Corrigé N°374 – Second degré, sommet, variation, fonction – Première S

septembre 26th, 2016

Category: Corrigé et Astuces, Equations et Inéquations, Fonctions, Polynômes et Rationnelles, Première S

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Corrigé N°374 :

Exercice : Second degré – Fonctions, sommet, variation, inéquation – Première S

1) Déterminer les coordonnées du sommet de la parabole Cg :

Rédaction :

Le sommet d’une parabole est donné par les coordonnées α et β du cours de maths. Je préfère les appeler xS et yS. Les formules sont :

coordonnees_sommet_parabole

Ici a = -3, b = 6, c = 12.

xS = -b/2a = -6/(2(-3))
= -6/-6 = 1

Δ = b2 – 4ac
= 62 – 4 × (-3) × 12
= 36 + 4 × 3 × 12
= 36 + 144
= 180

yS = /4a = -180/(4(-3))
= -12/-6 = 15

Donc les coordonnées du sommet S sont (1 ; 15).

2) Tableau de variation de g puis courbe Cg :

Rédaction :

Comme on a les coordonnées du sommet, on sait où s’arrêtent les flèches.
Regardons le signe de “a”. C’est -3 donc il est négatif.

(Hors-rédaction : l’atmosphère/ambiance est négative, la parabole ne sourit pas.)

second degré tableau variation a négatif

Du coup, la parabole monte puis descend. De même pour les flèches. J’obtiens le tableau de variation suivant.

second degré tableau variation a négatif

Pour dessiner une courbe, il faut faire un tableau de valeurs. Par exemple de 1 en 1 en partant de (-3).

(Tu peux le faire à la calculatrice à l’aide de la fonction table. Ou alors tu dessines le tableau sur la copie en calculant un par un en mettant bien des parenthèses autour des nombres négatifs. Quand c’est espacé en hauteur, tu peux calculer de demi en demi : 0.5, 1.5, etc)

fonction tableau valeurs

représentation graphique fonction second degré

3) Inéquation 3x2 – 4x – 4 > -3x2 + 6x + 12 :

Rédaction :

3x2 – 4x – 4 > -3x2 + 6x + 12
⇔ 3x2 – 4x – 4 – (-3x2 + 6x + 12) > 0
⇔ 3x2 – 4x – 4 + 3x2 – 6x – 12 > 0
⇔ 6x2 – 10x – 16 > 0

Pour résoudre une inéquation plus grand ou plus petit que 0, je dois faire un tableau de signe.

Comme c’est du second degré, je calcule Δ = b2 – 4ac
= (-10)2 – 4 × 6 × (-16)
= 100 + 384 = 484 > 0

Donc on a deux racines x1 et x2 :

x1 = (-b – √Δ)/(2a)
= (-(-10) – √484)/(2 × 6)
= (10 – 22)/(12)
= -12/12
= -1

x2 = (-b + √Δ)/(2a)
= (-(-10) + √484)/(2 × 6)
= (10 + 22)/(12)
= 32/12
= 8/3

Le tableau de signe est de la forme (on rappelle que a > 0) :

signe trinôme a positif

tableau signe polynôme second degré

Donc on prend seulement les “plus+” et pas les zéros car l’inégalité est stricte.

S = ]-∞ ; -1[ U ]8/3 ; +∞[

4) Contrôler graphiquement l’ensemble de solution obtenu dans la question précédente :

Rédaction :

3x2 – 4x – 4 > -3x2 + 6x + 12
C’est quand f(x) > g(x) d’après les données.
C’est quand la courbe Cf est strictement au dessus de la courbe Cg.

Si on entoure les portions de courbe qui conviennent et qu’on redescend verticalement sur l’axe des abscisses, on retrouve la réunion d’intervalle précédente.

5) Position de M telle que l’aire Ag est égale à la moitié de l’aire du carré ABCD :

Rédaction :
Ag est égale à la moitié de l’aire du carré ABCD
⇔ Ag = 0.5 × AABCD
⇔ AM2 + (AB-AM)2 = 0.5 × AB2

On pose x = AM (ça marche toujours comme ça dans ce style d’exercice).

⇔ x2 + (8 – x)2 = 0.5 × 82
⇔ x2 – 82 + 2 × 8 × x + x2 = 0.5 × 64
⇔ x2 + 64 – 16x + x2 = 32
⇔ 2x2 – 16x + 64 – 32 = 0
⇔ 2x2 – 16x + 32 = 0

Comme tous les coefficients sont paire, je simplifie cette équation par 2 pour simplifier.

⇔ x2 -+ 8x + 16 = 0

Je peux résoudre avec δ mais je préfère ici utiliser une identité remarquable.

⇔ x2 – 2 × 4 × x + 16 = 0
⇔ (x – 4)2 = 0
⇔ x – 4 = 0 (Un carré est nul si et seulement si son contenu est nul).
⇔ x = 4

Donc AM = 4 et il existe une seule position de M qui convient à cette égalité d’aires. C’est le milieu de [AB].

Bonne compréhension,
Sylvain

astuces exercices maths corrigé

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