Exponentielle – Courbe, variations, convexité, bénéfice – Terminale ES

novembre 26th, 2013

Category: Dérivées et Intégrales, Exponentielle et Logarithme, Fonctions, Terminale ES

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Exercice N°339 :

La courbe (C) donnée ci-dessous est la représentation graphique dans un repère orthogonal d’une fonction f définie et dérivable sur [2 ; 9]. On note f’ sa fonction dérivée.
Les points A(3 ; e) et B(4 ; 2 ) appartiennent à cette courbe.
La tangente à la courbe en A est parallèle à l’axe des abscisses et la tangente (T) à la courbe en B coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse 6.

exo339_a

Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes, sans justifier.

1) Pour quelles valeurs du nombre réel x de l’intervalle [3 ; 9] a-t-on f(x) ≤ 2 ?

2) Déterminer f'(3) et f'(4).

La fonction f représentée est la fonction définie sur l’intervalle [2 ; 9] par f(x) = (x−2)e(−x+4).

3) Pour tout nombre réel x de l’intervalle [2 ; 9], calculer f'(x) et montrer que f'(x) = (3 − x)e(−x+4).

4) Sur l’intervalle [2 ; 9] étudier le signe de f'(x), puis dresser le tableau de variations de la fonction f.

5) Calculer f’ ‘(x).
Déterminer alors les coordonnées du point d’inflexion de (C).

Une entreprise vend x centaines de litres de parfum par jour
2 ≤ x ≤ 9.
Le bénéfice en milliers d’euros réalisé, par jour, par l’entreprise lorsqu’elle vend x centaines de litres est donné par f(x) pour
x ∈ [2 ; 9]. On suppose donc que pour des raisons techniques et commerciales l’entreprise vend au moins 200 litres et au plus 900 litres.
On donnera les réponses arrondies à 1€.

5) Calculer le bénéfice en euros réalisé sur la vente de 400 litres.

6) Déterminer la quantité de litres à vendre par jour pour réaliser un bénéfice maximal. Quel est ce bénéfice maximal en euros ?

7) A partir de quelle quantité journalière aura-t-on un ralentissement de la baisse des bénéfices ?

Bon courage,
Sylvain

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