Corrigé N°231 – Fonctions, tan, limite, variation – Terminale S

octobre 13th, 2016

Category: Corrigé et Astuces, Dérivées et Intégrales, Fonctions, Limites, Terminale S

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Exercice N°231 :

Exercice : Fonctions – Bases, tan, limite, variation, dérivée – Terminale S

1) Montrer que g est impaire :

Rédaction :

Pour montrer qu’une fonction est impaire, il faut montrer que l’image de -x par la fonction g vaut l’opposé de l’image de x. Soit g(-x) = -g(x).

Donc pour tout x, g(-x) = tan(-x) – (-x)
= -tan(x) + x (car la fonction tan est impaire : sin/cos donc impaire/paire qui est impaire car -/+ donne -)
= -(tan(x) – x)
= -g(x).
Donc g est impaire.

2) Déterminer les limites de g :

Rédaction :

En –Π/2 supérieur :

lim[x → –Π/2 sup] tan(x) = -∞.
lim[x → –Π/2 sup] x = –Π/2 sup.

Par somme/différence, lim[x → –Π/2 sup] g(x) = -∞.

De la même manière, lim[x → +Π/2 inf] g(x) = +∞ (car tan tend vers +∞).

3) Étudier les variations de g :

Rédaction :

Pour étudier les variations de g, calculons sa dérivée.
Pour tout x, g(x) = tan(x) – x

pour tout x, g'(x) = tan'(x) – 1

dérivée tan

Donc g'(x) = (tan(x))2 + 1 – 1 = (tan(x))2.

Comme un carré est toujours positif ou nul, (tan(x))2 est toujours positif. Il sera nul seulement en 0 car seul tan(0) = 0.

Le tableau est donc :

tableau variation tan

4) Calculer g(0) et déterminer le signe de g(x) sur I.

Rédaction :

g(0) = tan(0) – 0 = 0 – 0 = 0.
Je mets la valeur 0 dans le tableau ci-dessus.

tableau signe tan

5) Calculer la dérivée f’ de f sur I.

Rédaction :

Pour tout x, f(x) = tan(x) – x – x3/3

pour tout x, f'(x) = tan'(x) – 1 – 3x23

dérivée tan

Donc f'(x) = (tan(x))2 + 1 – 1 – x2
= (tan(x))2 – x2.

6) Factorisation et signe de f'(x) :

Rédaction :

f'(x) = (tan(x))2 – x2
= a2 – b2 (troisième identité remarquable)
= (a – b)(a + b)
= [tan(x) – x] × [tan(x) + x]
= g(x) × [tan(x) + x]

x et tan(x) sont négatifs avant 0 et positifs après 0, donc leur somme également.
Le tableau de signe est :

tableau signe produit

7) Variations de f :

Rédaction :

Comme f'(x) est positif sur Df, f est croissante sur Df.

8) Signe de f(x) et inégalité :

Rédaction

On a la variation de f et,
f(0) = tan 0 – 0 – 0 = 0 – 0 – 0 = 0.
Donc le tableau est :

tableau signe fonction

On a donc f(x) ≤ 0 sur ] –Π/2 ; 0 ]
et f(x) ≥ 0 sur [ 0 ; Π/2 [.

Donc tan x – x – x3/3 ≤ 0 sur ] –Π/2 ; 0 ].
Et tan x – x – x3/3 ≥ 0 sur [ 0 ; Π/2 [.

Du coup, tan x ≤ x + x3/3 sur ] –Π/2 ; 0 ].
Et tan x ≥ x + x3/3 sur [ 0 ; Π/2 [.

Donc ce n’est pas vrai pour les x positifs.

Bonne compréhension,
Sylvain

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