Corrigé N°121 – Vecteurs, expressions, relation de Chasles – Seconde

septembre 6th, 2016

Category: Corrigé et Astuces, Géométrie 2D/3D et Repérage, Seconde, Vecteur et Produits Scalaires

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Corrigé N°121 :

Exercice : Vecteurs – Expressions, calculs, relation de Chasles – Seconde

1) Simplifier ->u = ->HF + ->SU + ->RS + ->UH :

Quand tu as une expression vectorielle, regarde si tu peux aligner les mêmes lettres les unes après les autres. Si un vecteur se termine par C (par exemple), essaie de voir si tu peux en trouver un autre qui commence par C. Regroupe les comme ci-dessous :

vecteur relation chasles

Cela veut dire que si tu pars d’un point A vers un point C, et que tu repars de ce même point C vers le point B ;;; c’est comme si tu partais du point A directement vers le point B. C’est le même déplacement car même départ et même arrivée.

relation chasles vecteurs

Du coup, avec ->u, mets les vecteurs en ordre en rapprochant les mêmes points.

Rédaction :
->u = ->HF + ->SU + ->RS + ->UH
= ->RS + ->SU + ->UH + ->HF
= ->RU + ->UH + ->HF
= ->RH + ->HF
= ->RF
Toutes les simplifications sont dues à la relation de Chasles.

2) Simplifier ->v = ->OC – ->OB + ->AB :

Tu vois le “moins-” devant ->OB ? Il te faut un “plus+” pour refaire une éventuelle relation de Chasles. Pour cela, échange les lettres pour faire
->OB = +->BO

Rédaction :
->v = ->OC – ->OB + ->AB
= ->OC + ->BO + ->AB
= ->AB + ->BO + ->OC
= ->AO + ->OC
= ->AC
Toutes les simplifications sont dues à la relation de Chasles.

3) Avec ABCD parallélogramme de centre O, démontrer que 2->AB + 2->AD – ->AC = 2->AO :

Il te faut un dessin de parallélogramme.

parallélogramme vecteurs

Comme on veut arriver à du ->AO, il faut transformer
le ->AC en 2->AO car c’est une égalité du parallélogramme comme tu peux le voir sur le dessin.

De plus, la formule principale du parallélogramme donne :

vecteurs égaux parallélogramme

Tu peux donc remplacer ->AB par ->DC dans l’expression pour ne plus avoir le B.

Rédaction :
On part du membre de gauche pour arriver au droit.
2->AB + 2->AD – ->AC
= 2->DC + 2->AD – ->AC (car ABCD est un parallélogramme)
= 2->DC + 2->AD – 2->AO (car O est le milieu de [AC])
= 2->AD + 2->DC – 2->AO
= 2(->AD + ->DC) – 2->AO
= 2->AC – 2->AO
= 2×2->AO – 2->AO (car O est le milieu de [AC])
= 2->AO.
On arrive au membre de droit. Donc on a bien :
2->AB + 2->AD – ->AC = 2->AO.

4) Avec 3->MA + ->MB = ->0,
exprimer ->AM en fonction de ->AB :

Ici, on veut obtenir ->AM et ->AB à partir des vecteurs ->MA et ->MB.
->AM et ->MA sont opposés.
Mais dans ->MB, il n’y a ni ->AM, ni ->AB. Il manque le point A.
Quand il manque un point, il faut l’insérer avec la relation de Chasles.
Ici ->MB = ->MA + ->AB.

Rédaction :
3->MA + ->MB = ->0
⇔ -3->AM + ->MB = ->0
⇔ -3->AM + ->MA + ->AB = ->0
⇔ -3->AM – ->AM + ->AB = ->0
⇔ -4->AM + ->AB = ->0
⇔ -4->AM = –->AB
->AM = 1/4->AB (en divisant par -4).

5) Placer le point M sur une figure :

vecteur segment

Bonne compréhension,
Sylvain

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