Corrigé N°106 – Équations, inéquations, factorisations – Seconde

septembre 6th, 2016

Category: Corrigé et Astuces, Equations et Inéquations, Factorisation et Développement, Seconde

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Corrigé N°106 :

Exercice : Equations et inéquations – Factorisations et résolutions – Seconde

1) 7,5(x – 0,1) + 2,5 = 3,5(x + 1,1) :

Cette équation-égalité ne contient pas de “carré”, il n’y a pas d’exposant 2, pas de multiplication de parenthèses contenant du “x” avec des parenthèses contenant du “x”. Du coup, il n’y a pas de second degré. On développe tout en distribuant 7,5 et 3,5 sur la parenthèse avec la formule :

distributivité développement

Distributivité développement moins

Rédaction :

⇔ 7,5(x – 0,1) + 2,5 = 3,5(x + 1,1)
⇔ 7,5×x – 7,5×0,1 + 2,5 = 3,5×x + 3,5×1,1
⇔ 7,5x – 0,75 = 3,5x + 3,85
⇔ 7,5x – 3,5x = 3,85 – 0,75 (en soustrayant pour avoir les “x” à gauche et le reste à droite)
⇔ 4x = 3,1
⇔ 4x/4 = 3,1/4 (en divisant par le coefficient multiplicateur devant x)
⇔ x = 0,775

Donc S = {0,775}.

2) (x – 5)(2 – 3x) = 0 :

C’est une équation au produit nul.

Rédaction :
Un produit est nul si au moins l’un des facteurs est nul.
(x – 5)(2 – 3x) = 0
⇔ x-5 = 0 ou 2-3x = 0
⇔ x = 5 ou -3x = -2
⇔ x = 5 ou x = (-2)/(-3) = 2/3

S = {5 ; 2/3}

3) x2 + 10x + 25 = 0 :

Ceci est une équation-égalité avec du “carré”. Du coup, tu ne peux pas séparer les x avec le reste. Du moins, cela ne sert à rien. Il faut donc factoriser. Ici, il n’y a pas de facteur commun car pas de “x” dans le “25”.

Tu peux utiliser les identités-égalités remarquables. Comme il y a 3 termes : x2, 10x et 25. Et que c’est un “plus+” devant le second terme, on prend la première dans le sens de la factorisation :

factoriser première identité remarquable

Rédaction :

Le x2 = a2 donc x = a.
Le 25 = b2 qui est 52 donc b = 5.
x2 + 10x + 25 = 0 (de la forme a2 + 2ab + b2 = 0)
⇔ (a + b)2 = 0
⇔ (x + 5)2 = 0
⇔ (x + 5)(x + 5) = 0
⇔ (x + 5) = 0 ou (x + 5) = 0 (règle du produit nul)
⇔ x = -5 ou x = -5

S = {-5}.

4) (x – 3)(2x – 5) – (x – 3)(5x – 4) = 0 :

Ici, on multiplie des parenthèses contenant “x” avec d’autres parenthèses contenant “x”, c’est donc une équation-égalité du second degré qu’on peut factoriser (tu dois toujours essayer de factoriser).

Le premier terme est (x – 3)(2x – 5). Il y a un “moins”. Le second terme est (x – 3)(5x – 4).
On peut déjà regarder s’il y a un facteur commun. Oui, c’est : (x – 3).

On application donc la formule de la distributivité vue au dessus dans le sens de la factorisation :
K×A – K×B = K×(A – B) avec
K = (x – 3)
A = (2x – 5)
B = (5x – 4)

Rédaction :
(x – 3)(2x – 5) – (x – 3)(5x – 4) = 0
⇔ (x – 3) × [ (2x – 5) – (5x – 4) ] = 0
⇔ (x – 3) × [ 2x – 5 – 5x + 4] = 0
⇔ (x – 3) × (-3x – 1) = 0
⇔ (x – 3) = 0 ou (-3x – 1) = 0 (règle du produit nul)
⇔ x = 3 ou -3x = 1
⇔ x = 3 ou x = -1/3 (en divisant la second égalité par -3)

S = {3 ; -1/3}

5) (2x + 1)2 = (2x + 1)(x – 3) :

Dans celle-ci, il y a du “carré avec l’exposant 2. Pas possible de t’en sortir en séparant les “x” du reste. Du coup, passe tout à gauche en soustrayant le membre de droite.

