Corrigé N°074 – Variation, fonction, carré, racine, inverse – Première S

novembre 27th, 2016

Category: Corrigé et Astuces, Fonctions, Première S

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Corrigé N°074 :

Exercice précédent : Variations de fonctions – Carré, racine, inverse – Première S

1) f : x → -3x2 sur ]-∞ ; 0] :

Rédaction :

On prend a < b ≤ 0 car on est sur ]-∞ ; 0].

a < b ≤ 0

⇔ a2 > b2 ≥ 02

(on change le sens des inégalités car la fonction “carré” est strictement décroissante sur ]-∞ ; 0])

⇔ -3a2 < -3b2 ≤ -3×0

(on change le sens des inégalités car on multiplie par un nombre négatif)

⇔ f(a) < f(b) ≤ 0



a < b donne f(a) < f(b) donc f est strictement croissante sur ]-∞ ; 0].


2) g : x → 2√(x) – 3 sur [0 ; +∞[ :

Rédaction :

On prend 0 ≤ a < b car on est sur [0 ; +∞[.

0 ≤ a < b

⇔ √(0) < √(a) ≤ √(b)

(on garde le sens des inégalités car la fonction “racine” est strictement croissante sur [0 ; +∞[)

⇔ 2√(0) < 2√(a) ≤ 2√(b)

(on garde le sens des inégalités car on multiplie par un nombre positif, ici 2)

⇔ 0 – 3 < 2√(a) - 3 ≤ 2√(b) - 3

(on garde le sens des inégalités quand on ajoute ou on soustrait)

-3 < f(a) ≤ f(b)



a < b donne f(a) < f(b) donc f est strictement croissante sur [0 ; +∞[.


3) h : x → 1/|x| sur R* :

Rédaction :

Ici, je vais faire avec une autre méthode vue en cours.
La fonction que l’on a là est l’inverse de la fonction absolue. Donc je représente les variations de la fonction “valeur absolue” ci-dessous.
D’après le cours, on obtient la première ligne :

variation valeur absolue inverse

Comme la fonction “inverse” est strictement décroissante sur R et sur R+. On change le sens des variations de la valeur absolue pour obtenir celles de h ci-dessus.


4) l : x → -1 + ( 1/(2x + 4) ) sur ]-2 ; +∞[ :

Rédaction :

On prend 0 ≤ a < b car on est sur [-2 ; +∞[.

-2 ≤ a < b

⇔ 2×(-2) < 2a ≤ 2b

(on garde le sens des inégalités car on multiplie par un nombre positif, ici 2)

⇔ -4 + 4 < 2a + 4 ≤ 2b + 4

(on garde le sens des inégalités quand on ajoute ou on soustrait)

⇔ 0 < 2a + 4 ≤ 2b + 4

(ici on a zéro à gauche, la partie gauche va disparaître quand on va passer à l’inverse)

1/(2a + 4)1/(2b + 4)

(on change le sens des inégalités car la fonction “inverse” est strictement décroissante sur ]0 ; +∞[. Ici on s’aperçoit que nos valeurs sont strictement au-dessus de zéro)

⇔ -1 + 1/(2a + 4) ≥ -1 + 1/(2b + 4)

(on garde le sens des inégalités quand on ajoute ou on soustrait)

⇔ f(a) ≥ f(b)



a < b donne f(a) > f(b) donc f est strictement décroissante sur [-2 ; +∞[.

Bonne compréhension,
Sylvain

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