Corrigé N°375 – Second degré, canonique, courbe, équation – Première S

septembre 26th, 2016

Category: Corrigé et Astuces, Equations et Inéquations, Fonctions, Polynômes et Rationnelles, Première S

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Corrigé N°375 :

Exercice : Second degré – Forme canonique, courbes, équations – Première S

1) Déterminer la forme canonique de f :

Rédaction :

La forme canonique de f est donnée par cette formule :

forme canonique second degré

xS = α = abscisse du sommet
yS = β = ordonnée du sommet

Ces coordonnées (xS ; yS) sont données par :

Second degré coordonnées sommet parabole

Ici a = 3, b = -12, c = -15.

xS = -b/2a = -(-12)/(2×3)
= 12/6 = 2

Δ = b2 – 4ac
= (-12)2 – 4 × 3 × (-15)
= 144 + 4 × 3 × 15
= 144 + 180
= 324

yS = /4a = -324/(4×3)
= -324/12 = -27

Donc les coordonnées du sommet S sont (2 ; 27).
On peut aussi calculer yS avec
f(xS) = f(2) = 3 × 22 – 12 × 2 – 15
= 12 – 24 – 15
= -27.

Du coup, la forme canonique est :
f(x) = 3(x – 2)2 – 27.

2) Déterminer les solutions de l’équation f(x) = 0 :

Rédaction :

f(x) = 0
⇔ 3x2 – 12x – 15 = 0

J’ai a = 3, b = -12, c = -15.

Je calcule Δ = b2 – 4ac
= (-12)2 – 4 × 3 × (-15)
= 144 + 4 × 3 × 15
= 144 + 180
= 324 > 0.

Donc on a deux racines x1 et x2 :

x1 = (-b – √Δ)/(2a)
= (-(-12) – √324)/(2 × 3)
= (12 – 18)/(6)
= -6/6
= -1

x2 = (-b + √Δ)/(2a)
= (-(-12) + √324)/(2 × 3)
= (12 + 18)/(6)
= 30/6
= 5

Donc S = {-1 ; 5}.

3) Coordonnées du point d’intersection de Cf et de l’axe des ordonnées :

Rédaction :

Si Cf coupe l’axe des ordonnées (ce qui donnera ce point d’intersection), c’est que l’abscisse x est égal à 0 car l’axe des ordonnées a pour équation x = 0.
Pour le calcul de l’ordonnée, je rassemble y = f(x) et x = 0, cela fait y = f(0).
y = f(0) = 3 × 02 – 12 × 0 – 15
= – 15.
Le point d’intersection a pour coordonnées (0 ; – 15).

4) Dresser le tableau de variation de f puis allure de Cf :

Rédaction :

Comme on a les coordonnées du sommet, on sait où s’arrêtent les flèches.
Regardons le signe de “a”. C’est 3 donc il est positif.

(Hors-rédaction : l’atmosphère/ambiance est positive, la parabole sourit.)

second degré tableau variation a positif

Pour notre fonction ici présente :

second degré tableau variation a négatif

Voici l’allure de la courbe en reprenant les deux points d’intersection avec l’axe des abscisses (abscisses solutions de l’équation f(x) = 0), le point d’intersection avec l’axe des ordonnées, le sommet, et un point symétrique à droite.

tracer courbe parabole

PS : je n’ai pas pris le repère donné.

5) Pour chacune de ces fonctions, indiquer laquelle des paraboles la représente :

Rédaction :

Chacune des quatre paraboles a un sommet différent, calculons les abscisses de ces sommets avec les expressions et la formule -b/2a.

g :
xS = -b/2a = -1/(-1/2)
= -1/(-2/2)
= +1/(+1)
= 1
Ce qui correspond à l’abscisse du sommet de C3.

h :
xS = -b/2a = -(-2)/(2/4)
= 2/(2/4)
= 2/(1/2)
= 2 × 2/1
= 4
Ce qui correspond à l’abscisse du sommet de C1.

k :
xS = -b/2a = -(-2)/(-1/3)
= 2/(-2/3)
= 2 × –3/2
= -3
Ce qui correspond à l’abscisse du sommet de C2.

l :
xS = -b/2a = -1/(1/4)
= -1/(2/4)
= -1/(1/2)
= -1 × 2/1
= -2
Ce qui correspond à l’abscisse du sommet de C4.

