Corrigé N°166 – Suites, calculs, limites, explicites – Terminale S

septembre 8th, 2016

Category: Corrigé et Astuces, Limites, Suites, Terminale S

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Corrigé N°166 :

Exercice : Suites – Calculs de limites de suites explicites – Terminale S

1) Limite de un = n3 − 4n2 + 7 :

Rédaction :

n3 tend vers +∞ et 4n2 tend aussi vers +∞. Comme on soustrait +∞ par +∞, on obtient donc une forme indéterminée. Le +7 est une constante qui ne modifie rien à +∞.

Je factorise un par le monôme au degré le + élevé soit par n3.

un
= n3 × ( 1 – 4n2/n3 + 7/n3 )
= n3 × ( 1 – 4/n + 7/n3 )

lim[n → +∞] 1 = 1
lim[n → +∞] 4/n = 0
lim[n → +∞] 7/n3 = 0

Par somme,
lim[n → +∞](1 – 4/n + 7/n3) = 1

De plus,
lim[n → +∞] n3 = +∞

Par produit,
lim[n → +∞] n3 × ( 1 – 4/n + 7/n3 ) = +∞

Donc lim[n → +∞] un = +∞.

2) Limite de vn = n2/(2n − 3) :

Rédaction :

La limite du numérateur n2 est +∞ et la limite du dénominateur 2n-3 est aussi +∞. On a donc +∞ divisé par +∞ qui est une forme indéterminée.

Pour lever l’indétermination, on factorise en haut par le monôme le plus élevé (n2) et en bas par le monôme le plus élevé (n).

vn
= (n2)/(n × (2 – 3/n))
= (n × n)/(n × (2 – 3/n))
= n/(2 – 3/n)
(car n/n donne 1 et disparaît dans la fraction)

Au dénominateur :
lim[n → +∞] 2 = 2
lim[n → +∞] 3/n = 0

Par somme,
lim[n → +∞](2 – 3/n) = 2

Au numérateur :
lim[n → +∞] n = +∞

Par quotient,
lim[n → +∞] n/(2 – 3/n)

Donc lim[n → +∞] vn = +∞.

3) Limite de wn = (1 − 2n)/(3n − 4) :

Rédaction :

La limite du numérateur 1-2n est -∞ et la limite du dénominateur 3n-4 est +∞. On a donc -∞ divisé par +∞ qui est une forme indéterminée.

Pour lever l’indétermination, on factorise en haut par le monôme le plus élevé (n) et en bas par le monôme le plus élevé (n).

vn
= (1 – 2n)/(3n – 4)
= (n × (1/n – 2))/(n × (3 – 4/n))
= (1/n – 2)/(3 – 4/n)
(car n/n donne 1 et disparaît dans la fraction)

Au numérateur :
lim[n → +∞] 1/n = 0
lim[n → +∞] 2 = 2

Par somme :
lim[n → +∞] (1/n – 2) = -2

Au dénominateur :
lim[n → +∞] 3 = 3
lim[n → +∞] 4/n = 0

Par somme :
lim[n → +∞] (3 – 4/n) = 3

Par quotient :
lim[n → +∞] (1/n – 2)/(3 – 4/n) = -2/3

Donc lim[n → +∞] vn = -2/3.

4) Limite de tn = vn/un :

Rédaction :

Les limites de vn et un valent toutes les deux +∞. En divisant, cela donne une forme indéterminée.

Je reprends donc leurs expressions.

tn
= n/(2 – 3/n) divisé par n2/(2n − 3)
= n/(2 – 3/n) × (2n − 3)/n2
= (n × (2n − 3))/((2 – 3/n) × n2)
= (n × n × (2 − 3/n))/((2 – 3/n) × n2)
(en factorisant par le monôme le plus élevé dans 2n-3 qui est n)
= 1 car en haut c’est pareil qu’en bas.

Donc la limite de tn est de 1.

Bonne compréhension,
Sylvain

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