Corrigé N°172 – Suites, somme, conjecture, récurrence – Terminale S

septembre 22nd, 2016

Category: Corrigé et Astuces, Suites, Terminale S

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Corrigé N°172 :

Exercice : Suites – Somme, conjecture, raisonnement par récurrence – Terminale S

1) Établir une relation de récurrence entre un+1 et un :

Rédaction :

On a un = 1 + 3 + … + (2n + 1)
et un+1 = 1 + 3 + … + (2n + 1) + (2(n+1) + 1) car on ajoute le dernier élément en “n+1” à un pour obtenir un+1.

Comme la première partie 1 + 3 + … + (2n + 1) vaut un, on obtient donc :
un+1 = un + (2(n+1) + 1)
= un + 2n + 2 + 1 (en développant)
= un + 2n + 3.

Voici donc la relation de récurrence qui donne un+1 en fonction de un :
un+1 = un + 2n + 3.

2) Calculer u0, u1, u2, u3 et u4 :

Rédaction :

En utilisant la formule de récurrence de usub>n+1 de la question 1).

u0 = 2 × 0 + 1 = 1.
u10 + 2 × 1 + 1 = 1 + 2 + 1 = 4.
u21 + 2 × 2 + 1 = 4 + 4 + 1 = 9.
u32 + 2 × 3 + 1 = 9 + 6 + 1 = 16.
u43 + 2 × 4 + 1 = 16 + 8 + 1 = 25.

3) Conjecturer l’expression de un, en fonction de n :

Rédaction :

En regardant les résultats de u0, u1, u2, u3 et u4, on s’aperçoit que ça fait 1, 4, 9, 16, et 25 qui sont les carrés de 1, 2, 3, 4 et 5.
Pour n = 0, u0 = carré de 1.
Pour n = 1, u1 = carré de 2.
Pour n = 2, u2 = carré de 3.
Pour n = 3, u3 = carré de 4.
Pour n = 4, u4 = carré de 5.

Il y a un décalage de +1 entre l’indice et le nombre qui est mis au carré (pour n=4, c’est le carré de (4+1)).

Donc je conjecture que un = (n + 1)2.

4) A l’aide d’un raisonnement par récurrence, démontrer cette conjecture :

Rédaction :

Je cherche à montrer que, pour tout n entier naturel, la propriété un = (n + 1)2.

Initialisation :

D’après la question 2), on a bien u0 = 1 = (0 + 1)2.

Hérédité :

Je suppose, qu’à un rang k donné (k entier naturel), la propriété est vraie. On a donc uk = (k + 1)2.

Je dois montrer que la propriété est vraie au rang k+1, c’est à dire que uk+1 = (k+1 + 1)2.

J’utilise la donnée principale de l’exercice qui est la relation entre uk+1 et uk soit :
uk+1 = uk + 2k + 3
= (k + 1)2 + 2k + 3 (en utilisant la propriété vraie au rang k)
= k2 + 2 × k × 1 + 12 + 2k + 3
= k2 + 4k + 4
= k2 + 4k + 22 (en S, on doit toujours penser que 4 = 22 et que 8 = 23)
= (k + 2)2 (c’est la factorisation de a2 + 2ab + b2)
= (k+1 + 1)2.
La propriété est donc vraie au rang k+1. Donc l’hérédité est prouvée.

Comme l’initialisation et l’hérédité sont prouvées, la propriété un = (n + 1)2 est vraie pour tout n.

Bonne compréhension,
Sylvain

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