA + 3(->KA + ->AC) = ->0
->KA + 3->KA + 3->AC = ->0
⇔ 4->KA + 3->AC = ->0
⇔ -4->AK + 3->AC = ->0
⇔ 3->AC = 4->AK
3/4->AC = ->AK
->AK = 3/4->AC

4) ->LA + 2->LB + 3->LC = ->0. Mq ->AL = 1/3->AB + 1/2->AC :

Rédaction :

->LA + 2->LB + 3->LC = ->0
->LA + 2(->LA + ->AB) + 3(->LA + ->AC) = ->0
->LA + 2->LA + 2->AB + 3->LA + 3->AC = ->0
⇔ 6->LA + 2->AB + 3->AC = ->0
⇔ -6->AL + 2->AB + 3->AC = ->0
⇔ 2->AB + 3->AC = 6->AL
⇔ 6->AL = 2->AB + 3->AC
->AL = 2/6->AB + 3/6->AC
->AL = 1/3->AB + 1/2->AC

5) Mq L milieu de [GC] :

Rédaction :

vecteur formule milieu demi-vecteur

L’idée est d’exprimer les vecteurs ->GL (à gauche) et 1/2->GC (à droite) en fonction des vecteurs non colinéaires ->AB et ->AC.

D’une part, ->GL = ->GA + ->AL
= –->AG + ->AL
= –2/3->AB + 1/3->AB + 1/2->AC
= –1/3->AB + 1/2->AC

D’autre part, 1/2->GC
= 1/2(->GA + ->AC)
= 1/2->GA + 1/2->AC
= 1/2->GA + 1/2->AC
= 1/2(-->AG) + 1/2->AC
= 1/2(-->AG) + 1/2->AC
= 1/2(-2/3->AB) + 1/2->AC
= –1/3->AB + 1/2->AC

Les coefficients devant ->AB et ->AC sont les même donc on a bien ->GL = 1/2->GC.

Du coup, L est bien le milieu de [GC].

6) Mq L, A, H alignés :

Rédaction :

L, A et H sont alignés si et seulement si les vecteurs ->AL et ->AH sont colinéaires.
Ils sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées x et x’, puis y et y’ sont proportionnelles.

Comme ces vecteurs sont exprimés en fonction des vecteurs non colinéaires ->AB et ->AC, on peut utiliser le repère (A ; ->AB ; ->AC). Les coordonnées x et y, puis x’ et y’ sont les coefficients devant ces vecteurs.

D’une part, ->AL = 1/3->AB + 1/2->AC.

Donc x = 1/3 et y = 1/2.

D’autre part, ->AH = 3/5->AB + 9/10->AC.

Donc x’ = 3/5 et y’ = 9/10.

On a donc le tableau :
1/3 | 1/2
3/5 | 9/10

Les produits en croix sont :
1/3 × 9/10
= 9/30 = 3/10
Et :
3/5 × 1/2
= 3/10.

Donc les produits en croix sont égaux, x’y – xy’ = 0, les coordonnées sont proportionnelles, donc les vecteurs ->AL et ->AH sont colinéaires et les points A, L et H sont alignés.

7) Mq L ∈ (KB) :

Rédaction :

L ∈ (KB)
si et seulement si, L, K et B sont alignés.

La lettre K se trouve dans la formule ->AK = 3/4->AC donc insérons un A dans ->BK avec la relation de Chasles.
Comme on a aussi ->AL, insérons un A dans ->BL.

L, K et B sont alignés si et seulement si ->BK et ->BL sont colinéaires. Regardons si leurs coordonnées dans le repère (A ; ->AB ; ->AC) sont proportionnelles.

D’une part, ->BK = ->BA + ->AK
= -1->AB + 3/4->AC.
Les coordonnées x et y sont -1 et 3/4.

D’autre part, ->BL = ->BA + ->AL
= -1->AB + 1/3->AB + 1/2->AC
= –2/3->AB + 1/2->AC.
Les coordonnées x’ et y’ sont –2/3 et 1/2.

Le tableau est :
-1 ; 3/4
2/3 ; 1/2

Les produits en croix sont :
-1 × 1/2
= –1/2
Et :
3/4 × –2/3
= –1/2.

Donc les produits en croix sont égaux, x’y – xy’ = 0, les coordonnées sont proportionnelles, donc les vecteurs ->BK et ->BL sont colinéaires et les points B, K et L sont alignés. Du coup, L appartient à (KB).

8) Que peut-on dire des droites (GC), (HA) et (KB) :

L appartient à (GC), à (HA) et à (KB) donc les trois droites se coupent en un même point L. Elles sont concourantes.