(2x + 1)2 = (2x + 1)(x – 3)
⇔ (2x + 1)2 – (2x + 1)(x – 3) = 0
⇔ (2x + 1)(2x + 1) – (2x + 1)(x – 3) = 0 (comme il y a (2x + 1) dans les deux termes, j’explicite le “carré” en deux facteurs pour retrouver le facteur commun K = (2x + 1) avec A = (2x + 1) et B = (x – 3)).
⇔ (2x + 1) × [ (2x + 1) – (x – 3) ] = 0
⇔ (2x + 1) × [ 2x + 1 – x + 3 ] = 0
⇔ (2x + 1) × [ x + 4 ] = 0
⇔ (2x + 1) = 0 ou [ x + 4 ] = 0 (règle du produit nul)
⇔ 2x = -1 ou x = -4
⇔ x = -1/2 ou x = -4 (en divisant la première égalité par 2)

S = {-1/2 ; -4}

6) (3 + 5x)2 – (4x – 7)(3 + 5x) = 0 :

C’est le même type de factorisation avec (3x + 5) en facteur commun K.

Rédaction :
(3 + 5x)2 – (4x – 7)(3 + 5x) = 0
⇔ (3 + 5x)(3 + 5x) – (4x – 7)(3 + 5x) = 0
⇔ (3 + 5x) × [(3 + 5x) – (4x – 7)] = 0
⇔ (3 + 5x) × [ 3 + 5x – 4x + 7] = 0
⇔ (3 + 5x) × [ 3 + 5x – 4x + 7] = 0
⇔ (3 + 5x) × [ 10 + x ] = 0
⇔ (3 + 5x) = 0 ou [ 10 + x ] = 0 (Un produit de facteur est nul si au moins l’un de ces facteurs est nul)
⇔ 5x = -3 ou x = -10
⇔ x = -3/5 ou x = -10 (en divisant par 5 dans la première)

S = {-3/5 ; -10}

7) (7x + 1)2 = (4 – 8x)2 :

Comme tu as du carré dans cette équation, je te conseille vivement de soustraire par le membre de droite pour retrouver tout à gauche.
(7x + 1)2 = (4 – 8x)2
⇔ (7x + 1)2 – (4 – 8x)2 = 0

Tu n’as pas de facteur commun pour factoriser, c’est donc une identité remarquable avec deux termes. Le premier est (7x + 1)2 et le second est (4 – 8x)2. Il y a un “moins” au milieu. C’est donc la troisième identité dont la formule est :

factoriser troisième identité remarquable

Le A vaut (7x + 1) et le B vaut (4 – 8x).

Rédaction :
(7x + 1)2 = (4 – 8x)2
⇔ (7x + 1)2 – (4 – 8x)2 = 0
⇔ [ (7x + 1) + (4 – 8x)] × [ (7x + 1) – (4 – 8x)] = 0
⇔ [ 7x + 1 + 4 – 8x ] × [ 7x + 1 – 4 + 8x] = 0
⇔ [ -x + 5 ] × [ 15x – 3] = 0
⇔ [ -x + 5 ] = 0 ou [ 15x – 3] = 0 (règle du produit nul)
⇔ -x = -5 ou 15x = 3
⇔ x = 5 ou x = 3/15 = 1/5 (en divisant les égalités par -1, puis 15 dans la seconde)

S = {5 ; 1/5}

8) x2 – 1 + (x – 1)(4x + 3) = 0 :

Comme tu vois du “carré” et un produit de parenthèses avec “x”, c’est du second degré donc pas moyen de t’en sortir en séparant les x du reste. Tu dois donc factoriser.

Astuce ! Le x2 – 1 vaut (x+1)(x-1). C’est une conséquence directe de la 3ème identité remarquable
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
avec a = x et b = 1.

