Continuité – Fonction, variation, signe, solution unique – Terminale ES

octobre 11th, 2014

Category: Dérivées et Intégrales, Fonctions, Terminale ES

Exercice N°398 :

Le nombre x ∈ [1 ; 20] désigne un prix en centaine d’euros.

La fonction f représente, en fonction du prix x de l’article, la demande des clients (la quantité d’articles qu’ils sont prêts à acheter à ce prix) . Elle est représentée en traits pleins.

La fonction g représente, en fonction du prix x d’un article, l’offre d’un vendeur (la quantité d’articles qu’il est prêt à vendre à ce prix). Elle est tracée en trait pointillés.

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Par lecture graphique déterminer :

1) Les sens de variation respectifs de f et g sur l’intervalle [1 ; 20].

2) Pour un prix de 500€, le nombre de clients non satisfaits (qui n’ont pas pu acheter l’article faute de quantités vendues suffisantes). Expliquer brièvement.

3) Le prix d’équilibre α : prix pour lequel l’offre et la demande sont égales.

4) Le tableau de signes de f(x) − g(x) sur l’intervalle [1 ; 20].

5) Justifier par le calcul que g(x) = 200x + 2000 (on utilisera des points de la droite dont les coordonnées sont simples).

La fonction demande f est donnée pour x ∈ [1 ; 20] par
f(x) = 2x3 − 63x2 + 68x + 8000.
Pour tout x ∈ [1; 20], on pose d(x) = f(x) − g(x).

6) Calculer d(5) et interpréter le résultat.

7) Montrer que d'(x) = 6x2 − 126x − 132 pour x ∈ [1; 20] et dresser le tableau de variations de d sur l’intervalle [1 ; 20].

8) Démontrer que l’équation d(x) = 0 admet une solution unique
α ∈ [1 ; 20].

9) A l’aide de la calculatrice, donner une valeur approchée de α à 10−2 près, puis le prix d’équilibre à l’euro près ainsi que la quantité d’objets échangés à ce prix.

10) En déduire, le tableau de signes de d(x) (on justifiera l’ordre des signes) et la position relative des courbes représentatives de f et de g sur l’intervalle [1 ; 20].

On cherche à optimiser l’argent total (la recette) encaissé par les commerçants par la vente de l’article. On note R(x) cette somme en centaine d’euros.

11) Expliquer pourquoi, si x est le prix de l’article en centaine d’euros, on a R(x) = xf(x).

12) A l’aide de la calculatrice et en choisissant une fenêtre adaptée, déterminer le prix, à l’euro près, qui maximise R(x).

Bon courage,
Sylvain

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Recherches utilisées pour trouver cet articlela fonction g représente loffre dun vendeur

2 commentaires

  • Achard Bastien dit :

    Bonjour, j’ai fait l’exercice afin de réviser mon devoir de rentrée. Serait-il possible d’avoir le corriger afin que je puisse regarder mes erreurs (si j’en ai fait bien sûr). Je vous remercie d’avance

    • Sylvain dit :

      Bonjour,

      1) Les sens de variation respectifs de f et g sur l’intervalle [1 ; 20] sont croissante pour l’offre g et décroissante pour la demande f.

      2) Le nombre de clients non satisfaits sont la “demande – l’offre” car ceux qui ont eu leur produit sont satisfaits. Donc c’est f(5 centaines) – g(5 centaines) = 7000 – 3000.

      3) Alpha = 10,5 centaines d’euros car l’offre est égale à la demande (intersection des courbes).

      4) Signe de f(x) – g(x) : positif avant 10,5 (car Cf au dessus de Cg). Négatif après 10,5 (car Cf en dessous de Cg).

      5) Il faut d’abord trouver le coefficient directeur avec deux points et (yB – yB)/(xB -xA). Puis déterminer l’ordonnée à l’origine b = yA – m*xA. Ou b = yB – m*xB.

      6) d est la demande non satisfaite (ceux qui n’ont pas eux le produit c’est à dire la demande totale moins l’offre). d(5) = 4015 sauf erreur de calcul. La demande non satisfaite pour un prix de 500 euros est de 4015.

      7) Une dérivée classique de polynôme. On part de d(x) = f(x) – g(x) et multiplie chaque terme par l’exposant qu’on diminue de 1.

      8) Théorème des valeurs intermédiaires : il faut dire que d est continue car polynôme, strictement décroissante, 0 appartient à l’intervalle [d(20) ; d(1)]. Donc il existe un unique alpha appartenant à cet intervalle tel que d(x) = 0.

      9) Tableur classique de la calculette.

      10) En dessous du tableau de variation de d, on fait une ligne du tableau de signe de d(x). Place 0 sur la flèche de variation de d en dessous du alpha.
      Dans le tableau de signe, tu mettras + 0 – car la flèche de variation part du haut et va vers le bas.

      Du coup, Cf est au dessus de Cg avant le alpha et en dessous après le alpha (signe de f(x) – g(x)). Point d’intersection au milieu.

      11) Une recette, c’est toujours le nombre d’articles vendus fois le prix. Or si on optimise, le nombre d’articles vendus est la demande f(x). Et le prix, c’est x.
      Donc R(x) = f(x)*x.

      12) Il faut jouer avec la fenêtre de la calculette. xmin, xmax, ymin, ymax, le zoom.

      Est-ce que ça va ?
      Sylvain


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