Corrigé N°211 – Suites, géométrique, explicite, limite – Terminale ES

septembre 12th, 2016

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Corrigé N°211 :

Exercice : Suites – Récurrent, géométrique, explicite, limite- Terminale ES

1) Montrer que u0 = 50 et un+1 = 0,95un + 3 :

Rédaction :

En 2010, la forêt contient 50 milliers d’arbres et c’est l’année (2010 + 0). Donc cela compte pour n = 0. Du coup, u0 = 50.

A l’étape n (l’année 2010+n), on prend le nombre d’arbres, on en enlève 5%. Du coup, on multiplie le nombre actuel un par le coefficient multiplicateur 1-5/100 = 0,95. On obtient un×0,95. Puis on fait repousser les 3 milliers : un×0,95 + 3 qui donne le nombre d’arbres l’année suivante soit un+1.
Donc pour tout n, un+1 = un×0,95 + 3.

2) Calculer u1. Combien d’arbres comptera la forêt en 2011 :

Rédaction:

u1 = u0×0,95 + 3
= 50 × 0,95 + 3
= 47,5 + 3
= 50,5.

La forêt comptera 50500 arbres en 2011.

3) Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raison 0,95 :

Rédaction :

Pour montrer que la suite (vn) géométrique, je dois montrer que pour tout n,
vn+1 = quelquechose × vn
donc je commence par calculer :

Pour tout n, vn+1 = 60 − un+1 (avec la nouvelle formule de vn appliquée à n+1)
= 60 − (un×0,95 + 3) (en remplaçant un+1 par sa formule récurrente)
= 60 – un×0,95 – 3 (en distribuant le “moins-” sur chaque élément de la parenthèse enlevée)
= 57 – un×0,95
(L’astuce est maintenant de factoriser par le coefficient qui multiplie un.)

= 0,95 × (57/0,95 – un)
= 0,95 × (60 – un) (on retrouve la formule de vn)
= 0,95 × vn

Donc pour tout n, vn+1 = 0,95 × vn.

(Hors-rédaction : la phrase officielle)
Il existe q ∈ R (q = 0,95) tel que :
pour tout n ∈ N, vn+1 = q × vn,
donc (vn) est une suite géométrique de raison q = 0,95
et de premier terme v0 = 60 – u0 = 60 – 50 = 10.

4) Calculer v0. Déterminer vn en fonction de n :

Rédaction :

J’ai calculé v0 de manière spontanée dans la question 3).
v0 = 10.

Lorsqu’on a le premier terme vp et la raison q, la formule d’une suite géométrique est :

formule explicite suite géométrique

Ici, p = 0, vp = v0 = 10 et q = 0,95.
Donc pour tout n, vn = 10 × 0,95n (car n-0 = n).

5) Démontrer que un = 60 − 10 × (0,95)n :

Rédaction :

D’après l’énoncé, vn = 60 − un.
Donc vn – 60 = −un (en soustrayant par 60)
-vn + 60 = +un (en multipliant tout par (-1) pour enlever le “moins-” devant un).

Du coup, pour tout n,
un = 60 – vn
= 60 – 10 × 0,95n.

6) Déterminer le nombre d’arbres de la forêt en 2015 :

Rédaction :

2015 c’est 2010+5, donc c’est pour n = 5.
Le nombre d’arbres est u5
= 60 – 10 × 0,955
= 60 – 10 × 0,7737809375
= 60 – 7,737809375
= 52,262190625 milliers. Soit 52262 arbres en 2015.

7) Vérifier que un+1 − un = 0,5 × (0,95)n :

Rédaction :

Pour tout n,
un+1 − un
= 60 – 10 × 0,95n+1 – (60 – 10 × 0,95n)
= 60 – 10 × 0,95n×0,951 – 60 + 10 × 0,95n
(formule des puissances et en enlevant les parenthèses derrière le “moins-“)
= 10 × (-0,95n×0,951 + 0,95n)
= 10 × (-0,95n×0,951 + 0,95n×1)
= 10 × (0,95n × (-0,951 + 1))
(en factorisant par 0,95 dans la parenthèse)
= 10 × (0,95n × (0,05))
= 0,5 ×0,95n

8) En déduire la monotonie de la suite:

Rédaction :

Pour étudier si une suite est croissante ou décroissante, on détermine le signe de :

variation suite

Ici pour tout n,
un+1 − un
= 0,5 ×0,95n
0,5 est strictement positif et 0,95n est strictement positif, donc le produit est strictement positif.
Du coup, un+1 − un > 0, donc la suite (un) est strictement croissante.

9) Déterminer la limite de (un). Interpréter :

Rédaction :

lim [n → +∞] 0,95n = 0 car 0 < q < 1 (q = 0,95)

Par produit, lim [n → +∞] -10×0,95n = 0 (car -10×0 = 0)

Par somme, lim [n → +∞] (60 – 10×0,95n) = 60 (car 60 + 0 = 0).

Donc la limite de un est 60 et à long terme la forêt contiendra 60 milliers d’arbres.

Bonne compréhension,
Sylvain

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