Corrigé N°241 – Fonctions, trigonométrie, impaire – Terminale S

septembre 15th, 2016

Category: Corrigé et Astuces, Equations et Inéquations, Fonctions, Terminale S, Trigonométrie

Tagged with: , , , , , , , , , , , ,

Corrigé N°241 :

Exercice : Fonctions – Bases, trigonométrie, impaire, périodique – Terminale S

(E1) : cos(x) = 1/2
(E2) : sin(2x + π/6) = √2/2

1) Résoudre sur R les équations (E1) et (E2) :

(E1) :

Rédaction :

En traçant le cercle trigonométrique et en dessinant un trait vertical au niveau de x = 1/2 (car le cosinus représente l’abscisse), on s’aperçoit que 1/2 est le cosinus de π/3 et de –π/3.

Trigonométrie cosinus un demi

Donc cos(x) = 1/2
⇔ cos(x) = cos(π/3)

Hors rédaction :

Pour obtenir les valeurs de l’angle x sans les cosinus, on utilise la propriété du cours qui découle du dessin suivant :

trigonométrie équation cosinus

Si deux angles ont le même cosinus, ici a et b, alors ces deux angles sont égaux (a = b) ou opposés (l’un vers le haut, l’autre vers le bas : a = -b). Ceci au nombre de tours complets près : on peut ajouter des 2π comme l’indique la flèche rouge qui fait un tour complet.

Rédaction :

Comme :
trigonométrie équations cosinus

On a donc
cos(x) = cos(π/3)

x = π/3 + 2π × k (k ∈ Z)
ou
x = –π/3 + 2π × k (k ∈ Z).

L’ensemble des solutions sur R est l’ensemble des angles
{π/3 + 2π × k (k ∈ Z) ;
π/3 + 2π × k (k ∈ Z)}

(E2) :

En traçant le cercle trigonométrique et en dessinant un trait horizontal au niveau de y = √2/2 (car le sinus représente l’ordonnée), on s’aperçoit que √2/2 est le sinus de π/4 et de /4.

Trigonométrie sinus racine deux

Donc sin(2x + π/6) = √2/2
⇔ sin(2x + π/6) = sin(π/4)

Hors rédaction :

Pour obtenir les valeurs de l’angle x sans les sinus, on utilise la propriété du cours qui découle du dessin suivant :

>Trigonométrie équation sinus

Si deux angles ont le même sinus, ici a et b, alors ces deux angles sont égaux (a = b) ou opposés par rapport à l’axe des ordonnées (l’un vers la droite, l’autre vers la gauche : a = π-b). Ceci au nombre de tours complets près : on peut ajouter des 2π comme l’indique la flèche rouge qui fait un tour complet.

Rédaction :

Comme :
Trigonométrie équation avec sinus

On a donc
sin(2x + π/6) = sin(π/4)

2x + π/6 = π/4 + 2π × k (k ∈ Z)
ou
2x + π/6 = π – π/4 + 2π × k (k ∈ Z)

2x = π/4π/6 + 2π × k (k ∈ Z)
ou
2x = π – π/4π/6 + 2π × k (k ∈ Z)

2x = π/12 + 2π × k (k ∈ Z)
ou
2x = /12 + 2π × k (k ∈ Z)

x = π/24 + π × k (k ∈ Z)
ou
x = /24 + π × k (k ∈ Z)
Ici on fait attention à bien diviser les 2π !

L’ensemble des solutions sur R est l’ensemble des angles
{π/24 + π × k (k ∈ Z) ;
/24 + π × k (k ∈ Z)}

2) Solutions appartenant à l’intervalle ]-π ; π] :

(E1) :

Rédaction :

On reprend les solutions sur R :
{π/3 + 2π × k (k ∈ Z) ;
π/3 + 2π × k (k ∈ Z)}

Ici je vois que le dénominateur est 3, donc je mets l’intervalle demandé sur 3 aussi.
]-π ; π] = ]-/3 ; /3]
Si on enlève le π du haut, l’intervalle entier à considérer sera ]-3 ; 3].

π/3 + 2π × k (k ∈ Z) :

Je teste les “k” vers les négatifs en partant de 0.

k = 0 :
π/3 + 2π × 0
= π/3
Dans l’intervalle, OK.

k = -1 :
π/3 + 2π × (-1)
= π/3/3
= –/3
-5 est en dessous de -3, donc on n’est plus dans l’intervalle solutions, du coup on ne prend pas cette valeur.

On est trop bas, maintenant je passe au k positifs.

k = 1 :
π/3 + 2π × 1
= π/3 + /3
= /3
7 est au dessus de 3, donc on n’est plus dans l’intervalle solutions, du coup on ne prend pas cette valeur. On s’arrête.

π/3 + 2π × k (k ∈ Z)

Je teste les “k” vers les négatifs en partant de 0.

k = 0 :
π/3 + 2π × 0
= –π/3
Dans l’intervalle, OK.

k = -1 :
π/3 + 2π × (-1)
= –π/3/3
= –/3
-7 est en dessous de -3, donc on n’est plus dans l’intervalle solutions, du coup on ne prend pas cette valeur.

On est trop bas, maintenant je passe au k positifs.

k = 1 :
π/3 + 2π × 1
= –π/3 + /3
= /3
5 est au dessus de 3, donc on n’est plus dans l’intervalle solutions, du coup on ne prend pas cette valeur. On s’arrête.

