Corrigé N°016 – Équations et ensembles de points – Première S

août 28th, 2016

Category: Corrigé et Astuces, Equations et Inéquations, Première S, Vecteur et Produits Scalaires

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Correction N°016 :

Exercice : Produits scalaires – Équations et ensembles de points – Première S

1) Montrer que M ∈ C ⇔ MI2 = 25.

Ici, on a du MA et du MB, cela fait deux vecteurs différents et il serait mieux d’avoir un seul vecteur avec le point M.
Du coup, l’astuce habituelle est de prendre le point I le milieu de [AB]et de le mettre au milieu des vecteurs précités avec la relation de Chasles.

MA.MB = 16
⇔ (MI + IA).(MI + IB) = 16

L’idée est de développer avec la double distributivité qui marche avec les “.” comme les “×”.

MI.MI + MI.IB + IA.MI + IA.IB = 16

Quand on fait le produit scalaire de deux fois le même vecteur, cela donne la distance au carré, on enlève les flèches.

⇔ MI2 + MI.IB + IA.MI + IA.IB = 16

On peut inverser les vecteurs dans un produit scalaire pour avoir les MI devant.

⇔ MI2 + MI.IB + MI.IA + IA.IB = 16

Là, il faut factoriser par MI devant IB et IA.

⇔ MI2 + MI.(IB + IA) + IA.IB = 16

Comme I est le milieu de [AB], on a donc IB + IA = 0. On peut donc enlever le MI.0 car cela donne 0.

⇔ MI2 + IA.IB = 16

produit scalaire vecteurs opposés

Les vecteurs IA et IB sont diamétralement opposés donc quand on fait le produit scalaire, cela donne IA × IB × (-1)
= AB/2 × AB/2 × (-1) (car IA et IB valent la moitié de AB).
= 6/2 × 6/2 × (-1)
= -9.

On obtient donc :

⇔ MI2 – 9 = 16
⇔ MI2 = 25

2) Déterminer alors précisément l’ensemble C :

On a donc MI = 5 car on est en géométrie donc on reste dans les nombre positifs.
Du coup, M est a distance de 5 du point I.

L’ensemble C des points vérifiant MA.MB = 16 est le cercle de centre I milieu de [AB] et de rayon 5.

3) En utilisant les coordonnées des vecteurs, déterminer précisément l’ensemble D des points M du plan tels que AM.BC = 3 :

A(-1 ; 2), B(2 ; -2), C(-2 ; -1) d’après l’énoncé.

On va utiliser la formule du cours avec les coordonnées :

xx’ + yy’

Pour les coordonnées du vecteur BC,
on fait x’ = xC – xB = -2 – 2 = -4
et y’ = yC – yB = -1 – (-2) = 1

Pour les coordonnées du vecteur AM,
on fait x = xM – xA = xM – (-1) = xM + 1
et y = yM – yA = yM – 2.

On obtient donc xx’ + yy’ = 3
⇔ (xM + 1)×(-4) + (yM – 2)*1 = 3
⇔ -4xM – 4 + yM – 2 = 3
⇔ -4xM + yM – 6 – 3 = 0

L’ensemble D des points M est la droite d’équation cartésienne
-4x + y – 9 = 0 avec x et y les coordonnées des points de la droite.

Bonne compréhension,
Sylvain

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