Convexité – Courbe, tangente, position, inflexion – Terminale ES

novembre 11th, 2013

Category: Dérivées et Intégrales, Fonctions, Terminale ES

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Exercice N°310 :

Soit la fonction définie sur [ 1 ; 5 ] par f(x) = x3 – 6x² + 11x – 8.
On note Cf la courbe représentative de f.

1) Déterminer l’équation réduite de la tangente T2 à la courbe Cf au point d’abscisse 2.

d est la fonction définie par d(x) = f(x) – (-x).
2) Montrer que d(x) = (x – 2)3.

3) Étudier le signe de cette différence d(x).

4) En déduire la position relative de la courbe Cf par rapport à la droite T2.

5) Que représente le point de coordonnées (2 ,f(2)) pour la courbe ? Justifier.

6) Étudier le signe de la dérivée seconde f’ ‘(x). En déduire une nouvelle démonstration de la réponse obtenue à la question 5).

Bonus : on considère une fonction g deux fois dérivable sur un intervalle I.
7) Si g’ est positive alors g est convexe sur I. Vrai ou faux ?

8) Si g est une fonction trinôme (g(x) = ax² + bx + c avec a ≠ 0) alors Cg n’admet aucun point d’inflexion. Vrai ou faux ?

9) Si g est convexe sur I, alors g’ ne peut pas changer de signe. Vrai ou faux ?

Bon courage,
Sylvain

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Exercice précédent : Convexité – Fonction polynôme, tangente, inflexion – Terminale ES

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