Complexes – Suite, géometrie, angles, points, somme – Terminale S

mai 13th, 2016

Category: Complexes, Géométrie 2D/3D et Repérage, Terminale S

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Exercice N°502 :

Le plan complexe est muni d’un repère (O ; u ; v).
On considère les nombres complexes zn définis, pour tout entier naturel n,
par z0 = 1 et zn+1 = ( 3/4 + i√3/4 )×zn.

On note An le point d’affixe zn.

ligne brisée suites complexes

1) Donner la forme trigonométrique et la forme exponentielle du nombre complexe a = 3/4 + i√3/4.

2) Montrer que, pour tout n ∈ ℕ,
OAn+1 = √3/2×OAn.
En déduire la longueur OAn en fonction de n.

3) Montrer que, pour pour tout n ∈ ℕ,
(OAn ; OAn+1) = π/6 ( modulo 2π )
et
(An+1O ; An+1An) = π/2 ( modulo 2π ).

En déduire une construction rapide, sur la figure 1, des 12 points suivants A13 jusqu’à A24 . (Expliquez votre méthode).

4) Exprimer l’angle (OA0 ; OAn) en fonction de n et en déduire pour quelles valeurs de n, les points O, A0 et An sont alignés.

On désire calculer la longueur de la ligne polygonale de sommets successifs A0, A1, …, An.
On note cette longueur Ln = Σ[k de 0 à n−1]AkAk+1.

5) Montrer que AkAk+1 = ∣a − 1∣×OAk.

6) En déduire Ln en fonction de n. (On utilisera la somme géométrique).

7) Déterminer la limite de Ln quand n tend vers +∞.

Bon courage,
Sylvain

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Exercice précédent : Complexes – Degré 3, triangle, vecteurs, droite, cercle – Terminale S

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