Corrigé N°091 – Probabilités, tableau, loi, espérance – Première S

septembre 2nd, 2016

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Corrigé N°091 :

Exercice : Probabilités – Calculs, loi, tableau, espérance, coût – Première S

1) Calculer P(G U W) :

Dans cette situation, il y a deux paramètres à propos des téléphones. Le premier est la présence du Wifi W (ou non) et le second est la présence du GPS G (ou non). Pour représenter cette situation, je te suggère de faire un tableau à double entrées.

Sur les lignes, tu peux séparer W (avec Wifi) et W (sans Wifi). Sur les colonnes, tu peux séparer G (avec GPS) et G (sans GPS).

La ligne du dessous est le sous-total de G et celui de G, la colonne de droite est le sous-total de W et celui de W.

Les quatre cases centrales sont les intersections qui prennent en compte à la fois la présence (ou non) de W et la présence (ou non) de G. Enfin en bas à droite, il y a le total. Ici, on travaille en pourcentage donc on met 100%.

Voici le premier tableau avec ce que l’on cherche en rouge (l’union veut dire qu’on veut au moins G ou W). Les données de l’exercice sont en vert.

probabilite tableau intersection union

Pour compléter les cases, tu dois faire des soustractions sur les lignes et les colonnes.
70 – 24 = 46 ;
40 – 24 = 16 ;
100 – 70 = 30 ;
100 – 40 = 60 ;
30 – 16 ou 60 – 46 = 14
De cette manière, toutes les cases du tableau sont remplies et tu obtiens la répartition des options avec les intersections. Ces résultats sont en bleu foncé ci-dessous.

tableau probabilité union intersection

Pour l’union G U W, on reprend ce qu’il y a en rouge (avec la présence de “soit G, soit W, soit les deux”) et on additionne :
24 + 46 + 16 = 86%.
Donc P(G U W) = 0,86.

2) Déduisez-en la probabilité qu’un téléphone n’ait aucune des deux options :

Aucune des deux options, c’est ni G, ni W, soit G inter W”, c’est la case avec 14%.
P(aucune des deux options)= 0,14.

3) Montrer que P(X = 6) = 0,46 :

6 euros correspond à prendre l’option Wifi sans prendre celle du GPS. Dans le tableau, cela revient à prendre G inter W” qui vaut 46%.
Donc P(X = 6) = 0,46.

4) Déterminer la loi de probabilité de X, puis compléter le tableau :

Une loi de probabilité revient (presque toujours) à faire un tableau avec les valeurs en haut et les probabilités sur la ligne du dessous. Ici, il s’agit de faire la loi de probabilité du gain qui est liée à celle des options (car le gain dépend des options).

On va reprendre le précédent tableau, mais en plus “aplati”.

loi probabilités gains valeurs

La première ligne rappelle les options, la deuxième indique le gain, puis la troisième met les probabilités. La loi de probabilité du gain concerne les deux dernières lignes. C’est pour ça que j’ai mis la première ligne entre parenthèses.

5) Calculer l’espérance mathématique E(X) :

La formule de l’espérance est :
E(X) = Valeur1 × Proba1 + Valeur2 × Proba2 + Valeur3 × Proba3 + Valeur4 × Proba4
= 0 × 0,14 + 6 × 0,46 + 12 × 0,16 + 18 × 0,24
= 9.

L’espérance est de 9. Cela veut dire qu’en moyenne, la marque va payer 9 euros pour les options.

6) Déduisez-en une estimation du coût de revient total de l’équipement de 200 000 appareils dans les mêmes conditions :
On fait en moyenne 9 × 200000 = 1,8 millions d’euros.

Bonne compréhension,
Sylvain

astuces exercices maths corrigé

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