Corrigé N°076 – Variations, fonctions, rationnelle – Première S

septembre 1st, 2016

Category: Corrigé et Astuces, Fonctions, Polynômes et Rationnelles, Première S

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Corrigé N°076 :

Exercice : Variations de fonctions – Expression rationnelle – Première S

f(x) = (2x – 4)/(x + 2)

1) Déterminer le domaine de définition Df de f :

C’est un quotient.
Un quotient est défini quand son dénominateur est différent de 0.
Pour déterminer les valeurs exclues (s’il y en a),
résous l’équation dénominateur = 0.
x + 2 = 0
⇔ x = -2.
Donc -2 est une valeur exclue (ou interdite).
Du coup, on ne peut pas choisir -2 pour x, car cela reviendrait à diviser par 0.
Donc Df = ]-∞ ; -2[ ⋃ ]-2 ; +∞[.
Df = R privé de {-2}.

2) Montrer que pour tout réel x de Df,
f(x) = 2 – 8/(x + 2) :

Pour démontrer une telle égalité, on part de la forme développée (celle avec le « moins ») puis on tente d’arriver à la forme « quotient » (celle de l’énoncé). Donc :

2 – 8/(x + 2)
= 2×(x + 2)/(x + 2)8/(x + 2) (en mettant au même dénominateur).
= (2x + 4)/(x + 2)8/(x + 2) (en distribuant le 2 au 1er numérateur).
= (2x + 4 – (8))/(x + 2) (en rassemblant les numérateurs)
= (2x – 4)/(x + 2)
= f(x) (qu’on met seulement à la fin).

On a donc bien démontré que f(x) = 2 – 8/(x + 2).

3) Étudier les variations de f sur ]-2 ; +∞[ :

Pour démontrer qu’une fonction est croissante en seconde, la propriété du cours dit qu’il faut :

– Partir de a < b. C'est à dire écrire "a < b" sur la feuille. - Puis arriver à f(a) ≤ f(b). En effet, si "a < b donne f(a) ≤ f(b)« , cela veut dire que la fonction f est croissante comme c’est illustré sur l’image ci-dessous.

fonction croissante

On voit bien que si on prend a < b et qu'on arrive à f(a) ≤ f(b), alors la courbe monte entre les deux points. Attention, il faut dire "pour tout a et b tels que a < b« .

Reprenons la formule f(x) = 2 – 8/(x + 2).

Rédaction :
Sur ]-2 ; +∞[ :
Pour tout a et b tels que : -2 < a < b (-2 est exclu donc a > -2), on a :

-2 < a < b

⇔ -2+2 < a+2 < b+2 (on ajoute déjà le +2 à côté du "x" au dénominateur de f(x))

⇔ 0 < a+2 < b+2

1/(a + 2) > 1/(b + 2) (on passe à l’inverse, et comme la fonction « inverse » est strictement décroissante sur ]0 ; +∞[, on change le sens de l’inégalité « <" en ">« ).
On ne s’occupe plus du 0 car on ne peut pas inverser 0.

8/(a + 2) > 8/(b + 2) (en multipliant par 8 positif, on garde le sens de l’inégalité).

⇔ –8/(a + 2) < -8/(b + 2) (en multipliant par « -« , on change le sens de l’inégalité).

⇔ 2 – 8/(a + 2) < 2 - 8/(b + 2) (l’ajout ou la soustraction ne change pas le sens)

⇔ f(a) < f(b) On a donc "a < b donne f(a) < f(b) » ou même « a < b donne f(a) ≤ f(b) » avec une inégalité large. Donc la fonction f est croissante sur ]-2 ; +∞ [.

Bonne compréhension,
Sylvain

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