Dérivation – Fonction, nombre dérivé, courbe, tangente – Première ES

octobre 27th, 2013

Category: Dérivées et Intégrales, Fonctions, Première ES

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Exercice N°288 :

Soit f une fonction définie et dérivable sur R. On note f’ la dérivée de la fonction f .
On donne ci-dessous la courbe Cf représentant la fonction f.
La courbe Cf coupe l’axe des abscisses au point A(−2 ; 0) et lui est tangente au point B d’abscisse 6.
La tangente à la courbe au point A passe par le point M(−3 ; 3).
La courbe Cf admet une deuxième tangente parallèle à l’axe des abscisses au point C d’abscisse 0.

exo288_a

À partir du graphique et des données de l’énoncé, répondre aux questions suivantes.
1) Dresser sans justification le tableau de variations de la fonction f sur R.

2) Déterminer f'(0) en justifiant.

3) Déterminer les solutions de l’équation f'(x) = 0 en justifiant.

4) Déterminer une équation de la tangente à la courbe Cf au point A. En déduire la valeur de f'(−2). Justifier les réponses.

5) On donne f'(2) = 3/4.
Calculer les coordonnées du point d’intersection de la tangente à la courbe Cf au point D avec l’axe des abscisses.

6) Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction f’. Déterminer laquelle.

exo286_b

exo288_c

exo288_d

Bon courage,
Sylvain

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Exercice précédent : Dérivation – Calculs, formules, racine, rationnelle – Première ES

2 commentaires

  • Valere dit :

    Bonjour , pourriez-vous mettre la correction de cet exercice s’il-vous plait

    • Sylvain dit :

      1) D’après la courbe, f est décroissante de -infini à 0 . Cela fait une flèche qui descend jusqu’à x = 0. En bas à droite de la flèche, mets la valeur de f(0) : -2,5. Ensuite, la courbe remonte donc f est croissante de 0 à +infini. La flèche du tableau de variation remonte vers la droite.

      2) f'(0) est la pente la tangente à la courbe en x = 0. En x = 0, la tangente est horizontale donc sa pente est nulle et f'(0) = 0.

      3) f'(x) = 0 quand la pente de la courbe (ou plutôt la pente de la tangente) est nulle, donc la courbe est horizontale (ou sa tangente). Oui, f'(x) représente une pente! Ici, la pente est horizontale en C et en B. Leurs abscisses x sont donc 0 et 6 : ce sont les solutions.

      4) La tangente à la courbe Cf passant par A passe aussi par M. Pour avoir son équation (de droite), il faut déterminer son coefficient directeur avec a = (yM – yA)/(xM – xA) = (3 – 0)/(-3 -(-2))= 3/(-1) = -3.

      Prends y = ax + b et remplacer par des x et y que tu connais, par exemple xA et yA. Remplace aussi le coefficient directeur “a” par 3 : 0 = -3*(-2) + b. Tu obtiens b = -6. L’équation de la tangente est donc y = -3x – 6 et f'(-2), la pente de la tangente en x = -2, est -3.

      5) Déjà, on doit trouver l’équation de la tangente à Cf au point D. On sait que son coefficient directeur est f'(2) = 3/4.
      En remplaçant dans l’équation y = ax + b par les coordonnées yD = -3/2 et xD = 2, ainsi que la pente 3/4, on obtient :
      -3/2 = 3/4 * 2 + b. Du coup, b = -3/2 – 3/2 = -3. L’équation de cette tangente est
      y = (3/4)x – 3.

      L’intersection avec l’axe des abcisses a lieue quand y = 0. Soit 0 = (3/4)x – 3. Cela donne x = 4.

      6) C’est la courbe C2, car une fonction est décroissante quand sa dérivée est négative. C’est le cas pour C2 qui est en dessous de l’axe y = zéro pour des x négatifs.
      De même, une fonction est croissante quand sa dérivée est positive. C’est le cas pour C2 qui est au dessus de l’axe y = zéro pour des x positifs.
      De plus, C2 coupe l’axe des abscisses en 0 et 6, ce qui des tangentes horizontale pour Cf.
      Les autres coupes ne fonctionnent pas, elle ne sont pas négatives avant x = 0, puis positives après x = 0.


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