Rédaction :
x2 – 1 + (x – 1)(4x + 3) = 0
⇔ (x + 1)(x – 1) + (x – 1)(4x + 3) = 0 (en utilisant la 3ème identité remarquable, on trouve (x-1) en facteur commun)
⇔ (x – 1) × [(x + 1) + (4x + 3)] = 0
⇔ (x – 1) × [ 5x + 4 ] = 0
⇔ (x – 1) = 0 ou [ 5x + 4 ] = 0 (règle du produit nul)
⇔ x = 1 ou 5x = -4
⇔ x = 1 ou x = -4/5 (en divisant la seconde égalité par le coefficient 5)

S = {1 ; -4/5}

9) 4x – 2 ≥ 2x – 1 :

Pas de second degré ici, tu peux séparer les “x” du reste.
Rédaction :
4x – 2 ≥ 2x – 1
⇔ 4x – 2x ≥ -1 + 2 (en soustrayant 2x et en ajoutant 2)
⇔ 2x ≥ 1
⇔ x ≥ 1/2 (en divisant de chaque côté par le coefficient positif 2, on ne change pas le sens de l’inégalité).

inéquation intervalle inégalité

S = [1/2 ; +∞[ (on prend bien le 1/2 car c’est supérieur ou égal, puis on va jusqu’à l’infini positif).

10) 2(x – 3) < x - 5 et 1 – (x + 4) ≤ 3 :

D’abord celle de gauche :

2(x – 3) < x - 5

⇔ 2x – 6 < x - 5 (en distribuant le 2)

⇔ 2x – x < -5 + 6

⇔ x < 1

Puis celle de droite :

1 – (x + 4) ≤ 3

⇔ 1 -x – 4 ≤ 3

⇔ -x -3 ≤ 3

⇔ -x ≤ 3 + 3

⇔ -x ≤ 6

⇔ x ≥ -6 (en divisant par le négatif -1, on change le sens de l’inégalité)

On avait un “et”, du coup on veut des “x” qui respecte “à la fois” x<1 et x≥-6.

J’entoure la partie qui respecte x<1 sur la première ligne. On ne prend pas le 1 car c'est une inégalité stricte sans égal.

J’entoure la partie qui respecte x ≥-6 sur la première ligne. Ici on prend le -6 car c’est une inégalité large avec “égal”.

inéquation intersection intervalle

Sur la troisième, on conserve les portions entourées sur les deux premières lignes car on a un “et”. Donc les valeurs doivent être sélectionnées -entourées- sur les deux premières lignes, c’est l’intersection.

S = [-6 ; 1[.

11) 3x + 1 > x – 3 ou 2x – 1 ≤ 6x + 11 :

La première inégalité :
3x + 1 > x – 3
⇔ 3x – x > – 3 – 1 (tu soustrais x et 1 de chaque côté pour séparer)
⇔ 2x > -4
⇔ x > -2 (en divisant par le positif 2 de chaque côté, on ne change pas le sens de l’inégalité)

La seconde inégalité :
2x – 1 ≤ 6x + 11
⇔ 2x – 6x ≤ 11 + 1 (tu soustrais 6x et ajoutes 1 de chaque côté pour séparer)
⇔ -4x ≤ 12
⇔ -4x/(-4) ≥ 12/-4 (on change le sens de l’inégalité car on divise par un nombre négatif)
⇔ x ≥ -3

J’entoure la partie qui respecte x>-2 sur la première ligne. On ne prend pas le -2 car c’est une inégalité stricte sans égal.

J’entoure la partie qui respecte x ≥-3 sur la première ligne. Ici on prend le -3 car c’est une inégalité large avec “égal”.

inéquations union intervalle

Sur la troisième, on conserve les portions entourées sur “au moins l’une” des premières lignes car on a un “ou”. Dès qu’une valeur est entourée sur la première ou la seconde ligne, on peut l’entourer sur la troisième qui représente le “ou”, l’union. Une seule suffit. La valeur respecte “soit/ou la première inégalité, soit/ou la seconde inégalité, soit/ou les deux.”

S = [-3 ; -2[

Bonne compréhension
Sylvain

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