Du coup, S = {π/3 ; –π/3}

(E2) :

Rédaction :

On reprend les solutions sur R :
{π/24 + π × k (k ∈ Z) ;
/24 + π × k (k ∈ Z)}

Ici je vois que le dénominateur est 24, donc je mets l’intervalle demandé sur 3 aussi.
]-π ; π] = ]-24π/24 ; 24π/24]
Si on enlève le π du haut, l’intervalle entier à considérer sera ]-24 ; 24].

π/24 + π × k (k ∈ Z) :

Je teste les “k” vers les négatifs en partant de 0.

k = 0 :

π/24 + π × 0
= π/24.
Dans l’intervalle, OK.

k = -1 :
π/24 + π × (-1)
= –23π/24.
-23 est dans l’intervalle ]-24 ; 24].
Donc OK.

k = -2 :
π/24 + π × (-2)
= –47π/24.
Non, on n’y est plus.

k = 1 :
π/24 + π × 1
= 25π/24.
25 est au dessus de 24, on n’y est plus.
On s’arrête.

/24 + π × k (k ∈ Z) :

Je teste les “k” vers les négatifs en partant de 0.

k = 0 :
/24 + π × 0
= /24.
7 entre -24 exclu et 24 inclus. OK.

k = -1 :
/24 + π × (-1)
= -17π/24.
-17 entre -24 exclu et 24 inclus. OK.

k = -2 :
/24 + π × (-2)
= -41π/24.
Trop bas.

k = 1 :
/24 + π × 1
= 31π/24.
31 > 24, trop haut. On s’arrête là.

Du coup, S = {π/24 ; –23π/24 ; /24 ; -17π/24}.

f : x → sin(x)/(2 – cos(x))

3) Justifier que f est définie et dérivable sur R :

Rédaction :

2 – cos(x) est toujours différent de 0 car cos est toujours entre -1 et 1.
Du coup, le dénominateur est toujours différent de zéro, donc f est dérivable quand le numérateur sin(x) est dérivable (R) et le dénominateur (2-cos(x)) est dérivable (R).
Par conséquent, f est dérivable sur R.

4) Démontrer que f est impaire. Que peut-on en déduire concernant la courbe C ? :

Rédaction :

Pour montrer qu’une fonction est impaire, il faut démontrer que :
pour tout x, f(-x) = -f(x).

Pour tout x, f(-x) = sin(-x)/(2 – cos(-x))
= -sin(x)/(2 – cos(x))
(car sin étant impaire, sin(-x) = -sin(x). Et cos étant paire, cos(-x) = cos(x))
= –sin(x)/(2 – cos(x))
= -f(x).

Donc f est impaire et la courbe Cf est donc symétrique par rapport à l’origine du repère.

5) Démontrer que f est périodique de période 2π :

Rédaction :

Pour montrer qu’une fonction est périodique de période 2π, je dois montrer que :
pour tout x, f(x + 2π) = f(x).

Pour tout x, f(x + 2π)
= sin(x + 2π)/(2 – cos(x + 2π))
= sin(x)/(2 – cos(x))
(sin et cos sont périodique de période 2π donc sin(x + 2π) = sin(x) et
cos(x + 2π) = cos(x))
= f(x).

Donc f est 2π-périodique.

6) Expliquer pourquoi il suffit d’étudier f sur l’intervalle [0 ; π] :

Si on a f sur [0 ; π], on aura f sur [-π ; 0] car comme f est impaire, il suffit de prendre l’opposé des valeurs de f(x).

On a donc f sur [-π ; π]. Comme f est 2π-périodique, il suffit de reprendre les valeurs sur cet intervalle pour avoir les valeurs sur [π ; 3π], et ainsi de suite par translation de 2π.

7) Montrer que pour tout réel x, f'(x) = (2cos(x) – 1)/[2 – cos(x)]2 :

Rédaction :

f(x) = u(x)/v(x)
avec u(x) = sin(x)
u'(x) = cos(x)
v(x) = 2 – cos(x)
v'(x) = -(-sin(x)) = sin(x)

f'(x) = (u'(x)v(x) – u(x)v'(x))/(v(x)2)
= (cos(x)(2 – cos(x)) – sin(x)sin(x))/(2 – cos(x)2)
= (2cos(x) – cos(x)2 – sin(x)2)/(2 – cos(x)2)
= (2cos(x) – [cos(x)2 + sin(x)2])/(2 – cos(x)2)
= (2cos(x) – 1)/(2 – cos(x)2).

8) Étudier le signe f'(x) sur [0 ; π] :

Rédaction :

Numérateur : 2cos(x) – 1 ≥ 0
quand 2cos(x) ≥ 1
quand cos(x) ≥ 1/2

cercle trigonométrique, inéquation intervalle solutions

Le cosinus est supérieur à 1/2 quand x est entre –π/3 et π/3. Donc entre 0 et π/3 sur notre intervalle.

Dénominateur : Il n’est jamais égal à zéro et c’est un carré. Donc toujours +.

Voici le tableau de signe de f'(x).

tableau signe variation fonction

9) Établir le tableau de variations de f sur [0 ; π] :

Voir ci-dessus.

10) Tracer C en bleu sur [0 ; π], puis en vert sur [-π ; 0] et enfin la compléter en noir sur [-3π ; 3π] :

courbe fonction trigonométrique

Bonne compréhension,
Sylvain

astuces exercices maths corrigé

Corrigé précédent: Corrigé N°226 – Géométrie 3D, sécante, parallèle, plan – Terminale S

Ecris le premier commentaire


Laisser un commentaire

Votre adresse de messagerie ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *