Corrigé N°046 – Fonctions, équations, inéquations, polynôme – Seconde

août 30th, 2016

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Corrigé N°046 :

Exercice : Polynômes et Droites – Fonctions, équations, inéquations – Seconde

0) Démontrer que la fonction h : x → x2 + 4 est croissante sur [0 ; +∞ [ :

Pour démontrer qu’une fonction est croissante en seconde, la propriété du cours dit qu’il faut :

– Partir de a < b. C'est à dire écrire "a < b" sur la feuille.

– Puis arriver à f(a) ≤ f(b).



En effet, si “a < b donne f(a) ≤ f(b)“, cela veut dire que la fonction f est croissante comme c’est illustré sur l’image ci-dessous.

fonction croissante

On voit bien que si on prend a < b et qu'on arrive à f(a) ≤ f(b), alors la courbe monte entre les deux points. Attention, il faut dire "pour tout a et b tels que a < b“.

Ici, on veut sur [0 ; +∞ [, c’est important avec la fonction carré car la variation change si on est dans les négatifs ou si on est dans les positifs.

Soit n’importent quels a et b tels que 0 ≤ a < b. En passant au carré, cela donne : 02 ≤ a2 < b2 car la fonction carré est strictement croissante sur [0 ; +∞ [ (donc on ne change pas le sens des inégalités).

variations fonction carré courbe décroissante croissante

On voit bien à droite dans les positifs que l’on garde le sens “plus petit ou égal”.

Rédaction :
Sur [0 ; +∞ [ : 0 ≤ a < b

⇔ 02 ≤ a2 < b2 (car “carré” est strictement croissante sur R+)

⇔ 02 + 4 ≤ a2 + 4 < b2 + 4 (on additionne)

⇔ f(0) ≤ f(a) < f(b)



On a donc “a < b donne f(a) < f(b)” ou même “a < b donne f(a) ≤ f(b)” avec une inégalité large. Donc la fonction f croissante sur [0 ; +∞ [.

1) Représenter dans un même repère les courbes Cf et Cg des fonctions f et g sur l’intervalle [-4 ; 6] :

Faire un tableau (tableur calculatrice par exemple) avec les valeurs x allant de -4 à 6 (de 1 en 1 par exemple) et avec les f(x) en dessous et les g(x) encore en dessous. Puis placer les points sur le repère et les relier en courbe (ou en droite avec g(x)). Cela donne :

fonction second degré affine courbe droite parabole

Courbe graphsketch.com

La parabole bleue est Cf et la droite rouge est Cg. Écris bien Cf et Cg sur le graphique.

2) Résoudre graphiquement l’équation f(x) = g(x) :

Pour résoudre graphique f(x) = g(x), on regarde les points d’intersection de Cf et Cg et on note les abscisses comme solutions.

équation courbe points intersection

On obtient 2 et 4 comme abscisses des points d’intersection de Cf et Cg. Donc S = {2 ; 4} graphiquement.

3) Montrer que pour tout réel x, (1/2) x2 – 3x + 4 = (1/2) (x – 2)(x – 4) :

Pour montrer une égalité de ce type, on part de la forme factorisée (celle avec le produit et les parenthèses) vers la forme développée.
(1/2) (x – 2)(x – 4)
= 0.5(x – 2)(x – 4)
= (0.5x – 1)(x – 4), en distribuant le 0.5 sur le (x – 2), 0.5×2 = 1.
= 0.5x × x – 0.5x × 4 – 1 × x – 1 × (-4).
= 0.5x2 – 2x – 1x + 4
= 0.5x2 – 3x + 4.
= (1/2) x2 – 3x + 4.

4) En déduire la résolution algébrique (par le calcul) de l’équation f(x) = g(x) :

On passe tout à gauche en soustrayant les deux membres de l’égalité par g(x) :
f(x) = g(x)
⇔ f(x) – g(x) = 0
⇔ 0.5x2 – (3x – 4) = 0
⇔ 0.5x2 – 3x + 4 = 0
⇔ 0.5(x – 2)(x – 4) = 0 (d’après le 3)).
⇔ 0.5=0 ou x-2=0 ou x-4=0 car un produit de facteurs est nul si au moins l’un des facteurs est nul.
0.5=0 est impossible, x = 2 ou x = 4.
Donc les solutions de l’équation f(x) = g(x) sont 2 et 4.

5) A l’aide des courbes représentatives des fonctions f et g, résoudre l’inéquation
f(x) ≤ g(x) :

inéquation fonctions position relative courbes

J’ai entouré en vert les morceaux de courbes où Cf est au dessus de Cg :
Sur [-6 ; 2] et [4 ; 6], f(x) ≥ g(x).
J’ai hachuré en noir les morceaux de courbes où Cf est en dessous de Cg :
Sur [2 ; 4], f(x) ≤ g(x). C’est ce qu’on veut.
Donc S = [2 ; 4].
D’ailleurs j’aurais mieux fait d’entourer en vert quand Cf est en dessous de Cg pour que ça colle bien à la question 5).

Bonne compréhension,
Sylvain

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Correction précédente : Corrigé N°031 – Les élèves répondent à trois questions – Seconde

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