Convexité – Fonction, pourcentage, inflexion, tangente – Terminale ES

novembre 11th, 2013

Category: Dérivées et Intégrales, Fonctions, Terminale ES

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Exercice N°305 :

Le tableau ci-dessous représente l’évolution du taux d’endettement des ménages, en pourcentage du revenu disponible brut, en France de 2001 à 2010.

exo305_a

Une estimation de l’évolution du taux d’endettement des ménages est modélisée par la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 11] par : f(x) = −0,04x3 + 0,68x² − 0,06x + 51,4 où x est le nombre d’années écoulées depuis 2000.
Ainsi, le taux d’endettement des ménages en % à la fin du premier semestre 2003 est estimé par f(2,5).

exo305_b

1) Calculer la valeur estimée du taux d’endettement des ménages en 2009.

2) Calculer le pourcentage d’erreur par rapport au taux réel d’endettement des ménages en 2009.

3) Calculer f'(x) et dresser le tableau de variations de f.

4) Calculer f’ ‘(x) et déterminer les intervalles sur lesquels f est convexe ou concave.

5) Montrer que Cf admet un point d’inflexion et déterminer l’équation de la tangente à C en ce point.

6) En déduire la position relative de cette tangente avec C.

Le rythme de croissance instantané du taux d’endettement est assimilé à la dérivée de la fonction f.
7) Au cours de quelle année, le rythme de croissance du taux d’endettement a-t-il commencé à diminuer ?

Bon courage,
Sylvain

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