Dérivation – Fonction, bénéfice, coût moyen, variation – Première ES

octobre 27th, 2013

Category: Dérivées et Intégrales, Fonctions, Polynômes et Rationnelles, Première ES

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Exercice N°294 :

Une entreprise produit des appareils électroménagers.
Le coût horaire de production de x appareils est donné en euros par :
C(x) = x² + 50x + 100 pour 5 ≤ x ≤ 100.

L’entreprise vend chaque appareil 100 euros.
1) Justifier que le bénéfice horaire réalisé par la fabrication et la vente de x appareils est :
B(x) = −x² + 50x − 100 pour x ∈ [5; 100].

2) Calculer B'(x) et étudier son signe ; en déduire le tableau de variations de B sur [5; 100].

3) Quel est le nombre d’appareils à produire pour que le bénéfice horaire de l’entreprise soit maximal ?

Le coût moyen de production d’un objet est donné par :
CM(x) = C(x)/x pour x ∈ [5; 100].

4) Justifier par un calcul que CM(x) = x + 50 + 100/x.

5) Calculer CM'(x) et vérifier que CM'(x) = (x² − 100)/.

6) Étudier le signe de CM'(x) et dresser le tableau de variations de CM sur [5; 100].

7) Pour quelle valeur de x, le coût moyen est-il minimal ?

8) Le bénéfice est-il maximal quand le coût moyen est minimal ?

Bon courage,
Sylvain

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Exercice précédent : Dérivation – Fonction rationnelle, variation, tangente – Première ES

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9 commentaires

  • LINA dit :

    Voilà je suis bloquée rien qu’à la première question. Je sais que le bénéfice c’est la différence entre le chiffre d’affaire(le nombre d’appareils vendus) et le cout de production mais comment l’expliquer avec les deux formules

  • Sylvain dit :

    Bonjour, pour donner l’expression du bénéfice, il faut écrire B(x)= R(x) – C(x)
    avec R(x) = prix_unitaire*quantité = 100*x.
    Donc B(x) = 100x – (x² + 50x + 100). Ensuite, tu développes.

  • Malfoy dit :

    Bah enfaite sur les exercices que j’ai fais en cours on trouvait toujours un résultat un peu plus complexe

  • Malfoy dit :

    J’ai bientôt fini l’exercice, pour voir si on a bon il faut faire quoi ?

  • Sylvain dit :

    1) B(x) = R(x) – C(x)
    donc B(x) = 100x – (x² + 50x + 100)
    = -x² + 50x – 100

    Donc le bénéfice horaire réalisé par la fabrication et la vente de x appareils est B(x) = -x² + 50x – 100 pour x appartenant à [5 ; 100].

    2) Calcul de la dérivée :
    B(x) = -x² + 50x – 100
    La dérivée de -x² est -2x.
    La dérivée de 50x est le coefficient devant le x soit 50.
    Le coefficient d’une constante (ici -100) est 0.
    Donc B'(x) = -2x + 50.

    Étudions le signe B'(x) pour obtenir les variations de B.
    B'(x) >= 0 (on cherche donc où mettre le plus dans le tableau de signes)
    quand -2x + 50 >= 0
    quand -2x >= -50
    quand x <= 25 (comme on divise par un négatif, on change le sens de l'inégalité) Du coup, on mettra le + quand x sera à gauche de 25. x | 5 25 100 ------------------------------------- signe de B'(x) | + 0 - variations de B | monte sommet=B(25) descend 3) Le nombre d'appareils à produire pour obtenir un bénéfice maximal est 25 et ce bénéfice est B(25) (à calculer).

    • Sylvain dit :

      4) C(x) = x² + 50x + 100
      et CM(x) = C(x)/x
      donc C(x) = x²/x + 50x/x + 100/x
      = x + 50 + 100/x

      5) La dérivée de x est 1.
      La dérivée de la constante 50 est 0.
      Pour calculer la dérivée de 100/x, on utilise la formule de la dérivée de (u(x) / v(x)).
      u(x) = 100 donc u'(x) = 0,
      v(x) = x donc v'(x) = 1

      La dérivée de ce terme est donc :
      [u'(x)v(x) – u(x)v'(x)] / (v(x))²
      = [0x – 100*1] / x²
      = -100/x².

      Donc CM'(x) = 1 -100/x².
      En mettant en même dénominateur (avec 1 = x²/x²) et dans la même fraction, on obtient :
      CM'(x) = (x² − 100)/x².


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