Corrigé N°141 – Fonctions, variations, inverse, racine – Première S

novembre 27th, 2016

Category: Corrigé et Astuces, Fonctions, Première S

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Corrigé N°141 :

f : x -> 1/(3x2 + 4)

1) MQ f est strictement croissante sur [−2 ; 0]
et strictement décroissante sur [0 ; 2] :

Rédaction :

Je commence sur [−2 ; 0].

On prend -2 ≤ a < b ≤ 0 car on est sur [−2 ; 0]. Je prends en compte les bornes de l'intervalle qui vont me donner des informations.

-2 ≤ a < b ≤ 0

⇔ (-2)2 ≥ a2 > b2 ≥ 02

(on change le sens des inégalités

car la fonction “carré” est décroissante sur [−2 ; 0])

⇔ 3×4 ≥ 3×a2 > 3×b2 ≥ 3×0

(on garde le sens des inégalités quand on multiplie (ou divise) par un nombre positif, ici 3)

⇔ 12 + 4 ≥ 3×a2 + 4 > 3×b2 + 4 ≥ 0 + 4

(on garde le sens des inégalités car on ajoute (ou soustrait) un nombre)

1/161/(3×a2 + 4) < 1/(3×b2 + 4)1/4

(on change le sens des inégalités car la fonction “inverse” est strictement décroissante sur [−2 ; 0])

1/16 ≤ f(a) < f(b) ≤ 1/4



a < b donne f(a) < f(b) donc f est strictement croissante sur [−2 ; 0].

De même, sur [0 ; 2] :

On prend -2 ≤ a < b ≤ 0 car on est sur [0 ; 2]. Je prends en compte les bornes de l'intervalle qui vont me donner des informations.

-2 ≤ a < b ≤ 0

⇔ 02 ≥ a2 < b2 ≥ 22

(on garde le sens des inégalités car la fonction “carré” est croissante sur [0 ; 2])

⇔ 3×0 ≤ 3×a2 < 3×b2 ≤ 3×4

(on garde le sens des inégalités quand on multiplie (ou divise) par un nombre positif, ici 3)

⇔ 0 + 4 ≤ 3×a2 + 4 < 3×b2 + 4 ≤ 12 + 4

(on garde le sens des inégalités car on ajoute (ou soustrait) un nombre)

1/41/(3×a2 + 4) > 1/(3×b2 + 4)1/16

(on change le sens des inégalités car la fonction “inverse” est strictement décroissante sur [0 ; 2])

1/4 ≥ f(a) > f(b) ≥ 1/16



a < b donne f(a) > f(b) donc f est strictement décroissante sur [0 ; 2].



Pour résumer, voici le tableau de variation de la fonction f :
variation fonction carré inverse

g(x) = √f(x) + 1/2.
2) Tableau de variations de g sur [−2 ; 2] :

Rédaction :

On peut rédiger de la même manière avec a < b donne f(a) < f(b) ou f(a) > f(b) mais je vais choisir la méthode des tableaux de variation.

Je reprends le tableau de variation de f et je lui applique la fonction “racine” car f(x) subit l’effet de la racine en premier lieu.
Les valeurs des fractions sont mises à la racine. Les 1 restent 1, 16 devient 4 et 4 devient 2. Les variations ne changent pas car la fonction “racine” est strictement croissante sur R+. On note que les contenus de la racine sont positifs : 1/4 et 1/16.

variation fonction racine

En second lieu, le nombre √f(x) est multiplié par (-1) en témoigne le “moins” devant lui. Comme on multiplie par un nombre négatif, les variations changent et les images sont aussi multipliées par (-1). Cela donne le tableau :

variation fonction multiplication nombre négatif

Enfin pour obtenir g, on ajoute 1/2 à l’ensemble. Comme on ajoute un nombre, les variations ne changent pas. Seules les valeurs se voient augmentées de 1/2 ci-dessous :

variation fonction addition

3) Encadrement de g(x) sur [−2 ; 2] :

On voit d’après la tableau de signe que 0 ≤ g(x) ≤ 1/4. Comme quoi dès le début, j’ai bien fait de calculer toutes les images des bornes des intervalles.

Bonne compréhension,
Sylvain

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