Bonne compréhension,
Sylvain

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Corrigé N°136 :

Exercice : Trigonométrie – Angles associés et formules vecteurs – Première S

1) Exprimer A = cos(x + 2π) – sin(π – x) + cos(π + x) – sin(-x) :

Tu vois quatre termes différents qu’il faut gérer en quatre étapes.

D’abord cos(x + 2π) :

Ajouter 2π à l’angle x, c’est faire un tour complet de cercle trigo et revenir à l’angle x.

trigonométrie tour complet cercle

Cela veut dire que le fait d’ajouter 2π, d’enlever 2&pPi;, ou des multiples de 2π (4&pPi;, 6π, etc) ne change à la valeur du cosinus (et du sinus).

On a donc comme formule : Pour tout x, cos(x + 2π) = cos(x).

Ensuite sin(π – x)

Dans les questions comme ça avec des π-x, des π+x, etc, il faut toujours se ramener un quart de cercle Nord-Est pour dessiner x. Ce quart Nord-Est représente le cos(x) et le sin(x).

trigonométrie quart nord est

J’attire ton attention sur une chose, tu vois cet angle x plus bas que haut, en dessous de π/4.
Il y a un trait horizontal qui fait la largeur en dessous de l’angle, c’est le cosinus en rouge.
Il y a un trait vertical qui fait la hauteur à gauche de l’angle, c’est le sinus en vert.
Les deux traits ont différentes longueurs ici.

Et comme l’angle est en haut à gauche, le sinus et le cosinus sont tous les deux positifs (indiqués par le signe +).

Maintenant, il faut dessiner π-x pour comparer ! C’est là que tu dois dessiner le cercle trigo avec x en haut à droite et le π-x.

pi moins x angle trigo

En haut à droite, tu retrouves l’angle x avec son cosinus rouge en largeur et son sinus vert ne hauteur.
Comme l’angle est à droite, le cosinus est positif (+).
Comme l’angle est au dessus de l’axe des abscisse, le sinus est positif (+).

Pour trouver l’emplacement π-x, tu vas tout à gauche puis tu remontes à l’envers pour enlever le x (du même écartement/angle) que le x à droite.

Là encore, il faut tracer le trait horizontal en dessous de l’angle. C’est la largeur cosinus(π-x) rouge.
Comme ce cosinus va vers la gauche de l’axe des ordonnées, il est négatif.

Là encore, tu peux tracer le trait vertical à côté de l’angle. C’est la hauteur sinus(π-x) vert. Comme ce sinus va au dessus de l’axe des abscisses, il est positif.

Il faut comparer les longueurs des traits cos(π-x) et sin(π-x) avec ceux de cos(x) et sin(x). Ces longueurs sont les valeurs !

On s’aperçoit que les traits des cosinus ont même longueur donc:
cos(π-x) = +cos(x) ou cos(π-x) = -cos(x).
On regarde les signes, l’un des cosinus est « moins-«  et l’autre est « plus+ ».
Du coup, cos(π-x) = -cos(x) car ils n’ont pas le même signe.

De plus, on s’aperçoit que les traits des sinus ont même longueur donc:
sin(π-x) = +sin(x) ou sin(π-x) = -sin(x).
On regarde les signes, les deux sinus sont « plus+ ».
Du coup, sin(π-x) = +sin(x) car ils sont de même signe.

Conclusion et Rédaction : D’après le cours, sin(π – x) = sin(x).

Puis cos(π + x)

Même méthode. On refait un cercle trigonométrique analogue au précédent. Cette fois, tu vas jusqu’à π à gauche et tu continues pour ajouter +x. Le sinus sera cette fois vers le bas car on repasse en dessous de l’axe des abscisses : il est donc négatif.

pi plus x trigonométrie

Il faut comparer les longueurs des traits cos(π+x) et sin(π+x) avec ceux de cos(x) et sin(x). Ces longueurs sont les valeurs !

On s’aperçoit que les traits des cosinus ont même longueur donc:
cos(π+x) = +cos(x) ou cos(π+x) = -cos(x).
On regarde les signes, l’un des cosinus est « moins-«  et l’autre est « plus+ ».
Du coup, cos(π+x) = -cos(x) car ils n’ont pas le même signe.

On s’aperçoit que les traits des sinus ont même longueur donc:
sin(π+x) = +sin(x) ou sin(π+x) = -sin(x).
On regarde les signes, l’un des sinus est « moins-«  et l’autre est « plus+ ».
Du coup, sin(π+x) = -sin(x) car ils n’ont pas le même signe.

Conclusion et Rédaction : D’après le cours, cos(π + x) = -cos(x).

Enfin sin(-x)

Dessine le cercle, c’est surtout la droite du cercle qui servira.

trigonométrie parité sinus et cosinus

Compare les cosinus de -x et x. Ils sont identiques car ils vont tous les deux vers la droite.
Compare les sinus de -x et x. Ils sont opposés car l’un va vers le haut et l’autre vers le bas.

Conclusion et Rédaction : D’après le cours, sin(-x) = -sin(x).

Rassemblons tout :

Rédaction :
A = cos(x + 2π) – sin(π – x) + cos(π + x) – sin(-x)
= cos(x) – sin(x) + (-cos(x)) – (-sin(x)) (d’après ce qu’on a vu plus haut)
= cos(x) – sin(x) – cos(x) + sin(x)
= 0.

Donc A = 0.

2) Exprimer B = 2sin(x + 5π) + cos(x + π/2) + cos(x) – 3sin(x + π/2) :

Tout d’abord sin(x + 5π) :

Comme vu plus haut, il y a trop de π dans 5π. Comme la fonction sinus est périodique de période &2pi;, on peut enlever des &2pi; sans problème.

Rédaction :
sin(x + 5π)
= sin(x + 3π) (car sin est 2pi;-périodique)
= sin(x + 1π) (car sin est 2pi;-périodique)
= sin(π + x)
= -sin(x) (d’après le cours et vu dans la question 1)).

Ensuite cos(x + π/2) :

Celui-là n’est pas facile, c’est reparti pour le dessin d’un cercle trigonométrique avec l’angle x en haut à droite. Comme on ajoute π/2), tu dessineras l’angle x+π/2 un quart de tour plus loin (car π/2 c’est un quart de tour et π c’est un demi-tour).

angle associé pi sur deux plus x

Comparons maintenant le cos(x + π/2) avec cos(x) et sin(x).
Si tu regardes de près les longueurs, celle de cos(x + π/2) en rouge est égale à celle de sin(x) en vert (les petites longueurs).
Or, cos(x + π/2 est vers la gauche, il est dans les « moins-« . Et sin(x) est vers le haut, il est dans les « plus+ ».

Donc ils ne sont pas de même signe. Du coup :
cos(x + π/2) = -sin(x)

Comparons maintenant le sin(x + π/2) avec cos(x) et sin(x).
Si tu regardes de près les longueurs, celle de sin(x + π/2) en vert est égale à celle de cos(x) en rouge (les grandes longueurs).
Or, sin(x + π/2 est vers le haut, il est dans les « plus+ ». Et cos(x) est vers la gauche, il est dans les « plus+ ».

Donc ils sont de même signe. Du coup :
sin(x + π/2) = cos(x)

Conclusion et Rédaction : D’après le cours, cos(x + π/2) = -sin(x).

Enfin sin(x + π/2) :

C’est la situation précédente.
Rédaction : D’après le cours, sin(x + π/2) = cos(x).

Rassemblons tout :

B = 2sin(x + 5π) + cos(x + π/2) + cos(x) – 3sin(x + π/2)
= 2(-sin(x)) + (-sin(x)) + cos(x) – 3cos(x) (d’après ce qu’on a vu précédemment)
= -3sin(x) – 2cos(x).

Donc B = -3sin(x) – 2cos(x).

3) Démontrer que : (->AB, ->AD) + (->DA, ->DC) + (->CD, ->CB) + (->BC, ->BA) = 0 :

Déjà, tu peux voir qu’il y a des vecteurs opposés. Ce serait bien de retrouver les mêmes vecteurs partout. Par exemple transformons ->DA = -sup>->AD.

Rédaction :
En partant du membre de gauche :
(->AB, ->AD) + (->DA, ->DC) + (->CD, ->CB) + (->BC, ->BA)
= (->AB, ->AD) + (-->AD, –->CD) + (->CD, –->BC) + (->BC, –->AB) (***)

Que faire avec les moins ?

Angles moins pi

Enlever un « moins- » à un vecteur, c’est prendre son opposé. La conséquence sur les angles est qu’on ajoute π car on fait un demi-tour supplémentaire en prenant l’opposé.

On voit sur le dessin que :
(->u, –->v) = (->u, ->v) + π.
Ajoutons π à chaque fois qu’on enlève un « moins- » à un vecteur.

