Complexes – Équation, affixes, segment, angles, triangle -Terminale S

mai 13th, 2016

Category: Complexes, Géométrie 2D/3D et Repérage, Terminale S

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Exercice N°503 :

Le plan complexe est rapporté à un repère (O ; u ; v) orthonormal direct.
A tout point E du plan d’affixe F non nulle, on associe les points M’ et M’ ‘ d’affixes respectives z’ et z’ ‘ définies par z’ = iz et z’ ‘ = z2.

Cas particulier :

Soient A le point d’affixe a = 2 − i et B le point d’affixe b = 2 + i.
On appelle A’ et A’ ‘ les points associés à A.
On appelle B’ et B’ ‘ les points associés à B.

1) Déterminer, dans ℂ, les solutions de l’équation (E) ∶
z2 − 4z + 5 = 0.

2) Déterminer sous forme algébrique, les affixes a’ et a’ ‘ des points A’ et A’ ‘.
Prouver que A est le milieu du segment [A’A’ ‘].

3) Déterminer sous forme algébrique, les affixes b’ et b’ des points B’ et B”.

4) Calculer, sous sa forme algébrique, le quotient (b – b’ ‘)/(b – b’).

5) En déduire la nature du triangle BB’B’ ‘.
Représenter sur une figure, les points A, A’, A’ ‘, B, B’ et B’ ‘.

Cas général :

M est un point quelconque d’affixe z non nulle. N est le point d’affixe z (“barre” veut dire “conjugué”).
N’ et N’ ‘ sont les points associés au point N. On pose z = x + iy, où x ∈ ℝ et y ∈ ℝ.

6) Prouver que, si z ≠ 1, l’angle ^(MM’ ; MM’ ‘) a pour mesure un argument de
(z – 1)/(i – 1).

7) Déterminer une relation entre x et y pour que (z – 1)/(i – 1) soit réel.

8) Montrer que M, M’ et M’ ‘ sont alignés si et seulement si y = −x + 1 pour tout z ∈ ℂ.

Question toute trace de recherche :
On suppose z ≠ 1 et y = −x + 1.
9) Prouver que NN’N’ ‘ est un triangle rectangle en N .

Bon courage,
Sylvain

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