Corrigé N°380 – Second degré, intersections, canonique – Première S

septembre 27th, 2016

Category: Corrigé et Astuces, Fonctions, Polynômes et Rationnelles, Première S

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Corrigé N°380 :

Exercice : Second degré – Points d’intersection, forme canonique – Première S

1) Sur l’écran de votre calculatrice, tracer (P) et (D) et conjecturer le nombre de points d’intersection de (P) et (D).

Rédaction :

fonction second degré affine

Généré par graphsketch.com

Ce n’est pas très précis. Je conjecture qu’il y a un point d’intersection entre (P) et (D).

2) Déterminer par le calcul les abscisses des points d’intersection de (P) et (D).

Rédaction :

Je donne des noms aux deux fonctions associées à (P) et (D).

p(x) = -9x2 + 60x – 80
d(x) = 5x + 4

Pour trouver les points d’intersection des deux courbes, il faut qu’elles sont la même hauteur (image) pour le le même “x”.
Je résous :

(P) et (D) se coupent quand
p(x) = d(x)
⇔ -9x2 + 60x – 80 = 5x + 4
⇔ -9x2 + 60x – 80 – (5x + 4) = 0
⇔ -9x2 + 60x – 80 – 5x – 4 = 0
⇔ -9x2 + 55x – 84 = 0

Δ = b2 – 4ac
= 552 – 4 × (-9) × (-84)
= 3025 – 3024
= 1 > 0

Donc il y a deux solutions distinctes.

x1 = (-b – √Δ)/(2a)
= (-55 – √1)/(2 × (-9))
= (-56)/((-18))
= 28/9

x2 = (-b + √Δ)/(2a)
= (-55 + √1)/(2 × (-9))
= (-54)/((-18))
= 3

Du coup, (P) et (D) ony deux points d’intersection, en x = 3 et x = 28/9.

3) Déterminer la forme canonique de f :

Rédaction :

On a f(x) = 2x2 + 2x – 24.
La forme canonique d’une fonction du second degré est :

forme canonique second degré

xS = α = abscisse du sommet
yS = β = ordonnée du sommet

Ces coordonnées (xS ; yS) sont données par :

Second degré coordonnées sommet parabole

Ici a = 2, b = 2, c = -24.

xS = -b/2a = -2/(2×2)
= -2/4
= -1/2

Δ = b2 – 4ac
= 22 – 4 × 2 × (-24)
= 4 + 4 × 2 × 24
= 4 + 192
= 196

yS = /4a = -196/(4×2)
= -196/8
= -49/2

Donc les coordonnées du sommet S sont (2 ; –49/2).

On peut aussi calculer yS avec
f(xS) = f(-1/2) = 2 × (-1/2)2 + 2 × (-1/2) – 24
= 2 × 1/4 – 1 – 24
= 1/22/248/2
= –49/2

4) Factoriser f(x) :

Rédaction :

Comme Δ est positif, il y a deux racines x1 et x2 (quand c’est nul, x1 = x2).
La forme factorisée d’un polynôme du second degré est :

second degré forme factorisee

Ici a = 2, b = 2, c = -24, Δ = 196

x1 = (-b – √Δ)/(2a)
= (-2 – √196)/(2 × 2)
= (-2 – 14)/(4)
= -16/4
= -4

x2 = (-b + √Δ)/(2a)
= (-2 + √196)/(2 × 2)
= (-2 + 14)/(4)
= 12/4
= 3

Donc la forme factorisée est f(x) = 2 × (x – (-4)) × (x – 3).

5) Coordonnées des points d’intersection de (C) avec l’axe des abscisses et avec l’axe des ordonnées :

Rédaction :

Les points d’intersections de (C) avec l’axe des abscisses, c’est quand f(x) = 0.
J’ai déjà résolu cette équation en 4).
C’est pour x = -4 et x = 3. Et leur ordonnée y vaut 0.
Donc ces points sont (0 ; -4) et (0 ; 3).

Si (C) coupe l’axe des ordonnées (ce qui donnera ce point d’intersection), c’est que l’abscisse x est égal à 0 car l’axe des ordonnées a pour équation x = 0.
Pour le calcul de l’ordonnée, je rassemble y = f(x) et x = 0, cela fait y = f(0).
y = f(0) = 2 × 02 +2 × 0 – 24
= -24.
Le point d’intersection a pour coordonnées (0 ; -24).

6) Position de (C) par rapport à l’axe des abscisses :

(C) est au dessus de l’axe des abscisse quand f(x) > 0 et est en dessous quand f(x) < 0. Comme a = 2 > 0 (ambiance/atmosphère positive : la parabole sourit), la parabole est tournée vers le haut.
Comme Δ > 0, la parabole coupe deux fois l’axe des abscisses.
De plus, la trinôme est du signe de a à l’extérieur des racines.

Voici le tableau de position relative :

position relative axe abscisses

Bonne compréhension,
Sylvain

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