Corrigé N°317 – Fonctions, second degré, coût, recette – Première ES

septembre 16th, 2016

Category: Corrigé et Astuces, Fonctions, Polynômes et Rationnelles, Première S

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Corrigé N°317 :

Exercice : Fonctions – Second degré, coût, recette, bénéfice – Première ES

C(x) = x2 + 20x + 900

1) Compléter le tableau suivant :

Rédaction :

Je fais les calculs un par un à la calculette (ou avec le tableur). Puis je complète le tableau.

second degré tableur antécédent images

2) Tracer la représentation graphique de la fonction C. On prendra 1 cm pour 10 unités en abscisses et 1 cm pour 1000 euros en ordonnées :

Rédaction :

second degré courbe points

3) Exprimer la recette R(x) obtenue avec la vente de x cartes (120 euros chacune), et tracer la courbe de R :

Recette = Prix_unitaire × Quantité
Donc R(x) = 120 × x.

R(x) est une fonction affine. Pour tracer cette droite, je choisis moi-même deux valeurs x car il faut deux points pour tracer une droite.

Je choisis x = 20 et x = 80.
Pour x = 20, y= R(10) = 120 × 20 = 2400. Je dessine A(20 ; 2400).
Pour x = 80, y= R(90) = 120 × 80 = 9600. Je dessine B(80 ; 9600).

recette droite passant origine

La droite représentant la recette passe toujours par l’origine. On le vérifie ici.

4) Exprimer B(x) :

Rédaction :

bénéfice recette moins coût

Donc B(x) = 120x – ( x2 + 20x + 900 )
= 120x – x2 – 20x – 900
Du coup, B(x) = – x2 + 100x – 900.

5) Déterminer par le calcul les valeurs de x pour lesquelles la production est rentable :

Rédaction :

La production est retable si et seulement si le bénéfice est positif.
Je dois donc étudier le signe de B(x) en faisant un tableau de signe.

Calculons le discriminant Δ.

Δ = b2 – 4ac
= 1002 – 4 × (-1) × (-900)
= 10000 – 3600
= 6400 > 0.

On a donc deux racines :

x1 = (-b – √Δ)/(2a)
= (-100 – √6400)/(2 × (-1))
= (-100 – 80)/(-2)
= (-180)/(-2)
= 90.

x2 = (-b + √Δ)/(2a)
= (-100 + √6400)/(2 × (-1))
= (-100 + 80)/(-2)
= (-20)/(-2)
= 10.

Comme a vaut -1 est est négatif, et que le signe de a est toujours à l’extérieur des racines avec le second degré, on aura “moins-” à l’extérieur de celles-ci.

Voici le tableau de signe :

tableau signe second degré

B(x) est positif sur [10 ; 90] donc la production est rentable pour x allant 10 à 90 unités.

6) Comment peut-on vérifier graphiquement les résultats obtenus à la question 5 :

Rédaction :

Pour vérifier graphiquement quand la production est rentable, je sélectionne le ou les morceau(x) de courbe quand la recette est supérieure au coût, c’est à dire quand la droite de la recette est au dessus de la parabole du coût. Puis je descends verticalement vers l’axe des abscisses pour sélectionner le bon intervalle de production.

bénéfice recette coût courbes droite

La zone entre la courbe du coût et la droite de la recette représente le bénéfice. Plus l’écart entre les deux courbes est important, plus le bénéfice est important.

Bonne compréhension,
Sylvain

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