Corrigé N°163 – Suites, récurrence, géométrique, limite – Terminale S

septembre 22nd, 2016

Category: Corrigé et Astuces, Suites, Terminale S

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Corrigé N°163 :

1) Placer A0, A1, A2, A3, A4, A5 et A6 :

repère points milieu suite

2) Calculer a2, a3, a4, a5, et a6 :

Rédaction :

En utilisant la formule du milieu de seconde :

géométrie formule milieu segment

Pour les abscisses seulement ici :

a2 = (a0 + a1)/2
= (0 + 1)/2
= 1)/2

a3 = (a1 + a2)/2
= (0.5 + 1)/2
= 1.5/2
= 0.75
= 3/4

a4 = (a2 + a3)/2
= (0.5 + 0.75)/2
= 1.25/2
= (5/4)/2
= 5/8

a5 = (a3 + a4)/2
= (3/4 + 5/8)/2
= (6/8 + 5/8)/2
= (11/8)/2
= 11/16

a6 = (a4 + a5)/2
= (5/8 + 11/16)/2
= (10/16 + 11/16)/2
= (21/16)/2
= 21/32

3) Justifier l’égalité an+2 = (an + an+1)/2 :

Rédaction :

C’est la formule du milieu pour les abscisses. An+2 est le milieu de An et An+1 donc on fait la demi-somme (comme la formule de la question 3) avec an et an+1 comme abscisses pour obtenir l’abscisse an+2.

4) Démontrer par récurrence an+1 = (-1/2)an + 1 :

Rédaction :

Initialisation :

D’une part (membre de gauche),
a1 = 1.

D’autre part (membre de droite),
(-1/2)a0 + 1
= (-1/2) × 0 + 1 = 1.

On a bien :
a1 = (-1/2)a0 + 1
La propriété est vraie au rang n = 0.

Hérédité :

On suppose que la propriété est vraie au rang k. On a donc :
ak+1 = (-1/2)ak + 1

Montrons qu’elle est vraie au rang k+1, c’est à dire que
ak+2 = (-1/2)ak+1 + 1.

On sait que ak+2 = (ak + ak+1)/2

J’ai ak+2 en fonction de ak alors que je le veux en fonction de ak+1. Donc il faut remplacer le ak par du ak+1 dans le calcul.

On sait que ak+1 = (-1/2)ak + 1
Donc ak+1 – 1 = (-1/2)ak
Et (-2) × (ak+1 – 1) = ak (en multipliant par -2 de chaque côté).

D’où ak+2 = (ak + ak+1)/2
= ((-2) × (ak+1 – 1) + ak+1)/2
= (-2ak+1 + 2 + ak+1)/2
(en développant le (-2))
= (-1ak+1 + 2)/2
= (-1/2)ak+1 + 1
(en séparant les fractions “diviser par 2”, et comme 2/2 = 1).

La propriété est donc bien vraie au rang k+1. L’hérédité est prouvée.

Comme j’ai prouvé l’initialisation et l’hérédité, la propriété est vraie pour tout n.

Soit (vn) la suite définie, pour tout entier naturel n, par vn = an2/3.

5) Démontrer que (vn) est une suite géométrique de raison –1/2.

Rédaction :

Pour tout n entier naturel,
vn+1 = an+12/3
= (-1/2)an + 1 – 2/3
= (-1/2)an + 1/3
= (-1/2) × [ an + (1/3)/(1/2)]
= (-1/2) × [ an + 1/3 × (-2)]
= (-1/2) × [ an2/3]
= (-1/2) × vn

Il existe q ∈ R (q = –1/2) tel que pour tout n ∈ N :
vn+1 = q × vn,
donc la suite (vn) est géométrique de raison q = –1/2 et de premier terme
v0 = a02/3
= 0 – 2/3 = –2/3.

6) Déterminer la limite de la suite (vn), puis celle de la suite (an).

Rédaction :

La formule explicite d’une suite suite géométrique est :

formule explicite suite géométrique

Donc vn = v0 × qn – 0
= (-2/3) × (-1/2)n

lim[n→+∞] (-1/2)n = 0 car 0 < q < 1.

Par produit, lim[n→+∞] (-2/3) × (-1/2)n = 0 (car –2/3 × 0 = 0).

D’après les données : vn = an2/3.
Donc an = vn + 2/3

Du coup, par somme, lim[n→+∞] an = 2/3 (car 0 + 2/3).

Bonne compréhension,
Sylvain

astuces exercices maths corrigé

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