Dérivation – Polynôme, coût, bénéfice, variations – Première ES

octobre 27th, 2013

Category: Dérivées et Intégrales, Fonctions, Polynômes et Rationnelles, Première ES

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Exercice N°290 :

Soit C la fonction définie pour tout réel x élément de l’intervalle ]0 ; 15] par :
C(x) = x3/3 − 2x² + 15x + 81.

La fonction C modélise le coût total de production, exprimé en milliers d’euros, de x milliers d’articles fabriqués. La courbe CT représentative de la fonction C est tracée ci-dessous dans un repère orthogonal.

exo290_a

On suppose que chaque article produit est vendu au prix de 60€.
On note R(x) la recette générée par la production et la vente de x milliers d’articles.

1) Dans le repère précédent, tracer la courbe représentative de la fonction recette.

2) Déterminer graphiquement les valeurs arrondies au millier près des bornes de l’intervalle dans lequel
doit se situer la production pour que l’entreprise réalise un bénéfice positif.

Le bénéfice est la fonction B définie sur l’intervalle ]0 ; 15]
par B(x) = R(x)−C(x).

3) Calculer B'(x).

4) Étudier les variations de la fonction B.

5) En déduire la production x0 pour laquelle le bénéfice est maximal.
Quel est le montant en euro de ce bénéfice maximal ?

La fonction coût moyen, notée CM, est la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; 15] par CM(x) = C(x)/x.
6) Sur le graphique précédent, placer le point A sur la courbe CT tel que la droite (OA) soit tangente à CT.
On appelle a l’abscisse du point A.

7) Montrer que le coefficient directeur de la droite (OA) est égal à CM(a).

8) Par lecture graphique, conjecturer les variations de la fonction CM sur l’intervalle ]0;15].

Bon courage,
Sylvain

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Exercice précédent : Dérivation – Fonction rationnelle, variation, tangente – Terminale ES

2 commentaires

  • Jessie dit :

    Bonjour, je ne comprends pas dès la première question…

    • Sylvain dit :

      La recette est le prix de vente fois le nombre d’unités vendues.
      Cela fait donc : R(x) = 60x. C’est une fonction affine dont la droite passe par l’origine avec 60 comme coefficient directeur.


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