Corrigé N°064 :

Exercice : Vecteurs et Droites – Formules, vecteurs, géométrie – Première S

1) ->AG = 2/3->AB. Mq 1/3->GA + 2/3->GB = ->0 :

Rédaction :

On part de la gauche pour espérer tomber sur le vecteur nul.

1/3->GA + 2/3->GB
= 1/3(-->AG) + 2/3(->GA + ->AB)
= 1/3(-->AG) + 2/3(-->AG + ->AB)
= –1/3->AG – 2/3->AG + 2/3->AB
= –->AG + 2/3->AB
= –2/3->AB + 2/3->AB
= ->0.

2) -5->HA + 6->HB + 9->HC = ->0. Mq ->AH = 3/5->AB + 9/10->AC :

Rédaction :

-5->HA + 6->HB + 9->HC = ->0
⇔ -5->HA + 6(->HA + ->AB) + 9(->HA + ->AC) = ->0
⇔ -5->HA + 6->HA + 6->AB + 9->HA + 9->AC = ->0
⇔ 10->HA + 6->AB + 9->AC = ->0
⇔ -10->AH + 6->AB + 9->AC = ->0
⇔ 6->AB + 9->AC = 10->AH
⇔ 10->AH = 6->AB + 9->AC
->AH = 6/10->AB + 9/10->AC
->AH = 3/5->AB + 9/10->AC

3) ->KA + 3->KC = ->0. ->AK en fonction de ->AC :

Rédaction :

->KA + 3->KC = ->0
->KA + 3->KC = ->0
->KA + 3(->KA + ->AC) = ->0
->KA + 3->KA + 3->AC = ->0
⇔ 4->KA + 3->AC = ->0
⇔ -4->AK + 3->AC = ->0
⇔ 3->AC = 4->AK
3/4->AC = ->AK
->AK = 3/4->AC

4) ->LA + 2->LB + 3->LC = ->0. Mq ->AL = 1/3->AB + 1/2->AC :

Rédaction :

->LA + 2->LB + 3->LC = ->0
->LA + 2(->LA + ->AB) + 3(->LA + ->AC) = ->0
->LA + 2->LA + 2->AB + 3->LA + 3->AC = ->0
⇔ 6->LA + 2->AB + 3->AC = ->0
⇔ -6->AL + 2->AB + 3->AC = ->0
⇔ 2->AB + 3->AC = 6->AL
⇔ 6->AL = 2->AB + 3->AC
->AL = 2/6->AB + 3/6->AC
->AL = 1/3->AB + 1/2->AC

5) Mq L milieu de [GC] :

Rédaction :

vecteur formule milieu demi-vecteur

L’idée est d’exprimer les vecteurs ->GL (à gauche) et 1/2->GC (à droite) en fonction des vecteurs non colinéaires ->AB et ->AC.

D’une part, ->GL = ->GA + ->AL
= –->AG + ->AL
= –2/3->AB + 1/3->AB + 1/2->AC
= –1/3->AB + 1/2->AC

D’autre part, 1/2->GC
= 1/2(->GA + ->AC)
= 1/2->GA + 1/2->AC
= 1/2->GA + 1/2->AC
= 1/2(-->AG) + 1/2->AC
= 1/2(-->AG) + 1/2->AC
= 1/2(-2/3->AB) + 1/2->AC
= –1/3->AB + 1/2->AC

Les coefficients devant ->AB et ->AC sont les même donc on a bien ->GL = 1/2->GC.

Du coup, L est bien le milieu de [GC].

6) Mq L, A, H alignés :

Rédaction :

L, A et H sont alignés si et seulement si les vecteurs ->AL et ->AH sont colinéaires.
Ils sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées x et x’, puis y et y’ sont proportionnelles.

Comme ces vecteurs sont exprimés en fonction des vecteurs non colinéaires ->AB et ->AC, on peut utiliser le repère (A ; ->AB ; ->AC). Les coordonnées x et y, puis x’ et y’ sont les coefficients devant ces vecteurs.

D’une part, ->AL = 1/3->AB + 1/2->AC.

Donc x = 1/3 et y = 1/2.

D’autre part, ->AH = 3/5->AB + 9/10->AC.

Donc x’ = 3/5 et y’ = 9/10.

On a donc le tableau :
1/3 | 1/2
3/5 | 9/10

Les produits en croix sont :
1/3 × 9/10
= 9/30 = 3/10
Et :
3/5 × 1/2
= 3/10.

Donc les produits en croix sont égaux, x’y – xy’ = 0, les coordonnées sont proportionnelles, donc les vecteurs ->AL et ->AH sont colinéaires et les points A, L et H sont alignés.

7) Mq L ∈ (KB) :

Rédaction :

L ∈ (KB)
si et seulement si, L, K et B sont alignés.

La lettre K se trouve dans la formule ->AK = 3/4->AC donc insérons un A dans ->BK avec la relation de Chasles.
Comme on a aussi ->AL, insérons un A dans ->BL.

L, K et B sont alignés si et seulement si ->BK et ->BL sont colinéaires. Regardons si leurs coordonnées dans le repère (A ; ->AB ; ->AC) sont proportionnelles.

D’une part, ->BK = ->BA + ->AK
= -1->AB + 3/4->AC.
Les coordonnées x et y sont -1 et 3/4.

D’autre part, ->BL = ->BA + ->AL
= -1->AB + 1/3->AB + 1/2->AC
= –2/3->AB + 1/2->AC.
Les coordonnées x’ et y’ sont –2/3 et 1/2.

Le tableau est :
-1 ; 3/4
2/3 ; 1/2

Les produits en croix sont :
-1 × 1/2
= –1/2
Et :
3/4 × –2/3
= –1/2.

Donc les produits en croix sont égaux, x’y – xy’ = 0, les coordonnées sont proportionnelles, donc les vecteurs ->BK et ->BL sont colinéaires et les points B, K et L sont alignés. Du coup, L appartient à (KB).

8) Que peut-on dire des droites (GC), (HA) et (KB) :

L appartient à (GC), à (HA) et à (KB) donc les trois droites se coupent en un même point L. Elles sont concourantes.

Bonne compréhension,
Sylvain

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Recherches utilisées pour trouver cet articletriangle vecteur KA 3Kc=0

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