Corrigé N°280 – Exponentiel, fonction, limite, continuité – Terminale S

novembre 20th, 2016

Category: Corrigé et Astuces, Dérivées et Intégrales, Exponentielle et Logarithme, Fonctions, Terminale S

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Corrigé N°280 :

Exercice : Exponentielle – Fonction, dérivées, limite, continuité – Terminale S

1) f’ et f ‘ ‘ :

Rédaction :

f(x) = x + 1 + xe-x
= x + 1 + u(x) × v(x)
avec u(x) = x
donc u'(x) = 1
avec v(x) = e-x
donc v'(x) = -e-x

f'(x) = 1 + 0 + u'(x) × v(x) + u(x) × v'(x)
= 1 + 1 × e-x + x × (-e-x)
= 1 + e-x – xe-x

f'(x) = 1 + e-x – u(x) × v(x)
avec les mêmes u(x) et v(x).

Donc f ”(x) = 0 – e-x – (u'(x) × v(x) + u(x) × v'(x))
= – e-x – (1 × e-x – xe-x)
= -2e-x + xe-x
= (x – 2)e-x.

2) Variation de f’ :

Rédaction :

x – 2 est négatif avant 2, puis positif après 2.
Un exponentiel est toujours strictement positif.

correction_280_a

car f'(0) = 1 + e-0 – 0e-0
= 1 + 1 + 0
= 2

et f'(2) = 1 + e-2 – 2e-2
= 1 – e-2.

3) Signe de f’ :

Rédaction :

D’après le tableau de variation, on voit que le minimum de la fonction est
1 – e-2 qui est strictement positif.
Donc f'(x) > 0 sur les réels positifs.

4) Limite de f en +∞ :

Rédaction :

f(x) = x + 1 + xe-x

lim[x → +∞] (x + 1) = +∞

Comme xe-x est positif sur R+, peu importe sa limite (0, une constante ou +∞), additionnée à la limite +∞ de (x + 1), on aura :

lim[x → +∞] f(x) = +∞

5) Variation de f :

Rédaction :

On sait que f'(x) est toujours positif sur R+, donc f est strictement croissante.
f(0) = 0 + 1 + 0e-0
= 1.

tableau signe dérivée variation fonction

6) Équation de la tangente (T) en 1 :

Rédaction :

L’équation d’une tangente est :

equation tangente courbe fonction point abscisse a

Donc ici y = f'(1)(x – 1) + f(1).

f'(1) = 1 + e-1 – 1e-1
= 1.

f(1) = 1 + 1 + 1e-1
= 2 + e-1.

Donc y = 1(x – 1) + 2 + e-1
y = x + 1 + e-1.

7) f(x) = 2, solution unique, valeur :

Rédaction :

* f est continue sur R+
* f est strictement croissante sur R+

f(0) = 1
lim[x → +∞] f(x) = +∞

* Donc 2 appartient à l’intervalle image [ 1 ; +∞ ]
soit [ f(0) ; lim[x → +∞] f(x)].

D’après le théorème des valeurs intermédiaire, l’équation f(x) = 2 admet une unique solution α sur R+.

On trouve α à l’aide de la calculatrice avec la tableur.
Tout d’abord, on part de 0 et on monte de 1 en 1 jusqu’à dépasser 2.
Donc 0 < α < 1 car on dépasse 2 dès l'abscisse x = 1.

Maintenant on va de 0.1 en 0.1 :

On dépasse 2 à partir de 0.7 donc 0.6 < α < 0.7



Maintenant on va de 0.01 en 0.01 :

On dépasse 2 à partir de 0.66 donc 0.65 < α < 0.66



Maintenant on va de 0.001 en 0.001 :

On dépasse 2 à partir de 0.659 donc 0.658 < α < 0.659



Je prends 0.659 comme valeur arrondie de α.



8) Cf et (T) :

courbe fonction droite tangente

Graphsketch.com

Cf est la courbe bleue et (T) la droite rouge qui est bien la tangente en 1.

Bonne compréhension,
Sylvain

astuces exercices maths corrigé

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