Complexes – Fonctions, ensembles, argument, droites – Terminale S

mai 9th, 2016

Category: Complexes, Géométrie 2D/3D et Repérage, Terminale S

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Exercice N°494 :

Le plan est rapporté au repère orthonormal (O, u, v). Unité graphique : 3 cm.

A tout point M d’affixe z du plan, on associe le point M′ d’affixe z′ par l’application f qui admet pour écriture
complexe :
z′ = ((3 + 4i)z + 5z)/6.

On considère les points A, B, C d’affixes respectives
zA = 1 + 2i,
zB = 1
et
zC = 3i.

1) Déterminer les affixes des points A′, B′, C′ images respectives de A, B, C par f. Placer les six points.

On pose z = x + iy (avec x et y réels).
2) Déterminer les parties réelle et imaginaire de z′ en fonction de x et y.

Question trace de recherche :
Un point M est dit invariant par l’application f, lorsque f(M) = M.
3) Montrer que l’ensemble des points M invariants par f est la droite (D) d’équation
y = 1/2 x.
Tracer (D). Quelle remarque peut-on faire ?

Soit M un point quelconque du plan et M′ son image par f.

4) Montrer que M′ appartient à la droite (D).

5) Montrer que, pour tout nombre complexe z :
(z’ – z)/zA
est un nombre réel.

6) En déduire que, si M′ ≠ M, les droites (OA) et (MM′) sont parallèles.

7) Un point quelconque N étant donné, comment construire son image N′?
(on étudiera deux cas suivant que N
appartient ou non à (D)).
Effectuer la construction sur la figure.

Bon courage,
Sylvain

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