Rédaction :
(***)
= (->AB, ->AD) + (->AD, ->CD) + π + π + (->CD, ->BC) + π + (->BC, ->AB) + π
= (->AB, ->AD) + (->AD, ->CD) + (->CD, ->BC) + (->BC, ->AB) + 4π
= (->AB, ->AD) + (->AD, ->CD) + (->CD, ->BC) + (->BC, ->AB) + 0 (car les multiples de 2π font des angles nuls)
= (->AB, ->CD) + (->CD, ->BC) + (->BC, ->AB) (avec la relation de Charles, on peut enlever les deux vecteurs ->AD qui se suivent car si tu vas de ->u vers ->v, puis de ->v vers ->w, c’est comme aller de ->u vers ->w)
= (->AB, ->BC) + (->BC, ->AB) (idem avec ->CD)
= (->AB, ->AB) (idem avec ->AB)
= 0 (car il n’y a pas d’angle entre deux fois le même vecteur).

Bonne compréhension,
Sylvain

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Corrigé N°121 :

Exercice : Vecteurs – Expressions, calculs, relation de Chasles – Seconde

1) Simplifier ->u = ->HF + ->SU + ->RS + ->UH :

Quand tu as une expression vectorielle, regarde si tu peux aligner les mêmes lettres les unes après les autres. Si un vecteur se termine par C (par exemple), essaie de voir si tu peux en trouver un autre qui commence par C. Regroupe les comme ci-dessous :

vecteur relation chasles

Cela veut dire que si tu pars d’un point A vers un point C, et que tu repars de ce même point C vers le point B ;;; c’est comme si tu partais du point A directement vers le point B. C’est le même déplacement car même départ et même arrivée.

relation chasles vecteurs

Du coup, avec ->u, mets les vecteurs en ordre en rapprochant les mêmes points.

Rédaction :
->u = ->HF + ->SU + ->RS + ->UH
= ->RS + ->SU + ->UH + ->HF
= ->RU + ->UH + ->HF
= ->RH + ->HF
= ->RF
Toutes les simplifications sont dues à la relation de Chasles.

2) Simplifier ->v = ->OC – ->OB + ->AB :

Tu vois le « moins- » devant ->OB ? Il te faut un « plus+ » pour refaire une éventuelle relation de Chasles. Pour cela, échange les lettres pour faire
->OB = +->BO

Rédaction :
->v = ->OC – ->OB + ->AB
= ->OC + ->BO + ->AB
= ->AB + ->BO + ->OC
= ->AO + ->OC
= ->AC
Toutes les simplifications sont dues à la relation de Chasles.

3) Avec ABCD parallélogramme de centre O, démontrer que 2->AB + 2->AD – ->AC = 2->AO :

Il te faut un dessin de parallélogramme.

parallélogramme vecteurs

Comme on veut arriver à du ->AO, il faut transformer
le ->AC en 2->AO car c’est une égalité du parallélogramme comme tu peux le voir sur le dessin.

De plus, la formule principale du parallélogramme donne :

vecteurs égaux parallélogramme

Tu peux donc remplacer ->AB par ->DC dans l’expression pour ne plus avoir le B.

Rédaction :
On part du membre de gauche pour arriver au droit.
2->AB + 2->AD – ->AC
= 2->DC + 2->AD – ->AC (car ABCD est un parallélogramme)
= 2->DC + 2->AD – 2->AO (car O est le milieu de [AC])
= 2->AD + 2->DC – 2->AO
= 2(->AD + ->DC) – 2->AO
= 2->AC – 2->AO
= 2×2->AO – 2->AO (car O est le milieu de [AC])
= 2->AO.
On arrive au membre de droit. Donc on a bien :
2->AB + 2->AD – ->AC = 2->AO.

4) Avec 3->MA + ->MB = ->0,
exprimer ->AM en fonction de ->AB :

Ici, on veut obtenir ->AM et ->AB à partir des vecteurs ->MA et ->MB.
->AM et ->MA sont opposés.
Mais dans ->MB, il n’y a ni ->AM, ni ->AB. Il manque le point A.
Quand il manque un point, il faut l’insérer avec la relation de Chasles.
Ici ->MB = ->MA + ->AB.

Rédaction :
3->MA + ->MB = ->0
⇔ -3->AM + ->MB = ->0
⇔ -3->AM + ->MA + ->AB = ->0
⇔ -3->AM – ->AM + ->AB = ->0
⇔ -4->AM + ->AB = ->0
⇔ -4->AM = –->AB
->AM = 1/4->AB (en divisant par -4).

5) Placer le point M sur une figure :

vecteur segment

Bonne compréhension,
Sylvain

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