Corrigé N°063 :

Exercice : Vecteurs et Droites – Points alignés, équation, variable – Première S

1) Mq C, I et J sont alignés :

Rédaction :

C, I et J sont alignés, si et seulement si, les vecteurs ->CI et ->IJ sont colinéaires. J’ai donc besoin des coordonnées de ces vecteurs, donc je dois calculer les coordonnées de C, I et J avant.

Cette figure est composé de trois carrés dont celui de gauche ABGH. Comme ->AB et ->AH ne sont pas colinéaires (côtés du carré), on peut introduire le repère (A ; ->AB ; ->AH).

Cela veut dire que le point A a pour coordonnées (0 ; 0), B(1 ; 0) et H(0 ; 1).
Du coup, on a C(2 ; 0), D(3 ; 0), E(3 ; 1), F(2 ; 1) et G(1 ; 1).

Calculons les coordonnées du point I :

I est le milieu de [AG].
Les coordonnées d’un milieu pour deux points A et B sont :

géométrie formule milieu segment

Du coup, je calcule ceci pour [AG].

xI = (xA + xG)/2
= (0 + 1)/2
= 1/2

yI = (yA + yG)/2
= (0 + 1)/2
= 1/2

Du coup, les coordonnées de I sont (1/2 ; 1/2).

Calculons les coordonnées du point J :

L’abscisse de J est 1 car J est sur [BG] et [BG] relie deux points d’abscisses 1.
L’ordonnée de J est la distance qui le sépare de B, c’est à dire BJ, car l’ordonnée de B est de 0 et car (BJ) est parallèle à la droite (AH) avec ->AH le vecteur “ordonnées” du repère.

Pour calculer (BJ), on utilise le théorème de Thalès dans le triangle ADE avec :
* (DE)//(BJ),
* (BD) et (JE) sécantes en A,
* A,B,D puis A,J,E alignés dans le même sens.

Du coup, le rapport BJ/DE est égale à AB/AD qui est de 1/3 car [AD] c’est trois fois le côté [AB]. Comme DE = 1, on a BJ = 1/3, qui donne l’oordonnée du point J 1/3.

Du coup, J(1 ; 1/2).

Calcul des coordonnées des vecteurs ->CI et ->IJ :

xCI
= xI – xC
= 1/2 – 2
= –3/2

yCI
= yI – yC
= 1/2 – 0
= 1/2

xIJ
= xJ – xI
= 1 – 1/2
= 1/2

yIJ
= yJ – yI
= 1/31/2
= 2/63/6
= –1/6

Les deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées x et x’, puis y et y’ sont proportionnelles.

On a donc le tableau :
3/2 | 1/2
1/2 | –1/6

Les produits en croix sont :
3/2 × –1/6
= +3/12
= 1/4
Et :
1/2 × 1/2
= 1/4

Donc les produits en croix sont égaux, x’y – xy’ = 0, les coordonnées sont proportionnelles, donc les vecteurs ->CI et ->IJ sont colinéaires et les points C, I et J sont alignés.

2) Mq Dm est une droite :

Rédaction :

Quelque soit le m, l’équation mx + (2m – 1)y + 4 = 0
est de la forme ax + by + c = 0 qui est l’équation cartésienne d’une droite.

Du coup, les Dm sont des droites.

3) m tels que Dm parallèle aux axes:

Rédaction :

Dm est parallèle à l’axe des abscisses si l’équation
est de la forme y = constante.
Ce qui équivaut à y – constante = 0 en mode “équation cartésienne”.
Pour cela, il faut que le coefficient devant x, le “a” soit égal à zéro.
Ce coefficient est “m”. Du coup D1 est parallèle à l’axe des abscisses pour m = 0.

D1 est parallèle à l’axe des ordonnées si l’équation
est de la forme x = constante.
Ce qui équivaut à x – constante = 0 en mode “équation cartésienne”.
Pour cela, il faut que le coefficient devant y, le “b” soit égal à zéro.
Ce coefficient est (2m – 1). Du coup Dm est parallèle à l’axe des abscisses pour 2m – 1 = 0 soit m = 1/2.

4) Équation des droites D0 et D1 et point d’intersection :

Rédaction :

L’équation est mx + (2m – 1)y + 4 = 0.

D0 : 0x + (2 × 0 – 1)y + 4 = 0
⇔ – 1y + 4 = 0
⇔ y = 4.

D1 : 1x + (2 × 1 – 1)y + 4 = 0
⇔ x + 1y + 4 = 0.

Le point d’intersection, que j’appelle I, est à la fois sur D0 et D1 donc les coordonnées de I respectent à la fois les deux équations, donc le système suivant :

{ y = 4
{ x + y + 4 = 0
(Les deux petites accolades sont en fait une seule grande accolade)


{ y = 4
{ x + 4 + 4 = 0


{ y = 4
{ x + 8 = 0


{ y = 4
{ x = -8

Les coordonnées du point d’intersection I sont (4 ; -8).

5) Mq que Dm passe par un point fixe :

Rédaction :

Si toutes les droites Dm passent par un point fixe, c’est le point fixe qu’on vient de trouver juste au dessus. C’est à dire I(4 ; -8).

Je dois donc prouver que ce point I appartient à toutes les droites Dm. Donc que ses coordonnées vérifient l’équation-égalité Dm quel que soit le m.

Du coup, quel que soit m,
Gauche = mx + (2m – 1)y + 4
= m × (-8) + (2m – 1) × 4 + 4
= -8m + 8m – 4 + 4
= 0m + 0
= 0 = Droite.

Donc l’équation des droites Dm est vérifiée par ce point. Donc toutes les droites appartiennent à un point fixe quel que soit m.

Bonne compréhension,
Sylvain

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