Correction N°062 :

Exercice : Vecteurs et Droites – Équations cartésiennes droites – Première S

1) (d), A et ->v :

Rédaction :

Comme ->v est un vecteur, on peut le placer n’importe où sur le repère. Je prends un point de départ et je vais de 2 vers la droite (x = 2) et de 3 vers le bas (y = -3).

Pour tracer la droite, on choisit deux abscisses espacés et on calcule y.
Je choisis x = 6 et x = -6.

Pour x = 6 :
L’équation de droite est : 2x – 3y + 6 = 0
⇔ 2 × 6 – 3y + 6 = 0
⇔ 12 – 3y + 6 = 0
⇔ 18 – 3y = 0
⇔ 18 = 3y
⇔ 6 = y
Les coordonnées de B, premier point de la droite (d) sont (6 ; 6).

Pour x = -6 :
2x – 3y + 6 = 0
⇔ 2 × (-6) – 3y + 6 = 0
⇔ -12 – 3y + 6 = 0
⇔ -6 – 3y = 0
⇔ -6 = 3y
⇔ -2 = y
Les coordonnées de C, second point de la droite (d) sont (-6 ; -2).

Je place ces deux points sur le graphique. Et je trace l’unique droite qui passe par ces deux points. Pour vérifier, je remplace x par 0 pour voir qu’elle est l’ordonnée à l’origine.
∈ 2 × 0 – 3y + 6 = 0
∈ –3y + 6 = 0
∈ 6 = 3y
∈ 2 = y
C’est bon car on voit bien que la droite passe par l’ordonnée 2 sur l’axe des ordonnées. Il n’y a pas de contradiction.

droite cartésienne vecteur point

2) Vecteur ->u directeur de (d) :

Rédaction :

Les coordonnées d’un des vecteurs directeurs d’une droite sont :

droite vecteur directeur équation

Comme l’équation de droite est 2x – 3y + 6 = 0,
a = 2 et b = (-3).
Le vecteur directeur (le plus simple) est donc ->u(-b ; a) donc ->u(-(-3) ; 2). Du coup, le vecteur directeur de (d) ->u a pour coordonnées (3 ; 2).

3) ->w = 2->u – 1/2->v :

Rédaction :

Je place un point de départ sur la partie basse à droite. A partir de ce point, je fais deux fois le vecteur ->u puis la moitié de ->v à l’envers. J’obtiens un point d’arrivée. Du coup, j’ai le déplacement vecteur ->w.

vecteur coordonnées

4) Calculer ensuite les coordonnées de ->w.

Rédaction :

Cette question dépend du résultat trouvé à la question précédente.

Comme ->w = 2->u – 1/2->v,
l’abscisse x->w = 2x->u1/2x->v
= 2 × 3 – 1/2 × 2
= 6 – 1 = 5.
Et l’ordonnée y->w = 2y->u1/2y->v
= 2 × 2 – 1/2 × (-3)
= 4 + 1,5 = 5,5 = 11/2.

Donc ->w(5 ; 11/2).

5) Colinéarité :

Rédaction :

Là encore, cela dépend du vecteur directeur ->u trouvé au départ. Regardons si les coordonnées de ->v et de ->w sont proportionnelles.

x = 2 et y = -3.
x’ = 5 et y’ = 11/2.

On a donc le tableau :
2 | -3
5 | 11/2

Les produits en croix sont :
2 × 11/2 = 11
Et :
5 × -3 = -15
Donc les produits en croix sont différent, x’y – xy’ est différent de 0, les coordonnées ne sont pas proportionnelles, donc les vecteurs ->v et ->w ne sont pas colinéaires.

6) Équation de (d’) passant par A et de vecteur ->v :

Rédaction :

On veut une équation cartésienne donc du type ax + by + c = 0.
Comme ->v est un vecteur directeur. Ses coordonnées 2 et -3 sont -b et a. Du coup, -b = 2 (b = -2) et a = -3.

L’équation s’écrit donc -3x – 2y + c = 0.

Pour déterminer le nombre c, on remplace x et y par les coordonnées de A car ce point est sur la droite.
-3xA – 2yA + c = 0
⇔ -3xA – 2yA + c = 0
⇔ -3 × 1 – 2 × 7 + c = 0
⇔ -3 – 14 + c = 0
⇔ -17 + c = 0
⇔ c = 17.

Donc une équation cartésienne de droite est -3x – 2y + 17 = 0.

On sait que (d’) passe par A. Je choisis un autre abscisse x pour trouver un second point de la droite pour la tracer.
Je prends x = 6.

-3x – 2y + 17 = 0
⇔ -3 × 6 – 2y + 17 = 0
⇔ -18 – 2y + 17 = 0
⇔ -1 – 2y = 0
⇔ -1 = 2y
-1/2 = y

Le second point de la droite, E, a pour coordonnées (6 ; -1/2).

droite équation cartésienne

Si on remplace x par 0, on peut calculer que y = 8,5. Ce qui correspond à l’ordonnée à l’origine que l’on peut voir sur le dessin.

7) Intersection de (d) et (d’) :

Rédaction :

Pour déterminer les coordonnées x et y du point d’intersection de deux droites, on utilise les équations de ces deux droites. En effet, les coordonnées du point d’intersection respecte à la fois ces deux égalités. Cela fait donc un système à résoudre pour trouver le x et le y.

{ 2x – 3y + 6 = 0 pour (d)
{ -3x – 2y + 17 = 0 pour (d’)

Ces deux accolades sont en fait une seule grande accolade.
La première étape pour résoudre un système est d’obtenir le même nombre de x (ou de y) sur chaque ligne.
Ici j’ai 2x et -3x, donc je multiplie la première ligné par 3 et la second par -2 pour obtenir 6x et 6x.


{ 6x – 9y + 18 = 0
{ 6x + 4y – 34 = 0

Ensuite, j’isole les x à gauche et j’envoie le reste à droite du égal.


{ 6x = 9y – 18
{ 6x = -4y + 34

Comme 6x = 6x, cela veut dire que 9y – 18 = -4y + 34.


{ 9y – 18 = -4y + 34
{ 6x = 9y – 18
{ 6x = -4y + 34

Du coup, je résous cette équation.
9y – 18 = -4y + 34 équivaut à 13y = 52 et donc y = 4 (en divisant par 13).

Revenons au système :

{ y = 4
{ 6x = 9 × 4 – 18 = 18
{ 6x = -4 × 4 + 34 = 18


{ y = 4
{ x = 18/6 = 3.


Le point d’intersection I a pour coordonnées (4 ; 3).

8) Équation cartésienne de la droite (d”) :

Rédaction :

Lorsqu’on veut une droite parallèle, il suffit de garder le même “a” et le même “b”.
Comme (d) a pour équation 2x – 3y + 6 = 0, on peut aussi choisir 2 et -3 pour (d”).
Du coup, (d”) a pour équation 2x – 3y + c = 0.
Pour déterminer le c, on peut remplacer par un point de la droite, ici A(1 ; 7).

Donc 2 × 1 – 3 × 7 + c = 0.
⇔ 2 – 21 + c = 0.
⇔ -19 + c = 0
⇔ c = 19
L’équation de (d”) est donc 2x – 3y + 19 = 0.

Je trace la parallèle à (d) passant par A.

droite parallèle point

Bonne compréhension,
Sylvain

astuces exercices maths corrigé

Corrigé précédent : Corrigé N°064 – Vecteurs, droites, formules, géométrie – Première S

Ecris le premier commentaire


Laisser un commentaire

Votre adresse de messagerie ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *