Corrigé N°196 – Pourcentages, hausse, baisse, valeurs – Première ES

septembre 12th, 2016

Category: Pourcentages, Première ES

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Corrigé N°196 :

Exercice : Pourcentages – Calculs, hausse, baisse, valeurs – Première ES

1) Si un prix augmente de 4 %, puis baisse de 5 %, alors globalement ce prix a baissé :

Rédaction :

Pour faire des calculs de hausse et de baisse avec les pourcentages, on utilise les coefficients multiplicateurs.

coefficient multiplicateur pourcentages

Avec le dessin, on voit qu’on multiplie la valeur initiale par le coefficient multiplicateur de hausse (1 + 4/100) = 1,04. Puis on multiplie la valeur obtenue par le coefficient multiplicateur de baisse (1 – 5/100) à 0,95 pour obtenir la valeur finale.
Cela revient à une multiplication finale de 1,04 × 0,95 = 0,988. J’obtiens un coefficient multiplicateur (CM) plus petit que 1 dont c’est une baisse. Vrai.

2) Une hausse de 25% est compensée par une baisse de 20 % :

Rédaction :

On fait comme à la question précédente.
(1 + 25/100) × (1 – 20/100)
= 1,25 × 0,8 = 1.
La hausse de 25% est donc bien compensée par la baisse de 20%. Vrai.

3) Si on diminue le côté d’un carré de 10 %, alors son périmètre diminue de 40 % :

Rédaction :

Cela revient à multiplier le côté par (1 – 10/100) = 0,9.
Le périmètre, c’est quatre fois le côté donc le nouveau périmètre sera
4 × 0,9 × côté initial
= 4 × côté initial × 0,9
= périmètre initial × 0,9.
Ce qui représente une baisse de 10% là aussi.
En gros, si un côté diminue de taille, toutes les distances diminuent de la même taille. Ici, c’est 10%.

4) Si après une réduction de 20% un jeu coûte 28 €, alors son prix avant réduction était de 33,60 euros :

Rédaction :

Pour trouver la valeur finale à partir d’une valeur initiale connue, on multiplie par le coefficient multiplicateur.

coefficient multiplicateur inverse pourcentages

Au contraire, pour retrouver la valeur initiale à partir de la valeur finale, on divise par le même coefficient multiplicateur.

Comme la réduction est de 20%, le CM (coefficient multiplicateur) est de (1 – 20/100) = 0,8.

Donc pour retrouver la valeur initiale, on fait
valeur_finale divisée par CM
= 28 / 0,8 = 35€.
Ce qui est différent de 33,6 euros. Faux.

5) 28 baisses successives de 1% correspondent à une baisse de 25% environ :

Rédaction :

Je fais le schéma habituel avec les flèches et les CM pour indiquer les 28 baisses de 1%.
CM = (1 – 1/100) = 0,99.

baisses sucessives coefficient multiplicateur

Cela revient donc à calculer le CM global
= 0,99 × 0,99 × 0,99 × … 0,99 × 0,99 (28 fois)
= 0,9928
= 0,7547 (je prends 4 chiffres après la virgule pour la précision)

Comme le CM est plus petit que 1, c’est une baisse dont la formule est (1 – p/100).

Je vais retrouver le pourcentage :
1 – p/100 = 0,7547
p/100 = 0,7547 – 1 (on fait -1 de chaque côté)
p/100 = -0,2453
-p = -0,2453 × 100 (on fait ×100 de chaque côté)
-p = -24,53
p = 24,53 (on enlève les “moins-“)

La baisse est de 24,53% donc est bien proche de 25% en arrondissant. Vrai.

6) Le nombre d’habitants d’une ville était 157500 en 2002 et 139860 en 2006. Quel est le taux d’évolution du nombre d’habitants de cette ville de 2002 à 2006 ? :

Rédaction :

Je dessine le dessin habituel avec les valeurs initiale et finale.
coefficient multiplicateur pourcentage

Du coup, 157500 × CM = 139860
CM = 139860/157500 (en divisant de chaque coté par 157500)
CM = 0,888 (le coefficient multiplicateur est bien le taux d’évolution)

Le taux d’évolution de la population de 2002 à 2006 est de 0,888.

7) On admet que le chiffre d’affaire d’une entreprise augmentera régulièrement de 3,2% par an. Sur une période de 10 ans, quel sera son pourcentage d’augmentation ? :

Rédaction :

Je dessine les hausses successives de 3,2% avec le CM associé.
CM = (1 + 3,2/100) = 1,032

hausses successives pourcentages

Cela revient donc à calculer le CM global
= 1,032 × 1,032 × 1,032 × … 1,032 × 1,032 (10 fois)
= 1,03210
= 1,3702 (je prends 4 chiffres après la virgule pour la précision)

Je vais retrouver le pourcentage :
1 + p/100 = 1,3702 (je mets “plus+” car c’est une hausse)
p/100 = 1,3702 – 1 (on fait -1 de chaque côté)
p/100 = 0,3702
p = 0,3702 × 100 (on fait ×100 de chaque côté)
p = 37,02

L’augmentation est de 37,02% sur une période de 10 ans.

8) Avec quel pourcentage de hausse est compensée une baisse de 25 % ? :

Rédaction :

Je fais le schéma de la baisse de 25% suivi de l’opération inverse (la hausse qui compense).
CM = (1 – 25/100) = 0,75.

coefficient multiplicateur inverse pourcentages

Pour effectuer l’opération inverse d’une baisse ou d’une hausse, on prend le coefficient multiplicateur inverse. Multiplier par l’inverse 1/CM, c’est la même chose que diviser par CM.

1/CM = 1/0,75
= 1,3333 (CM de l’opération inverse).

Je vais retrouver le pourcentage :
1 + p/100 = 1,3333 (je mets “plus+” car c’est une hausse)
p/100 = 1,3333 – 1 (on fait -1 de chaque côté)
p/100 = 0,3333
p = 0,3333 × 100 (on fait ×100 de chaque côté)
p = 33,33

La baisse de 25% est compensé avec une hausse de 33,33%.

9) La population d’une ville a augmenté de 7% en 2004, de 5% en 2005 et de 6% en 2006. A quel pourcentage est égale l’augmentation de la population de cette ville sur la période 2004-2006 ? :

Rédaction :

Je fais le dessin des trois hausses ci-dessous.

coefficient multiplicateur global pourcentages

Je calcule le CM global en faisant le produit
1,07 × 1,05 × 1,06
= 1,19091.

En soustrayant 1 et en multipliant par 100
, cela donne une hausse globale de 19% sur 3 ans.

10) D’une année sur l’autre, un produit perd 10 % de sa valeur. Au bout de combien d’années le produit a-t-il perdu au moins 70 % de sa valeur initiale ? :

Rédaction :

Perdre 10% de sa valeur, c’est arriver à un CM de (1 – 10/100) = 0,90.

Perdre 70% de sa valeur, c’est arriver à un CM de (1 – 70/100) = 0,30.

0,9 = 0,9 (un an de baisse à 10%)
0,9 × 0,9 = 0,81 (deux ans)
0,81 × 0,9 = 0,729 (trois ans)
0,729 × 0,9 = 0,6561 (quatre ans)
0,59049 (cinq)
0,531441 (six)
0,478 environ (sept)
0,43 environ (huit)
0,387 environ (neuf)
0,349 environ (dix)
0,314 environ (onze)
0,282 environ (douze).

On arrive en dessous du CM 0,3 après 12 ans. C’est à partir de là qu’on a perdu 70%.

Bonne compréhension,
Sylvain

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