Développement et factorisation – Egalité et démonstration – Seconde

mars 27th, 2013

Category: Factorisation et Développement, Seconde

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Exercice N°108 :

1) Donner la définition des termes suivants :

– Développer une expression,
– Factoriser une expression.

2) a) Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes :

A(x) = (2x+3)(5-x) – (x+3)(3x-1)
B(x) = (x-1)(x-2)(x-3)

b) Factoriser les expressions les expressions suivantes :

M(x) = (4x-7)(2x-1) – (7x+1)(1-2x)
N(x) = (5x-1)(3x+2)-4+9×2
Q(x) = (x-1)(2x-3) + 3(4x+1)(x-1)

3) Démontrer les égalités suivantes pour tous réels a et b :
(a + b)3 = a3+ 3a2b + 3ab2 + b3

et (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

Bon courage,
Sylvain

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Exercice précédent : Intervalles – Ensembles, intersections et Réunions – Seconde

2 commentaires

  • bob dit :

    faite le pour que je comprene

    • Sylvain dit :

      1) Développer une expression, c’est transformer un produit (avec une multiplication comme opération centrale) en somme. Par exemple, x(3x + 6) vaut x “fois” (3x + 6). C’est un produit. Avec la distributivité, on peut transformer cette expression en somme.
      k*(a + b) = k*a + k*b
      Cela donne : x*3x + x*6.

      Factoriser une expression, c’est transformer une somme (avec une addition ou soustraction comme opération centrale) en produit. Par exemple, 8x² – 5x est une somme avec “moins” (c’est-à-dire une différence ou soustraction). Avec la distributivité dans l’autre sens,
      k*a + k*b = k*(a + b), cela donne x*(8x – 5).

      2) a) A(x) = (2x+3)(5-x) – (x+3)(3x-1)
      On utilise la double-distributivité (a + b)(c + d) = a*c + a*d + b*c + b*d.
      = 2x*5 + 2x*(-x) + 3*5 + 3*(-x) – [ x*3x + x*(-1) + 3*3x + 3*(-1) ]
      (Attention à bien mettre des crochets quand on développe après un moins)
      = 10x – 2x² + 15 – 3x – [ 3x² – x + 9x – 3 ]
      = 10x – 2x² + 15 – 3x – 3x² + x – 9x + 3
      = -5x² – x + 18.

      B(x) = (x-1)(x-2)(x-3)
      Ici on a trois facteurs à développer. Développons deux à deux en mettant un crochet autour des deux premières parenthèses.
      = [(x-1)(x-2)](x-3)
      = [x² -2x – x + 2](x-3)
      = [x² -3x + 2](x – 3)
      = x²*x + x²*(-3) + (-3x)*x + (-3x)*(-3) + 2x + 2*(-3)
      = x^3 – 3x² – 3x² + 9x + 2x – 6
      = x^3 – 6x² + 11x – 6.

      2) b) Q(x) = (x-1)(2x-3) + 3(4x+1)(x-1)
      Le facteur commun est (x-1) donc on peut factoriser de k*a + k*b vers k*(a+b).
      = (x-1)[(2x-3) + 3(4x+1)]
      = (x-1)[2x – 3 + 3*4x + 3*1]
      = (x-1)[14x]
      = 14x(x-1).

      M(x) = (4x-7)(2x-1) – (7x+1)(1-2x)
      Ici, on reconnait presque un facteur commun à ceci prêt qu’il y a deux signes opposés : (2x – 1) et (1 – 2x).
      On doit donc multiplier l’un des deux par (-1) : (1 – 2x) = (-1)(2x – 1)
      On obtient donc :
      M(x) = (4x-7)(2x-1) – (7x+1)(-1)(2x-1)
      = (4x-7)(2x-1) – (-1)(7x+1)(2x-1)
      = (2x-1)[(4x-7) –(-1)(7x+1)]
      = (2x-1)[4x – 7 + 7x + 1]
      = (2x-1)[11x – 6]

      N(x) = (5x-1)(3x+2) – 4 + 9ײ
      Ici, il est difficile de savoir quoi faire. Il faut s’y connaître un peu. Je reconnais vaguement des carrés à droite. On a 4 = 2² et 9x² = (3x)². On pourrait avoir du a² – b² en forme développée mais il y a un plus entre les deux termes et un moins avant. Je propose donc de mettre des parenthèses après le “moins” en transformant le signe à l’intérieur de “plus” vers “moins”.
      = (5x-1)(3x+2) – (4 – 9ײ)
      Maintenant, d’après a² – b², on obtient (a+b)(a-b).
      = (5x-1)(3x+2) – ((2-3x)(2+3x))
      On peut enlever la grande parenthèse car la multiplication de droite est prioritaire par rapport à la soustraction d’avant.
      = (5x-1)(3x+2) – (2-3x)(2+3x)
      On voit le facteur commun (3x+2). On peut factoriser avec k*(a+b).
      = (2+3x)*[(5x-1) – (2-3x)]
      = (2+3x)*[5x – 1 – 2 + 3x]
      = (2+3x)*[8x -3]

      3) (a + b)^3
      = (a + b)²(a + b)
      = [a² + 2ab + b²](a + b)
      = a^3 + a²b + 2a²b + 2ab² + b²a + b^3
      = a^3 + 3a²b + 3ab² + b^3

      (a – b)^3
      = (a – b)²(a – b)
      = [a² – 2ab + b²](a – b)
      = a^3 – a²b – 2a²b + 2ab² + b²a – b^3
      = a^3 – 3a²b + 3b²a – b^3

      Voilà !


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