Complexes – Equation, fonction, distance, angle, cercle – Terminale S

mai 9th, 2016

Category: Complexes, Terminale S, Trigonométrie

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Exercice N°489 :

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (O ; u ; v), on appelle A le point d’affixe 1 et C le cercle de centre A et de rayon 1.
La figure sera réalisée sur une feuille de papier millimétré avec 4 cm pour unité graphique.

On considère l’équation
(E) : z2 − 2z + 2 = 0
où z est un nombre complexe. On appelle z1 et z2 les solutions de (E).

1) Résoudre l’équation (E) dans l’ensemble des nombres complexes ℂ.

On appelle M1 et M2 les points d’affixes respectives z1 et z2 dans le repère
(O ; u ; v).
2) Montrer que M1 et M2 appartiennent au cercle C.

On considère l’application f du plan complexe qui à tout point M d’affixe z distinct de A associe le point M′
d’affixe z′ définie par :

z′ = (2z − 1)/(2z − 2).

3) Placer le point A et tracer le cercle C sur une figure que l’on complètera au fur et à mesure.

4) Montrer que pour tout complexe z distinct de 1 on a :
(z′ − 1) (z − 1) = 1/2.

5) Montrer que pour tout point M distinct de A on a :
AM × AM′ = 1/2,

M′≠ A,

(u ; AM) + (u ; AM’) = 0 + 2kπ, où k est un entier relatif.

On considère le point P d’affixe zP = 1 + eiπ/4.

4) Construire le point P.

5) En utilisant la question 3, expliquer comment construire le point P′, image de P par f, et réaliser cette
construction.

Question trace de recherche : Soit un point M appartenant à la droite D d’équation x = 3/4. Soit M′ son image par f.

6) Montrer que le point M′ appartient au cercle C′ de centre O de rayon 1.

7) Tout point de C′ a-t-il un antécédent par f ?

Bon courage,
Sylvain

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Exercice précédent : Géométrie Espace – Repère, coordonnées, paramétrique – Terminale S

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