Corrigé N°226 – Géométrie 3D, sécante, parallèle, plan – Terminale S

septembre 14th, 2016

Category: Corrigé et Astuces, Géométrie 2D/3D et Repérage, Terminale S

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Corrigé N°226 :

Exercice : Géométrie 3D – Sécantes, parallèles, coplanaires – Terminale S

Donnée : P et P’ sont deux plans, d une droite de P et d’ une droite de P’.

1) Si P et P’ sont parallèles alors :

plans parallèles

D’après le dessin, on peut avoir des droites non parallèles.
Si P et P’ sont confondues, les droites sont coplanaires.
Donc la réponse est : “on ne peut pas préciser la position relative de d et d'”.

2) Si d et d’ sont parallèles et si P et P’ sont sécants suivant une droite D alors :

C’est le théorème du toit, si deux droites de deux plans sécants sont parallèles, l’intersection de ces plans est une droite parallèle aux deux droites initiale.

géométrie espace théorème toit

Donc d, d’ et D sont parallèles.
Elles ne sont pas concourantes car ici elles ne se coupent pas.
Elles ne sont pas dans le même plan, donc elle ne sont pas coplanaires.

3) Si d et d’ sont sécantes et si P et P’ sont sécants suivant une droite D alors :

geometrie 3D plans sécants droites sécantes

d et d’ ne peuvent pas être parallèles vu qu’elles sont sécantes. De plus, les trois droites ne sont pas coplanaires car ni parallèles, ni dans des plans confondus.

Par contre, comme d et d’ sont sécantes, elles se coupent à l’intersection des deux plans P et P’, donc sur D. Les trois droites sont concourantes.

Données : ABCDEFGH est un cube. On note I, J, K et L les milieux respectifs des arêtes [AB], [GC], [BF]. Soit P le centre de la face EFGH.

4) Les droites (IJ) et (KB) sont-elles :

Rédaction :

Elles ne sont clairement pas parallèles. Maintenant, voyons s’il y a un point d’intersection entre les deux segments [IJ] et [KB]. Ce n’est vraiment pas évident sans passer par la géométrie dans l’espace avec les équations.

J’essaie quand même sans les équations.

Si les deux segments se touchent, c’est vers le bas à droite d’après le dessin. Ignorons la profondeur du cube en ramenant tout sur la face avant du cube EFBA. En projetant sur la face avant du cube, [KB] devient [EB] (car K devient E) et [IJ] devient [IL] (car J devient L).

Cela nous permet de déterminer l’abscisse x et l’ordonnée y d’un éventuel point d’intersection. Je prends le repère (A ; AB ; AE).

En traçant (EB) et (IL) sur la face avant, on peut déterminer l’équation de ces deux droites.

géométrie espace cube droites repère

(EB) a son ordonnée à l’origine en 1 et descend de 1 quand on avance de 1 vers la droite : le coefficient directeur est donc de -1. Donc y = -x + 1.
(IL) a son ordonnée à l’origine en -0,5 et monte de 1 quand on avance de 1 vers la droite : le coefficient directeur est donc de 1. Donc y = x – 0.5

Je détermine l’abscisse du point d’intersection de ces deux droites sur la face avant, c’est quand y = y.
-x + 1 = x – 0.5.
-2x = – 1.5
x = 3/4.

Les droites projetées se coupent en x = 3/4 et y = -3/4 + 1 = 1/4.

Du coup, pour les droites non projetés (KB) et (IJ), elles se coupent si elles ont la même profondeur z quand on parcourt les 3/4 du segment [KB] et la moitié du segment (IJ) (car x=3/4 c’est la moitié du chemin en partant de xI = 1/2 et en arrivant à xJ = 1).

Sur [KB], la profondeur c’est comme si on faisait de K vers E. En partant de la profondeur zK = 1/2 et en arrivant vers zE = 0, on arrive à z = 0,75×0.5 = 0,125.

Sur [IJ], la profondeur c’est comme si on faisait de B vers C. En partant de la profondeur zB = 0 et en arrivant vers zC = 1, on arrive à z = 0,75×1 = 0,75.

Pour un éventuel point d’intersection qui devrait avoir pour x = 3/4 et y = 1/4, les profondeurs (côtes) des points ayant ces coordonnées sur les deux droites sont 0,125 et 0,75. Donc ce n’est pas le même point.
Du coup, les droites ne sont pas sécantes.

(Peut-être il aurait mieux fallu le conjecturer sans perdre de temps à l’expliquer de cette manière. Ou alors passer par des équations paramétriques.)

Comme elles ne sont ni sécantes, ni parallèles, elles sont non coplanaires.

5) La droite (KB) est-elle :

Rédaction :

Déjà (AI) appartient à ce plan (AIJ). Donc B, étant sur (AI), on peut appeler (AI) la droite (AB). Donc le plan (AIJ), c’est la même chose que le plan (ABJ).

géométrie espace droite plan

B est dans (ABJ) donc la droite (KB) ne peut pas être strictement parallèle à (ABG)=(AIJ).
K n’est pas dans (ABJ) donc la droite (KB) ne peut pas être incluse dans le plan.
K n’est pas dans le plan, B l’est, donc (KB) est sécante au plan (ABG)=(AIJ) en B.

6) Le plan (EBK) coupe la face CDHG suivant quelle droite ?

Rédaction :

La droite (EK) est sur incluse dans le plan (EBK), du coup (EH) aussi car c’est un prolongement de (EK). (EBH) est le même plan que (EBK).

géométrie espace plans sécants droite

En B, on peut prolonger le plan avec une droite parallèle à (EH). (BC) est parallèle à (EH). Donc le plan (EBH) peut être prolongé suivant (BC). Il devient (EBCH).

(CH) appartient au plan. (CH) appartient aussi à la face (CGHD). Donc les plans se coupent en (CH).
Conclusion : (EBK) coupent (CGHD) en (HC).

7) Le plan (PLJ) coupe la face ABCD suivant une droite parallèle à quelle droite ?

Rédaction :

Je trace le triangle plan (PLJ). Je peux prolonger ce plan à partir du point P en prenant une parallèle à (LJ). Sur le dessin ci-dessous, en suivant les flèches vertes j’arrive sur deux points sur les arêtes qui permettent de dessiner le plan en rectangle.

géométrie droite prolongement plans

On cherche les intersections du plan rectangle vert avec le plan au sol ABCD.

La première astuce est de prolonger le plan ABCD vers la droite en rallongeant les droites (AB) et (DC).

Pour trouver une droite d’intersection entre deux plans, il est utile de trouver deux points d’intersection et les relier.

Pour trouver un point d’intersection, une bonne idée est de choisir une face et de faire croiser deux droites sécantes : l’une appartenant à un plan, et l’autre appartenant à l’autre plan.

Dans notre cube, on a une droite verte et la droite (AB) au sol qui sont sur le plan de devant (la face ABFE). Si on prolonge la droite verte, on trouve le point d’intersection (rouge) avec (AB). C’est un point d’intersection des deux plans.

De même pour la face arrière DCHG, on prolonge la droite du plan vert qui va couper (DC). On note ce point en rouge qui est un second point d’intersection de (PLJ) avec (ABCD).

En reliant ces deux points rouges, on trouve la droite d’intersection de (PLJ) et (ABCD). Elle est parallèle à (LJ) et pas aux deux autres droites.

Bonne compréhension,
Sylvain

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