Je récapitule :
(g ; C3) (h ; C1) (k ; C2) (l ; C4)

6) Résoudre graphiquement l’inéquation g(x) > h(x) :

Rédaction :

Pour résoudre graphiquement g(x) > h(x), je dois regarder quand la courbe Cg est strictement au dessus de celle de Ch.
C’est à dire quand C3 est au strictement au dessus de C1.
J’entoure les portions de courbe, je descends au niveau des abscisses.

position relative courbes inéquation

Cela arrive pour les valeurs de x entre 0 et 4.
Donc S = ]0 ; 4[, j’exclus les valeurs 0 et 4 car l’inégalité est stricte.

7) Résoudre les équations suivantes :

4x2 – 9 = 0

⇔ (2x)2 – 32 = 0 (de la forme a2 – b2)
⇔ [(2x) – 3][(2x) + 3] = 0 (en factorisant avec (a-b)(a+b))
Un produit de facteurs est nul si au moins l’un des facteurs est nul.
⇔ (2x – 3) = 0 ou (2x + 3) = 0
⇔ 2x = 3 ou 2x = -3
⇔ x = 3/2 ou x = -3/2
S = {-3/2 ; 3/2}

2x2 – 7x = 0

⇔ 2x × x – 7 × x = 0 (de la forme A×K – B#x000d7; K)
⇔ x × (2x – 7) = 0 (de la forme K #x000d7; (A – B))
Un produit de facteurs est nul si au moins de ses facteurs est nul.
⇔ x = 0 ou 2x – 7 = 0
⇔ x = 0 ou 2x = 7
⇔ x = 0 ou x = 7/2
S = {0 ; 7/2}

2004x2 + x – 2005 = 0

Impossible de factoriser ici.
Δ = b2 – 4ac
= 12 – 4 × 2004 × (-2005)
= 1 + 4 × 3 × 15
= 1 + 16072080
= 16072081 > 0.

Donc on a deux racines x1 et x2 :

x1 = (-b – √Δ)/(2a)
= (-1 – √16072081)/(2 × 2004)
= (-1 – √16072081)/4008

x2 = (-b + √Δ)/(2a)
= (-1 + √16072081)/(2 × 2004)
= (-1 + √16072081)/4008

Donc S = {(-1 – √16072081)/4008 ; (-1 + √16072081)/4008}.

(-3/4)x2 + 2x – 5 = 0

Impossible de factoriser ici.
Δ = b2 – 4ac
= 22 – 4 × (-3/4) × (-5)
= 4 – 3 × 5 (les 4 s’annulent)
= 4 – 15 = -9 < 0

Donc pas de solution.

(3x2 + 10x + 8)/(x + 2) = 2x + 5

On a des fractions dans cette équation donc on passe tout à gauche.
Déjà, on ne peut pas diviser par 0, donc x+2 est différent de 0, donc -2 est valeur exclue de l’ensemble de définition de l’équation.

(3x2 + 10x + 8)/(x + 2) – 2x + 5 = 0
(3x2 + 10x + 8)/(x + 2)((2x + 5)×(x + 2))/(x + 2) = 0
(en mettant au même dénominateur)
(3x2 + 10x + 8 – (2x + 5)×(x + 2))/(x + 2) = 0
(en soustrayant les numérateurs)
(3x2 + 10x + 8 – [(2x + 5)×(x + 2)])/(x + 2) = 0
(attention au “moins-” donc je mets des crochets)
(3x2 + 10x + 8 – [2x × x + 2x × 2 + 5 × x + 5 × 2])/(x + 2) = 0
(3x2 + 10x + 8 – [2x2 + 4x + 5x + 10])/(x + 2) = 0
(3x2 + 10x + 8 – [2x2 + 4x + 5x + 10])/(x + 2) = 0
(3x2 + 10x + 8 – 2x2 – 4x – 5x – 10)/(x + 2) = 0
(x2 + x – 2)/(x + 2) = 0
(Une fraction est nulle si et seulement si le numérateur est nul (mais pas le dénominateur), on peut donc enlever le dénominateur).
⇔ x2 + x – 2 = 0 et x différent de 2.

Δ = b2 – 4ac
= 12 – 4 × 1 × (-2)
= 1 + 8
= 9 > 0

Donc on a deux racines x1 et x2 :

x1 = (-b – √Δ)/(2a)
= (-1 – √9)/(2 × 1)
= (-1 – 3)/(2)
= (-4)/(2)
= -2

x2 = (-b + √Δ)/(2a)
= (-1 + √9)/(2 × 2004)
= (-1 + 3)/(2)
= (2)/(2)
= 1

Pas de valeurs exclues ici donc S = {-2 ; 1}

Bonne compréhension,
Sylvain

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